(江苏专用)高考数学 专题9 平面解析几何 69 椭圆的几何性质 文-人教版高三全册数学试题

【步步高】（某某专用）2017版高考数学 专题9 平面解析几何 69 椭
圆的几何性质 文
1．(2015·日照二模)已知焦点在x 轴上的椭圆C ：a
2＋y 2
＝1(a >0)，过右焦点作垂直于x 轴
的直线交椭圆于A 、B 两点，且AB ＝1，则该椭圆的离心率为________．
2．(2015·某某大学附中月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，
若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值X 围是________．
3．(2015·某某某某一中上学期第二阶段考试)在椭圆
x 2
36
＋y 2
9
＝1上有两个动点P ，Q ，E (3,0)为定点，EP ⊥EQ ，则E P →·Q P →
的最小值为________．
4．(2015·某某重点中学盟校一联)已知焦点在x 轴上的椭圆的方程为x 24a ＋y 2
a 2－1
＝1，随着a
的增大，该椭圆形状的变化是越________圆(填“接近于”或“远离”)．
5．椭圆x 2
＋my 2
＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是________．
6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，
连结AF ，BF ，若AB ＝10，AF ＝6，cos∠ABF ＝4
5
，则椭圆C 的离心率为________．
7．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )
与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．
8．(2015·滕州第五中学上学期第三次阶段性考试)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上一点A 关于
原点的对称点为点B ，F 为右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈[π6，π
4]，则该椭圆离
心率e 的取值X 围为________． 9.
如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 2
4＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象
限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．
10．(2015·某某宿豫实验高中第四次质量抽测)椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，直
线y ＝－3x 与椭圆C 交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则椭圆C 的离心率为________． 11．(2015·苏锡常镇二调)已知A 为椭圆x 29＋y 2
5＝1上的动点，MN 为圆(x －1)2＋y 2
＝1的一条
直径，则A M →·A N →
的最大值为________．
12．(2015·某某六校3月联考)已知点F 为椭圆C ：x 2
2＋y 2
＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任
意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则PQ ＋PF 取最大值时，点P 的坐标为________．
13．(2015·某某哈六中上学期期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－
c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使
a sin∠PF 1F 2＝c
sin∠PF 2F 1
，则该椭圆的离心率的取值X 围
为____________．
14．椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值X 围是
[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值X 围是________．
答案解析
1.
32 2.(13，12)∪(1
2
，1) 3．6
解析 设P (x 0，y 0)，则有x 2036＋y 20
9＝1，
因为EP ⊥EQ ，所以E P →·Q P →
＝E P →·(E P →－E Q →
) ＝(EP →)2－EP →·EQ →＝(E P →)2
＝(x 0－3)2
＋y 20
＝(x 0－3)2
＋9×(1－x 20
36
)，
即E P →·Q P →＝34
x 2
0－6x 0＋18.
因为－6≤x 0≤6，所以当x 0＝4时，
E P →·Q P →
取得最小值6.
4．接近于
解析 由题意知e 2
＝1－a 2－14a ＝1－(a 4－1
4a
)，
而a 4－1
4a
随着a 的增大而增大， 所以e 随着a 的增大而减小，
即随着a 的增大，该椭圆的形状越接近于圆． 5.14
解析 由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14
. 6.57
解析 在△ABF 中，由36＝100＋BF 2
－20BF ×45，解得BF ＝8.
又在△BOF 中，由OF 2
＝64＋25－80×45＝25，得c ＝5，
设椭圆右焦点是F ′，则由椭圆对称性可得BF ＝AF ′，
所以2a ＝AF ＋AF ′＝14，a ＝7，
则离心率e ＝c a ＝5
7
.
7.3－1
解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )， 知∠MF 1F 2＝60°， 又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1， 所以∠MF 2F 1＝30°，
MF 1⊥MF 2，
所以MF 1＝c ，MF 2＝3c ， 所以MF 1＋MF 2＝c ＋3c ＝2a . 即e ＝c a
＝3－1. 8．[
2
2
，3－1] 解析 ∵B 和A 关于原点对称， ∴B 也在椭圆上，设左焦点为F ′， 根据椭圆定义AF ＋AF ′＝2a ， ∵AF ′＝BF ， ∴AF ＋BF ＝2a .①
∵O 是Rt△ABF 的斜边AB 的中点， ∴AB ＝2c ， 又AF ＝2c sin α②
BF ＝2c cos α，③
②③代入①，得2c sin α＋2c cos α＝2a ，
∴c a ＝1sin α＋cos α
＝12sin α＋
π
4，
即e ＝
12sin α＋
π
4
.
