专题07立方公式(原卷版)

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专题07 立方公式
考点点拨
完全立方和公式:
(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3
完全立方差公式:
(a ﹣b )3=a 3﹣3a 2b +3ab 2﹣b 3
立方和公式:
a 3+
b 3=(a +b )(a 2﹣ab +b 2)
立方差公式:
a 3﹣
b 3=(a ﹣b )(a 2+ab +b 2)
3项立方和公式:
a 3+
b 3+
c 3﹣3abc =(a +b +c )(a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac )
典例精选
1.(黄冈中学自主招生)若x +y =1,x 3+y 3=13,则x 5+y 5的值是( )
A .1181
B .3181
C .11243
D .31243
2.(武侯区校级自主招生)若a =34,则a(a+1)1−a 3+a 3(1+a 3)1−a 9+a 9(1+a 9)1−a 27
的值的整数部分为( ) A .1 B .2 C .3
D .4 3.(宣州区校级模拟)设x 、y 、z 是两两不等的实数,且满足下列等式:√x 3(y −x)36+√x 3(z −x)36=√y −x 6−
√x −z 6,则代数式x 3+y 3+z 3﹣3xyz 的值是( )
A .0
B .1
C .3
D .条件不足,无法计算
4.(梁子湖区校级自主招生)已知x 、y 满足{(x −1000)3+2007(x −1000)=−1(y −1000)3+2007(y −1000)=1
,则x +y 等于( ) A .2000 B .2007 C .2008 D .以上都不对
5.(浙江校级自主招生)已知实数x ,y 满足方程组{x 3+y 3=19x +y =1
,则x 2+y 2= . 6.(福鼎市校级自主招生)已知点P 1(x 1,1921),P 2(x 2,1921)是在二次函数y =ax 2+bx +2010的图象上,
求二次函数当x =x 1+x 2的值为 ;
已知x =√5−√5,y =√5+√5,则x 6+y 6= .
7.(福鼎市校级自主招生)已知x =√5−√5,y =√5+√5,则x 6+y 6= .
8.(鄂州自主招生)已知x ,y 满足{(x −1)3+2010(x −1)=−2(y −1)3+2010(y −1)=2
,则x +y = . 9.(青羊区校级自主招生)已知a 是方程x 2
+x −14=0的根,则a 3−1a 3−a 的值是 . 10.(温州校级自主招生)23−123+1⋅33−1
33+1⋅⋯⋅1993−11993+1⋅2003−1
2003+1= .
11.(安徽自主招生)已知x 、y 、z 是整数,且x <y <z ,求满足{x +y +z =0x 3+y 3+z 3=−18
的x 、y 、z 的值. 12.(合肥校级自主招生)已知实数x ,y 满足方程组{x 3+y 3=19x +y =1
.立方和(差)公式a 3±b 3=(a ±b )(a 2±ab +b 2)
求值:(1)xy (2)x 2+y 2.
精准预测
1.由(a +b )(a 2﹣ab +b 2)=a 3﹣a 2b +ab 2+a 2b ﹣ab 2+b =a 3+b 3,即(a +b )(a 2﹣ab +b 2)=a 3+b 3.我们把这个等式叫做立方公式.下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是( )
A .(x +4y )(x 2﹣4xy +16y 2)=x 3+64y 3
B .(a +1)(a 2﹣a +1)=a 3+1
C .(2x +y )(4x 2﹣2xy +y 2)=8x 3+y 3
D .(x +3)(x 2﹣6x +9)=x 3+27
2.已知x =√4(√5+1)3−√4(√5−1)3,则x 3+12x 的算术平方根是( )
A .0
B .2
C .√2
D .2√2 3.若a +b =3,ab =﹣1,则a 3+b 3的值是( )
A .24
B .36
C .27
D .30
4.已知a +b =10,a 3+b 3=100,ab 等于( )
A .10
B .20
C .30
D .40 5.若a =−2937,b =−4537,则a 3﹣6ab +b 3= .
6.设x =1√2−1
,a 是x 的小数部分,b 是﹣x 的小数部分,则a 3+b 3+3ab = . 7.若三个数a 、b 、c 满足a +b +c =0,abc =1,则a 3+b 3+c 3= .(用具体数字作答,它不含a 、b 、c )
8.设1995x 3=1996y 3=1997z 3,√1995x 2+1996y 2+1997z 23=√19953+√19963+√19973,且xyz >0,则1x +1y +1
z = .
9.已知x ,y 为实数,且满足√1+x −(y −1)√1−y =0,那么x 3﹣y 3= .
10.若实数a 、b 、c 满足a +b +c =5,bc +ca +ab =7,abc =2,则a 3+b 3+c 3= .
11.已知a3+b3=9,a+b=3,求ab.
12.若x,y,z满足x+y+z=1,x2+y2+z2=2,x3+y3+z3=11
4,求x
4+y4+z4的值.。

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