高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学案(含解析)新人教B版选修2_1

学习目标 1.了解直线的方向向量，了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直.4.会利用向量求两条直线所成的角．
知识点一 用向量表示直线或点在直线上的位置 1．用向量表示直线或点在直线上的位置
(1)在直线l 上给定一个定点A 和它的一个方向向量a ，对于直线l 上的任意一点P ，则有AP →＝t a 或OP →＝OA →＋t a 或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →(AB →
＝a )，
上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程．向量a 称为该直线的方向向量． 2．线段AB 的中点M 的向量表达式OM →＝12
(OA →＋OB →
)．
知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行
1．设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则由向量共线的条件，得l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔v 1∥v 2.
2．已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得
l ∥α或l 在α内⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.
3．已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得
α∥β或α与β重合⇔v 1∥β且v 2∥β.
知识点三 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角
设两条直线所成的角为θ，v 1和v 2分别是l 1和l 2的方向向量，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2，cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|.
2．求两直线所成的角应注意的问题
在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v 1，v 2，所以cos 〈v 1，v 2〉＝
v 1·v 2
|v 1||v 2|
.
但要注意，两直线的夹角与〈v 1，v 2〉并不完全相同，当〈v 1，v 2〉为钝角时，应取其补角作为两直线的夹角．
1．直线l 的方向向量是唯一的．( × )
2．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( √ )
3．若向量a 是直线l 的一个方向向量，则向量k a 也是直线l 的一个方向向量．( × )
4．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．( × )
题型一 空间中点的位置确定
例1 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，如图，以AB →
的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，
P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：
(1)AP ∶PB ＝1∶2； (2)AQ ∶QB ＝2∶1. 求点P 和点Q 的坐标． 解 (1)由已知，得PB →＝2AP →
， 即OB →－OP →＝2(OP →－OA →
)， OP →
＝23OA →＋13
OB →.
设点P 坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示，得 (x ，y ，z )＝23(2,4,0)＋1
3(1,3,3)，
即x ＝43＋13＝53，y ＝83＋33＝11
3
，z ＝0＋1＝1.
因此，P 点的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，113，1.
(2)因为AQ ∶QB ＝2∶1，
所以AQ →＝－2QB →，OQ →－OA →＝－2(OB →－OQ →
)， OQ →
＝－OA →＋2OB →
，
设点Q 的坐标为(x ′，y ′，z ′)，则上式换用坐标表示， 得(x ′，y ′，z ′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)， 即x ′＝0，y ′＝2，z ′＝6. 因此，Q 点的坐标是(0,2,6)．
反思感悟 确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得．
跟踪训练1 已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点且|AC →||AB →|＝1
3，则点C 的坐
标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫7
2，－12，52
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫38，－3，2
C.⎝
⎛⎭
⎪⎫103，－1，73
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5
2
，－72，32
答案 C
解析 设C (x ，y ，z )，
∵C 为线段AB 上一点且|AC →
||AB →|＝1
3，
∴AC →＝13
AB →，
即(x －4，y －1，z －3)＝1
3(－2，－6，－2)，
∴x ＝103，y ＝－1，z ＝73.
题型二 向量方法处理平行问题
例2 如图，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线
A ′C ′的中点．求证：MN ∥侧面AD ′；MN ∥AD ′，并且MN ＝1
2
AD ′.
证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′—→
＝c ， 则AM →＝12(a ＋c )，AN →
＝c ＋12
(a ＋b )，
所以MN →＝AN →－AM →＝1
2
(b ＋c )．
因为MN 不在平面AD ′内，所以MN ∥平面AD ′. 又因为b ＋c ＝AD ′—→
， 所以MN →＝12
AD ′—→，
所以MN ∥AD ′，MN ＝1
2
AD ′.
反思感悟 (1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理．
(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．
跟踪训练2 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2.点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点，求证：MN ∥RS . 证明 方法一 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ，则 MN →
＝MB 1→＋B 1A 1→＋A 1N →
＝13c －a ＋12
b ，
RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝1
2b －a ＋13
c ，
∴MN →＝RS →，∴MN →∥RS →
，又∵R ∉MN ，∴MN ∥RS .
方法二 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz ，则根据题意得
M ⎝
⎛⎭
⎪⎫3，0，43，N (0,2,2)， R (3,2,0)，S ⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，4，23
.
∴MN →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－3，2，23，RS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，MN →＝RS →，
∴MN →∥RS →
，∵M ∉RS ，∴MN ∥RS . 题型三 两直线所成的角的求解
例3 已知三棱锥O —ABC (如图)，OA ＝4，OB ＝5，OC ＝3，∠AOB ＝∠BOC ＝60°，∠COA ＝90°，
M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点．求直线MN 与AC 所成角的余弦值．
解 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，直线MN 与AC 所成的角为θ，则 MN →＝ON →－OM →＝1
2(b ＋c )－12a
＝12(b ＋c －a )，AC →
＝c －a ， 所以|MN →|2＝14
(b ＋c －a )2
＝14(|a |2＋|b |2＋|c |2
＋2b·c －2a·b －2a·c ) ＝14(42＋52＋32＋15－20－0)＝454， |AC →|2＝(c －a )2＝|a |2＋|c |2
－2a·c ＝42
＋32
－02
＝25，
MN →·AC →＝1
2(b ＋c －a )·(c －a )
＝12(b·c ＋|c |2－a·b －2a·c ＋|a |2) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋9－10－0＋16＝454. cos θ＝|cos 〈MN →，AC →
〉|＝|MN →
·AC →
||MN →||AC →|
＝
454
454
×5 ＝3510.所以直线MN 与AC 所成角的余弦值为3510
. 反思感悟 向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而异面直
线所成角的范围是⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2，故异面直线所成角的余弦值一定大于或等于0.
跟踪训练3 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝BB 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1与平面B 1BCC 1的中心，求异面直线AF 与BE 所成角的余弦值． 解 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，
则A (2,0,0)，B (2,4,0)，
C 1(0,4,2)，A 1(2,0,2)，
∴E (1,2,2)，F (1,4,1)， AF →＝(－1,4,1)， BE →
＝(－1，－2,2)，
∴|AF →|＝18＝32，|BE →
|＝9＝3，
AF →·BE →
＝1－8＋2＝－5，
∴cos〈AF →，BE →
〉＝－532×3
＝－5218.
∵异面直线所成角的范围是⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2， 设AF 与BE 所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈AF →，BE →
〉|＝5218.
即异面直线AF 与BE 所成角的余弦值为52
18
.
1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则( ) A ．l 1∥l 2
B ．l 1⊥l 2
C ．l 1，l 2相交但不垂直
D ．不能确定
答案 B
解析 ∵a·b ＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0， ∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.
2．设l 1的方向向量a ＝(1,3，－2)，l 2的方向向量b ