2020届江西省南昌市高考数学三模试卷(含解析)

2020届江西省南昌市高考数学三模试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知全集U=R，集合A={x|x2−4x+3>0}，B={x|−1<x<2}，则(∁U A)∪B=()
A. (−1,1]
B. [1,2)
C. [1,3]
D. (−1,3]
2.已知复数z=−2i，则1
z+1
的虚部为()
A. 2
5B. 2
5
i C. 2√5
5
i D. 2√5
5
3.数列{1+2n−1}的前n项和为()．
A. 1+2n
B. 2+2n
C. n+2n−1
D. n+2+2n
4.已知函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，且当x∈(−∞,0)时，f(x)+xf′(x)<0成立
若a=(20.2)⋅f(20.2)，b=(ln2)⋅f(ln2)，c=(1og1
21
4
)⋅f(1og1
2
1
4
)，则a，b，c的大小关系是()
A. a>b>c
B. b>a>c
C. c>a>b
D. a>c>b
5.已知tanα=3，则cos2α=()
A. 9
10B. −9
10
C. −4
5
D. 4
5
6.8.下列命题为真命题的是
A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件
B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件
C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//，//，则
//
D. ，使成立
7.下列大小关系正确的是()
A. B.
C. D.
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()
A. B. C. D.
9.更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，
不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．”如图是该算法的程序框图，如果输入a=98，b=63，则输出的a值是()
A. 35
B. 21
C. 14
D. 7
10.设集合A={0,2，4}、B={1,3，5}，分别从A、B中任取2个元素组成无重复数字的四位数，
其中能被5整除的数共有()
A. 24个
B. 48个
C. 64个
D. 116个
11.已知二次曲线x2
4+y2
m
=1,则当m∈[−2,−1]时，该曲线的离心率的取值范围是()
A. [√2,√3]
B. [√5,√6]
C. [√5
2,√6
2
] D. [√3
2
,√6
2
]
12.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2−x)−x2+8x−8，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线
为l，点(a n,2a n+1)在l上，且a1=1，则a8=()
A. −7
2B. −4 C. −9
2
D. −5
2
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.(√x−2
x
)5的二项展开式中x的系数是______ .(用数字作答)
14.若x，y满足约束条件{x+y−2≤0
x−2y−2≤0
y≤2x+2
，则z=2x+y的最小值为______．
15.一个与球心距离为√2的平面截球所得圆面面积为π，则球的表面积为______．
16.若二次函数y=ax2+4x−2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若a−c
b−c =sinB
sinA+sinC
．
(1)求角A；
(2)若f(x)=cos2(x+A)−sin2(x−A)，求f(x)的单调递增区间．
18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，每个侧面均为边长为2的正方形，D为底边AB的中点，E为
侧棱CC1的中点．
(Ⅰ)求证：CD//平面A1EB；
(Ⅱ)求证：AB1⊥平面A1EB；
(Ⅲ)若F为A1B1的中点，求过F，D，B，C点的球的体积．
19.学生的学习方式是多种多样的，为了应对重大传染疾病所要求的人员的社交距离，也为了提高
学生的学习效率，开展多渠道学习形式，市教育局鼓励学生参加网上学习.某中学课题组的数学教师为了调查学生在家学习数学的情况，对本校随机选取100名学生进行问卷调查，统计他们学习数学的时间，结果如图所示．
(1)若此次学习数学时间X整体近似服从正态分布，用样本来估计总体，设μ，σ分别为这100
名学生学习数学时间的平均值和标准差，并求得μ=76，σ=11.该校共有1000名学生，试估计该校学生中此次学习数学时间超过87分钟的学生人数(结果四舍五人取整数)；
(2)若从全市学生中(利用电脑抽取学籍号的方式)有放回地随机抽取3次，每次抽取1人，用频
率估计概率，设其中数学学习时间在80分钟及以上的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．参考公式：若随机变量服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973．