∵α∈[π6，π
4]，
∴
5π12≤α＋π4≤π2
， 6＋24≤sin(α＋π
4)≤1， ∴2
2≤e ≤3－1. 9.
62
解析 F 1F 2＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1.
∵AF 2＋AF 1＝4，AF 2－AF 1＝2a ， ∴AF 2＝2＋a ，AF 1＝2－a . 在Rt△F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴AF 2
1＋AF 2
2＝F 1F 2
2，
即(2－a )2
＋(2＋a )2
＝(23)2
， ∴a ＝2，∴e ＝c a
＝32
＝
62
. 10.3－1
解析 由⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2a 2＋y 2
b 2＝1，
y ＝－3x ，
得x 2
＝a 2b 2
3a 2＋b
2.
设A (x ，y )，则B (－x ，－y )，
A F →
＝(c －x ，－y )， B F →
＝(c ＋x ，y )．
由AF ⊥BF ，得A F →·B F →
＝c 2
－x 2
－y 2
＝c 2
－4x 2
＝0， ∴c 2
＝4a 2b
2
3a 2＋b
2.
化简，得c 4＋4a 4－8a 2c 2
＝0， 即e 4
－8e 2
＋4＝0，∴e 2
＝4－23， 又∵0<e <1，∴e ＝3－1.
11．15
解析 记圆(x －1)2
＋y 2
＝1的圆心为C (1,0)， 设A (x ，y )，x ∈[－3,3]， 则AC 2
＝(x －1)2
＋y 2
＝(x －1)2
＋5－59x 2＝49x 2－2x ＋6，
当x ＝－3时，(AC 2
)max ＝16，
A M →·A N →＝(A C →＋C M →)·(A C →－C M →
)
＝|AC →|2－|CM →|2＝|AC →|2
－1≤15， 故A M →·A N →
的最大值为15. 12．(0，－1)
解析 设椭圆的右焦点为E ，PQ ＋PF ＝PQ ＋2a －PE ＝PQ －PE ＋2 2. 当P 为线段QE 的延长线与椭圆的交点时，
PQ ＋PF 取最大值，此时，直线PQ 的方程为y ＝x －1， QE 的延长线与椭圆交于点(0，－1)，
即点P 的坐标为(0，－1)． 13．(2－1,1)
解析 由a sin∠PF 1F 2＝c
sin∠PF 2F 1
，
得c a ＝sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2
. 又由正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝PF 1
PF 2，
所以
PF 1PF 2＝c a ， 即PF 1＝c a
PF 2.
又由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ， 所以PF 2＝2a
2
a ＋c ，
PF 1＝2ac a ＋c
，
因为PF 2是△PF 1F 2的一边， 所以有2c －2ac a ＋c <2a 2
a ＋c <2c ＋2ac
a ＋c
，
即c 2＋2ac －a 2
>0， 所以e 2
＋2e －1>0(0<e <1)，
解得椭圆离心率的取值X 围为(2－1,1)． 14．[38，34
]
解析 由题意可得，A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 当PA 2的斜率为－2时，
直线PA 2的方程为y ＝－2(x －2)，
代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2
－64x ＋52＝0， 解得x ＝2或x ＝26
19.
由PA 2的斜率存在可得点P ⎝
⎛⎭
⎪⎫2619，2419，
此时直线PA 1的斜率k ＝3
8.
同理，当直线PA 2的斜率为－1时， 直线PA 2的方程为y ＝－(x －2)， 代入椭圆方程，
消去y 化简得7x 2
－16x ＋4＝0， 解得x ＝2或x ＝2
7
.
由PA 2的斜率存在可得点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫27，127， 此时直线PA 1的斜率k ＝3
4.
数形结合可知，
直线PA 1斜率的取值X 围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤38，34.。