中牟县第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

中牟县第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
一、选择题
1． 设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B ∪（∁U A ）=（ ）
A ．{5}
B ．{1，2，5}
C ．{1，2，3，4，5}
D ．∅
2． 下列命题中的说法正确的是（
）
A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”
B ．“x=﹣1”是“x 2+5x ﹣6=0”的必要不充分条件
C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x+1＞0”
D ．命题“在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB ”的逆否命题为真命题
3． 已知两点M （1，），N （﹣4，﹣），给出下列曲线方程：①4x+2y ﹣1=0； ②x 2+y 2=3； ③+y 2=1； ④
﹣y 2=1．
在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（
）
A ．①③
B ．②④
C ．①②③
D ．②③④
4． 设是偶函数，且在上是增函数，又，则使的的取值范围是（ ）
()f x (0,)+∞(5)0f =()0f x >A ．或
B ．或
C ．
D ．或50x -<<5x >5x <-5x >55x -<<5x <-05
x <<5． 函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ）
sin()y A x ωϕ=+A ． B ． C ． D ．2sin(23
y x π
=+
22sin(2)3y x π=+
2sin(23x y π=-2sin(2)3
y x π=
-6． 已知f （x ）=ax 3+bx+1（ab ≠0），若f （2016）=k ，则f （﹣2016）=（ ）
A ．k
B ．﹣k
C ．1﹣k
D ．2﹣k
7． 若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆=1（a ＞b ＞0
）上的一点，且=0，
tan ∠PF 1F 2=
，则此椭圆的离心率为（
）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 中，“”是“”的（ ）
ABC ∆A B >cos 2cos 2B A >A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.9． 若复数z=（其中a ∈R ，i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
10．集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}，集合S=A ∩B ，则集合S 的子集有（
）A ．2个B ．3 个C ．4 个D ．8个　
11．定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f （7）=6，则f （x ）（ ）
A ．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6
B ．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6
C ．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6
D ．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6
12．过点P （﹣2，2）作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有（ ）
A ．3条
B ．2条
C ．1条
D ．0条
二、填空题
13．设双曲线﹣
=1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2=90°，则△F 1MF 2的面积是
．　
14．= .
-2
331
1
+
log 6-log 4
2
（）15．抛物线y 2=4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF|=4，则点M 的横坐标x= ．16．已知复数，则1+z 50+z 100= ．
17．设，在区间上任取一个实数，曲线在点处的切线斜率为，则随机()x x
f x e
=
[0,3]0x ()f x ()00,()x f x k 事件“”的概率为_________.
0k <18．在各项为正数的等比数列{a n }中，若a 6=a 5+2a 4，则公比q= ．
三、解答题
19．如图，在边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC=60°，PC ⊥面ABCD ，E ，F 是PA 和AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面PBC ；（2）求E 到平面PBC 的距离．
20．过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，求抛物线的方程．
21．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，曲线的参数方程是
1C 2=
ρ2C 是参数）．θππθθ],2,6[,0(21
sin 2,
1∈>⎪⎩
⎪
⎨⎧+==t t y x （Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
1C 2C （Ⅱ）求的取值范围，使得，没有公共点．
t 1C 2C 22．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割
出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆及等腰直角三角形，其中，为O EFH FE FH ⊥裁剪出面积尽可能大的梯形铁片（不计损耗），将点放在弧上，点放在斜边上，ABCD ,A B EF ,C D EH 且，设.
////AD BC HF AOE θ∠=（1）求梯形铁片的面积关于的函数关系式；
ABCD S θ（2）试确定的值，使得梯形铁片的面积最大，并求出最大值.
θABCD S
23．（本题满分13分）已知圆的圆心在坐标原点，且与直线：相切，设点为圆上1C O 1l 062=+-y x A
一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.⊥AM x M N OM ON 2
133(-+=N C （1）求曲线的方程；
C （2）若动直线：与曲线有且仅有一个公共点，过，两点分别作，
2l m kx y +=C )0,1(1-F )0,1(2F 21l P F ⊥，垂足分别为，，且记为点到直线的距离，为点到直线的距离，为点21l Q F ⊥P Q 1d 1F 2l 2d 2F 2l 3d P
到点的距离，试探索是否存在最值？若存在，请求出最值.
