最新人教版-数学-九年级上册第二十一章 一元二次方程 教21.3 第2课时 平均变化率与一元二次方程

解：设每件衬衫
，根据题意得：
（40−x)(20+2x)=1200 整理得，x2−30x+200=0 解方程得，x1=10，x2=20 因为要尽快减少库存，所以x=10舍去. 答：每件衬衫应降价20元.
要点归纳
用一元二次方程解决营销问题的一般步骤 1.设未知数x,用含x的代数式表示销量、单件利润； 2.根据利润=销量×单件利润列方程； 3.解方程； 4.根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等 条件，进行取舍； 5.作答.
答：这个增长率为50%.
二 营销问题与一元二次方程
合作探究
填空：假设某种商品的成本为每件2元，售价为3元时， 可卖100件. (1)此时的利润w= 100 元；
(2)若售价涨了1元，每件利润为___2__元，同时少卖 了10件，销售量为__9_0__件，利润w=_1__80__元; (3)若售价涨了2元，每件利润为__3___元，同时少卖 了20件，销售量为__8_0_件，利润w=_2_4_0__元;
5.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对 外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜 滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次 下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售. (1)求平均每次下调的百分率；
解：设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得 5(1−x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去）
解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
依题意，得 60 28k b, 40 32k b,
k 5,
解得
b 200.
所以y与x的函数关系式为y=-5x+200．
（2）依题知(x−25)(−5x+200)=130． 整理方程，得x2−65x+1026=0． 解得x1=27，x2=38． ∵此设备的销售单价不得高于35万元， ∴x2=38（舍），所以x=27． 答：该设备的销售单价应是27 万元．
当堂练习
1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为
720吨,平均每月增长率是x,列方程( B )
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的
投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上
解：设售价涨了x元，依题意得(4+x)(100−5x)=640，
解得x1=4,x2=12. ∵售价不高于成本价的2.5倍，
即x+12≤2.5×8. ∴x≤8. ∴x=4.
注意 题目中 有限定条件时， 要注意取舍.
即每千克糖应涨价4元.
例4 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件 盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场 平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元， 每件衬衫应降价多少元？
下降率= 下降前的量−下降后的量 下降前的量
分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额 为(5000−3000)÷2=1000(元)，乙种药品成本的年平均 下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)，显然，乙种药品 成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不 等同于年平均下降率(百分数).
4.百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时， 能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减 少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时 应进货为多少个？
分析：设每件商品涨价x元，则商品售价为_(_5_0_+_x_)_元， 则每个商品的利润为__[_(_5_0_+_x_)−_4_0_]____元， 因为每涨价1元，其销售会减少10个，则每个涨价x元， 其销售量会减少_1_0_x__个，故销售量为_(_5_0_0_−_1_0_x_)__个， 根据每件商品的利润×件数=总利润，
能力提升 为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近 期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25 万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台） 和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销 售单价不得高于35万元，如果该 公司想获得130万元的月利润，那 么该设备的销售单价应是多少万 元？
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 (1 x)2 = 1
2
解这个方程，得
x1 =1+
2 2
，x2
=1
2 2
x1 =1+
2 2
＞1(舍去)，
x2 =1
2 2
29.3%.
答：每次降价的百分率为29.3%.
例2 为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作， 盐城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”， 为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学 生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如 果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同， 求这个增长率. 解：设增长率为x，根据题意，得 20(1+x)2=24.2. 解得x1=−2.1(舍去)，x2=0.1=10%． 答：增长率为10%.
课堂小结
平 均 增长率问题 变 化 率 问 降低率问题 题
营销问题
a(1+x)2=b，其中a为增 长前的量，x为增长率， 2为增长次数，b为增长 后的量.
a(1−x)2=b，其中a为降低前 的量，x为降低率，2为降 低次数，b为降低后的量. 注意1与x位置不可调换.
常用公式：总利润=单件利 润×销量=(售价−进价)×销 量
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同学们下课了
6000(1−y)2=3600 解方程，得
y1≈0.225， y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的 年平均下降率约为22.5%. 由上可知，甲乙两种药品的下降额不同，但是下 降率相同.