20.求下列曲线的标准方程．
)的椭圆的标准方程；
(1)求焦点在x轴上，焦距为2，过点(1,3
2
(2)求与双曲线x2
−y2=1有公共焦点，且过点(√2,√2)的双曲线标准方程．
2
21.已知函数f(x)=x2−(2a+1)x+alnx(a>0)．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方
程为ρcosθ=4．
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|⋅|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角
坐标方程；
)，点B(2√3,θ)在曲线C2上，求△ABO的面积．
(2)设点A的极坐标为(2,π
3
23.若∃x∈R，使得不等式|2t−1|<sin2x−4sinx−4成立．
(Ⅰ)求t的取值范围；
(Ⅱ)求证：1
2−2t +1
t+1
+1
t
>3．
【答案与解析】
1.答案：D
解析：解：由x 2−4x +3>0解得x <1或x >3，则A =(−∞,1)∪(3,+∞)， 所以(∁U A)∪B =[1,3]∪(−1，2)=(−1，3]． 故选：D ．
求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．
本题主要考査一元二次不等式的解法、补集与并集等基础知识；考查运算求解能力．
2.答案：A
解析：解：∵复数z =−2i ， ∴
1z+1
=
11−2i
=
1+2i (1−2i)(1+2i)
=
1+2i 5
的虚部为2
5，
故选：A ．
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．
3.答案：C
解析：S n =n +
=n +2n −1．
4.答案：B
解析：
利用函数y =f(x −1)的图象关于直线x =1对称，可得函数y =f(x)的图象关于y 轴对称，是偶函数．
令g(x)=xf(x)，利用已知当x ∈(−∞,0)时，g′(x)=f(x)+xf′(x)<0，可得函数g(x)在x ∈(−∞,0)单调递减，
进而得到函数g(x)在(0,+∞)上单调递减．再根据log 12
1
4=2>20.2>1>ln2>0.即可得到a ，b ，c 的大小．
解：∵函数y =f(x −1)的图象关于直线x =1对称，
∴函数y =f(x)的图象关于y 轴对称，是偶函数． 令g(x)=xf(x)，
则当x ∈(−∞,0)时，g′(x)=f(x)+xf′(x)<0， ∴函数g(x)在x ∈(−∞,0)单调递减， 因此函数g(x)在(0,+∞)上单调递减． ∵log 12
14=2>20.2>1>ln2>0． ∴c <a <b ． 故选B ．
5.答案：C
解析：解：tanα=sinα
cosα=3， ⇒sinα=3cosα， ⇒sin 2α=9cos 2α， ⇒1−cos 2α=9cos 2α， ⇒cos 2α=1
10， ⇒
1+cos2α
2
=
1
10
，
⇒cos2α=−4
5．
故选：C ．
利用已知及同角三角函数基本关系式可得sinα=3cosα，两边平方，整理可得cos 2α=1
10，利用三角函数降幂公式即可得解cos2α的值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
6.答案：C
解析：
故答案为C．
7.答案：C
解析：试题分析：因为，，，所以，选C．
考点：对数式与指数式比较大小．
8.答案：A
解析：试题分析：由三视图可知，该几何体由一个半球和一个圆锥构成，其表面积为
.选A．
考点：1、三视图；2、空间几何体的体积．
9.答案：D
解析：解：第一次循环得：a=98−63=35；
第二次循环得：b=63−35=28；
第三次循环得：a=35−28=7；
第四次循环b=28−7=21；
第五次循环b=21−7=14；
第六次循环b=14−7=7；
此时a=b，输出a=7．
故选：D．
由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．
本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，是基础题．10.答案：C
解析：解：∵由题意知本题包括三种情况(1)只含0不含5的数字共有C21C22A33=12种结果
(2)只含5不含0的共有C21C22A33=12种结果，
(3)含有0和5的又包含两种①0在个位时有C21C21A33=24种结果
②5在个位时有C21C21C21A22=16种结果
∴根据分类计数原理知共有12+12+24+16=64．
故选C
根据0的特殊性质，本题包括三种情况第一只含0不含5的数字，第二只含5不含0的数字，第三含有0和5的又包含两种①0在个位和5在个位时，写出各种情况对应的结果数，利用加法原理得到结果．
数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．
11.答案：C
解析：解：因为二次曲线x2
4+y2
m
=1,m∈[−2,−1]，所以a=2，b2∈[1,2]，所以c2=a2+b2∈[5,6]，
所以双曲线的离心率e=c
a ∈[√5
2
,√6
2
]；
故选C．
通过双曲线方程，求出a与b的范围，得到c的范围，即可求出离心率的范围．本题是基础题，考查双曲线的离心率的求法，考查计算能力．
12.答案：D。