Q 321)(d d d ⋅+24．（本小题满分12分）
某单位共有名员工，他们某年的收入如下表：
10员工编号12345678910年薪（万元）
3
3．5
4
5
5．5
6．5
7
7．5
8
50
（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；
（2）从该单位中任取人，此人中年薪收入高于万的人数记为，求的分布列和期望；
225ξξ
（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为万元、万35.4元、万元、万元，预测该员工第五年的年薪为多少？6.52.7
附：线性回归方程中系数计算公式分别为：a x b y
ˆˆˆ+= ，，其中、为样本均值．1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑$x b y a
ˆˆ-=x y
中牟县第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵C U A={1，5}
∴B∪（∁U A）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}．
故选B．
2．【答案】D
【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误，
B．由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B错误，
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≤0﹣5，故C错误，
D．若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，即命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D正确
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．
3．【答案】D
【解析】解：要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．
MN的中点坐标为（﹣，0），MN斜率为=
∴MN的垂直平分线为y=﹣2（x+），
∵①4x+2y﹣1=0与y=﹣2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意．
②x2+y2=3与y=﹣2（x+），联立，消去y得5x2﹣12x+6=0，△=144﹣4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
③中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得9x2﹣24x﹣16=0，△＞0可知③中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
④中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得7x2﹣24x+20=0，△＞0可知④中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
故选D
4．【答案】B
考
点：函数的奇偶性与单调性．
【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于轴对称，单调性在轴两侧相反，即在时单调递增，当时，y y 0x >0x <函数单调递减.结合和对称性，可知，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的(5)0f =(5)0f ±=解集.15． 【答案】B 【解析】
考点：三角函数的图象与性质．()sin()f x A x ωϕ=+6． 【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=ax 3+bx+1（ab ≠0），f （2016）=k ，∴f （2016）=20163a+2016b+1=k ，∴20163a+2016b=k ﹣1，
∴f （﹣2016）=﹣20163a ﹣2016b+1=﹣（k ﹣1）+1=2﹣k ．故选：D ．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．　
7． 【答案】A 【解析】解：∵∴
，即△PF 1F 2是P 为直角顶点的直角三角形．
∵Rt △PF 1F 2中，，
∴=
，设PF 2=t ，则PF 1=2t
∴
=2c ，
又∵根据椭圆的定义，得2a=PF 1+PF 2=3t
∴此椭圆的离心率为e==
=
=
故选A
【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．
8． 【答案】A.
【解析】在中ABC ∆2
2
2
2
cos 2cos 212sin 12sin sin sin sin sin B A B A A B A B
>⇒->-⇔>⇔>，故是充分必要条件，故选A.
A B ⇔>9． 【答案】A
【解析】解：复数z==
=
．
由条件复数z=（其中a ∈R ，i 是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，
解得a=3．故选：A ．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．　
10．【答案】C
【解析】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}，∴集合S=A ∩B={1，3}，则集合S 的子集有22=4个，故选：C ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合子集个数的求解，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．　
11．【答案】D
【解析】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，∴函数f （x ）在x=7时，函数取得最大值f （7）=6，∵函数f （x ）是偶函数，
∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6，故选：D
12．【答案】C
【解析】解：假设存在过点P （﹣2，2）的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，设直线l 的方程为：，则
．
即2a ﹣2b=ab
直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8，即ab=﹣16，联立
，解得：a=﹣4，b=4．∴直线l 的方程为：
，
即x ﹣y+4=0，
即这样的直线有且只有一条，故选：C
【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题．　
二、填空题
13．【答案】　9　．
【解析】解：双曲线﹣=1的a=2，b=3，
可得c 2=a 2+b 2=13，
又||MF 1|﹣|MF 2||=2a=4，|F 1F 2|=2c=2，∠F 1MF 2=90°，
在△F 1AF 2中，由勾股定理得：|F 1F 2|2=|MF 1|2+|MF 2|2
=（|MF 1|﹣|MF 2|）2+2|MF 1||MF 2|，即4c 2=4a 2+2|MF 1||MF 2|，可得|MF 1||MF 2|=2b 2=18，