例1 前年生产1吨甲产品的成本是3600元，随着生产 技术的进步，现在生产1吨甲产品的成本是1764元， 试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？
想一想 若想售卖这种商品获取利润300元，则每件 商品应涨价多少元？
解：设售价涨了x元，依题意得(1+x)(100−10x)=300，
解得x1=4,x2=5. 即当每件商品涨价4元或5元时，能获得300元利润.
变式训练 假设某种糖的成本为每千克8元，售价为12元时，可卖 100千克.若售价涨了1元，则少卖了5千克，要想售卖 这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5 倍，则每千克糖应涨价多少元？
注意 增长率不可为负，但可以超过1.
问题 你能总结出有关增长率和降低率的有 关数量关系吗？
类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍 存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为 x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量 是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增 长取“+”,降低取“－”).
解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：
（40−x)(20+2x)=1200
整理得，x2−30x+200=0
解方程得，x1=10，x2=20 答：每件衬衫应降价10元或20元.
变式训练
增加条件：为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
商场决定采取适当的降价措施. 若商场平均每天要盈 利1200元，每件衬衫应降价多少元？
可列方程为___(5_0_0_−_1_0_x_)_·_[_(5__0_+_x_)－__4_0_]_=_8_0_0_0____.
解：设每个商品涨价x元，则单件利润为(50+x-40)元， 销售量为(500－10x)个，则
(500－10x)·(50+x-40)=8000， 整理得 x2－40x+300=0， 解得x1=10，x2=30都符合题意. 当x=10时，50+x =60，500-10 x=400； 当x=30时，50+x =80， 500-10 x=200. 答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为 60元，则进货量应为400；若售价为80元，则进货量 应为200个.
例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200 万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平 均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为x.根据题意，得 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得 4x2+12x-7=0， 解这个方程得 x1=−3.5（舍去），x2=0.5= 50%.
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第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 平均变化率问题与一元二次方
程
导入新课
问题引入
小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次 月考数学成绩是75分，第二次月考增长了20%，第三 次月考又增长了20%，问他第三次数学成绩是多少？ 第二次数学成绩：75×(1+20%)=90 第三次数学成绩：90×(1+20%)=108
或第三次数学成绩： 75×(1+20%)2=108
讲授新课
一 平均变化率问题与一元二次方程
探究归纳
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种 药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生 产1t甲种药品的成本是3000 元，生产1t乙种药品的成 本是3600 元.哪种药品成本的年平均下降率较大？
解：设甲产品的年平均下降率为x.根据题意，
列方程，得 3600 ( 1−x )2 = 1764，
解方程，得 x1=0.3，x2=1.7. 根据问题的实际意义，甲产品成本的年平均下降 率约为30％.
注意 下降率不可为负，且不大于1.

变式：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知 两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到 0.1%）
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲 种药品成本为5000(1−x)元，两年后甲种药品成本为 5000(1−x)2元，于是有
5000(1−x)2=3000 解方程，得
x1≈0.225， x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的 年平均下降率约为22.5%.
设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一年后甲种药 品成本为6000(1−y)元，两年后乙种药品成本为 6000(1−y)2元，于是有
∴平均每次下调的百分率为20%.
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李 伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九 折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问 小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)； 方案二所需费用为：3.2×5000−200×5=15000(元)， ∵14400＜15000， ∴小华选择方案一购买更优惠.
(4)若售价涨了3元，每件利润为__4__元，同时少卖 了30件，销售量为__7_0_件，利润w=__2_8_0__元; (5)若售价涨了x元，每件利润为__(_1_+_x_)__元，同时 少卖了_1_0_x_件，销售量为__(_1_0_0_−_1_0_x_) 件，利润 w=_(_1_+_x_)_(1_0_0_−_1_0_x_)_元.
的平均增长率是x，则可列方程为 2(1+x)+2(1+x)2=8 .
3.青山村种的水稻前年平均每公顷产7200千克，今 年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年 平均增长率.
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x, 根据题意，得 7200(1+x)2=8712 系数化为1得， (1+x)2=1.21 直接开平方得， 1+x=1.1，1+x=−1.1 则 x1=0.1= 10%，x2=−2.1，（舍去） 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.