九年级数学上册《垂直于弦的直径》学案分析

九年级数学上册《垂直于弦的直径》学案分析
九年级数学上册《垂直于弦的直径》学案分析
【教学内容】垂直于弦的直径
【教学目标】
1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法——作弦心距。

2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；
②向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。

3．情感目标：①通过探究垂径定理的活动，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质；
②培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获得成功的体验。

【教学重点】垂径定理及其应用。

【教学难点】垂径定理的语言表述。

【教学方法】探究发现法和直观演示法
【教学资源与工具设计】1.每位学生准备几张圆形纸片和作图工具；
2.教师准备一张圆形纸片和自制的多媒体课件；
3．上课环境为多媒体大屏幕环境。

【教学设计】
一、《垂直于弦的直径》教学设计教学活动设计：
二、教学过程设计：
（一）创设情境引入新课
《垂直于弦的直径》教学设计1．利用多媒体演示赵州桥图片
同学们，这座桥是我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。

因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。

⌒
2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓形高）为7.2米。

请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。

（二）《垂直于弦的直径》教学设计动手实践，发现新知
⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试，有方
法的同学请举手。

⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆_______ ②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每
一条_________。

3.板书圆的轴对称性：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直
径所在的直线）都是它的对称轴。

（三）创设情境，探索垂径定理
1.画一画
《垂直于弦的直径》教学设计在圆中作图：(1)任意作一条弦AB；(2)作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。

说明CD是垂于弦的直径。

（板书课题：垂直于弦的直径）
2.问题
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
3.实验观察猜想
让学生折叠圆形纸片得出结论，分小组讨论，找出图中相等的量。

教师在学生充分观察对折后的图片的几何性质后，将学生分析得到的几何等量关系在黑板上板书，为数学符号语言翻译定理奠定基础。

4.归纳定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理的几何语言叙述:
5.议一议《垂直于弦的直径》教学设计
《垂直于弦的直径》教学设计如果把定理中的CD⊥AB换为AE=BE(用多媒体课件展示)时，那么CD⊥AB吗？《垂直于弦的直径》教学设计吗？分小组讨论，得出结论，让学生证明后，试着用语言叙述，用多媒体展示出。

平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

把右图展示给学生，弦AB和CD互相平分，但CD⊥AB吗？
填出上面的空（非直径）
推论的符号语言：
∵CD为直径，AE=BE（AB非直径）
∴CD⊥AB《垂直于弦的直径》教学设计
6.定理的巩固
找一找在下列哪个图中有《垂直于弦的直径》教学设计
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（四）例题示范，变式练习
《垂直于弦的直径》教学设计【例1】如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。

分析：因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”，
所以要作辅助线OE⊥AB；因为要求半径，所以还要连结OA。

解：（略）引导学生归纳：此类问题可以归结为直角三角形求解。

“过圆心作弦的垂线段”，构成三边为“半径半弦弦心距”（略释弦心距的含义）的直角三角形的“七字口诀”，然后结合勾股定理得出三边的数量关系：《垂直于弦的直径》教学设计
【例2】．
《垂直于弦的直径》教学设计
（五）应用迁移巩固提高
《垂直于弦的直径》教学设计 1.如图是一条排水管的截面。

已知排水管的半径10cm，
水面宽AB=12cm。

求水的最大深度.
2.以上是垂径定理在计算中的基本应用方法，那么在证明题中又能怎样应用定理呢？
展示练习2：如图，已知在两同心圆⊙O中，大圆弦AB交小圆于C，D，则AC与BD间可能存在什么关系?
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例2图变式1变式2
这是一道开放性题目，结论并不难猜，有例1做基础，也很好证明。

变式1，如图，若将AB向下平移，当移到过圆心时，结论AC＝BD还成立吗?
变式2，如图，连结OA，OB，设AO＝BO，求证AC＝BD
变式3，连结OC，OD，设OC＝OD，求证AC＝BD
《垂直于弦的直径》教学设计《垂直于弦的直径》教学设计
变式3变式4
变式题组的给出，则利用几何画板的功能，展示出图形之间的内在关系，增强学生的识图能力，揭示解决问题的关键--过圆心向弦做垂线。

变式题组由A、B层学生抢答，精彩者上个人英雄榜，调动学生的积极性。

变式4，当弦AB移到与小圆只有一个交点时，AC与BC相等吗?
《垂直于弦的直径》教学设计2.你能找到原来镜子的圆心吗?
（六）总结反思拓展升华
1.本节学习的数学知识是圆的轴对称性和垂径定理及其推论。

注意：（1）定理的几种基本图形。

（2）计算中三个量的关系《垂直于弦的直径》教学设计。

《垂直于弦的直径》教学设计(3)证明中常用的辅助线——作弦心距。

2.本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。

思考如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，
那么OP长的取值范围是。

（七）作业
87页第一题，88页第8，9，10题
（八）板书设计。