即有△F 1MF 2的面积S=|MF 1||MF 2|sin ∠F 1MF 2=×18×1=9．故答案为：9．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a 、b 、c 之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．　
14．【答案】332
【解析】
试题分析：原式=。

2
333
31334log log 16log 16log 1622+-=+=+=+=考点：指、对数运算。

15．【答案】　3　．
【解析】解：∵抛物线y 2=4x=2px ，∴p=2，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|=4=x+=4，∴x=3，故答案为：3．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
16．【答案】　i ．
【解析】解：复数，
所以z 2=i ，又i 2=﹣1，所以1+z 50+z 100=1+i 25+i 50=1+i ﹣1=i ；
故答案为：i ．
【点评】本题考查了虚数单位i 的性质运用；注意i 2=﹣1．　
17．【答案】
35
【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
，由得，，∴随机事件“”的概率为．0
001()x x k f x e -'==
0()0f x '<01x >0k <2
3
18．【答案】　2　．
【解析】解：由a 6=a 5+2a 4得，a 4q 2=a 4q+2a 4，即q 2﹣q ﹣2=0，解得q=2或q=﹣1，又各项为正数，则q=2，故答案为：2．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：∵AE=PE ，AF=BF ，∴EF ∥PB
又EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，故EF ∥平面PBC ；
（2）解：在面ABCD 内作过F 作FH ⊥BC 于H ∵PC ⊥面ABCD ，PC ⊂面PBC ∴面PBC ⊥面ABCD
又面PBC ∩面ABCD=BC ，FH ⊥BC ，FH ⊂面ABCD ∴FH ⊥面PBC
又EF||平面PBC ，故点E 到平面PBC 的距离等于点F 到平面PBC 的距离FH ．
在直角三角形FBH 中，∠FBC=60°，FB=，FH=FBsin ∠FBC=a ，
故点E 到平面PBC 的距离等于点F 到平面PBC 的距离，等于
a ．
20．【答案】
【解析】解：由题意可知过焦点的直线方程为y=x ﹣，联立
，得，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）
根据抛物线的定义，得|AB|=x 1+x 2+p=4p=8，
解得p=2．
∴抛物线的方程为y 2=4x ．
【点评】本题给出直线与抛物线相交，在已知被截得弦长的情况下求焦参数p 的值．着重考查了抛物线的标准方程和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．
21．【答案】
【解析】 【解析】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程是，1C 22
2=+y x 曲线的普通方程是…………5分2C )2
1221(1+≤≤+
=t y t x （Ⅱ）对于曲线 ，令，则有．1:C 222=+y x 1x =1y =±故当且仅当时，，没有公共点，001112-122
t t t t >>⎧⎧⎪⎪⎨⎨+>+<⎪⎪⎩⎩或1C 2C 解得．……10分12
t >22．【答案】（1），其中.（2）时，()21sin cos S θθ=+02πθ<<6
πθ
=max S =【解析】试题分析：（1）求梯形铁片的面积关键是用表示上下底及高，先由图形得ABCD S θ，这样可得高，再根据等腰直角三角形性质得，AOE BOF θ∠=∠=2cos AB θ=()1cos sin AD θθ=-+最后根据梯形面积公式得，交代定义域()1cos sin BC θθ=++()2AD BC AB S +⋅=
()21sin cos θθ=+．（2）利用导数求函数最值：先求导数，再求导函数零点02π
θ<<()'f θ()()22sin 1sin 1θθ=--+，列表分析函数单调性变化规律，确定函数最值
6π
θ=试题解析：（1）连接，根据对称性可得且，
OB AOE BOF θ∠=∠=1OA OB ==所以，，，
1cos sin AD θθ=-+1cos sin BC θθ=++2cos AB θ=所以，其中．
()2AD BC AB S +⋅=()21sin cos θθ=+02πθ<<
考点：利用导数求函数最值
【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了圆的标准方程、向量的坐标运算，轨迹的求法，直线与椭圆位置关系；本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，还要注意对特殊情况的考虑，本题难度大.
（2）由（1）中知曲线是椭圆，将直线：代入
C 2l m kx y +=椭圆的方程中，得C 12432
2=+y x 0
1248)34(222=-+++m kmx x k 由直线与椭圆有且仅有一个公共点知，
2l C ，
0)124)(34(4642222=-+-=∆m k m k 整理得 …………7分342
2+=k m 且，211|
|k k m d +-=2
21|
|k k m d ++=当时，设直线的倾斜角为，则，即 10≠k 2l θ|||tan |213d d d -=⋅θ||213k
d d d -=∴2
2
22121
213211||4||||)()(k m k d d k d d d d d d d +=-=-+=+ …………10分||1||1614
3||42m m m m +=+-=∵ ∴当时，3422+=k m 0≠k 3||>m ∴，∴……11分3343
13||1||=+>+m m 34)(321<+d d d
当时，四边形为矩形，此时， 20=k PQ F F 21321==d d 23=d ∴ …………12分
34232)(321=⨯=+d d d 综上、可知，存在最大值，最大值为 ……13分
1
2321)(d d d ⋅+3424．【答案】
【解析】（1）平均值为10万元，中位数为6万元．
（2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；取值为0，1，2．
ξ ，，，152)0(21024===C C P ξ158)1(2101614===C C C P ξ31)2(21026===C C P ξ∴的分布列为
ξξ
012P 1521583
1
∴．2816()012151535
E ξ=⨯+⨯+⨯=（3）设分别表示工作年限及相应年薪，则，)4,3,2,1(,=i y x i i 5,5.2==y x ，21
() 2.250.250.25 2.255n i
i x x =-=+++=∑，
4
1()() 1.5(2)(0.5)(0.8)0.50.6 1.5 2.27i
i i x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，，121()()7 1.45
()n
i i
i n i
i x x y y b x x ==--===-∑∑$ˆˆ5 1.4 2.5 1.5a y b x =-=-⨯=由线性回归方程为．可预测该员工年后的年薪收入为万元．
1.4 1.5y x =+8.5。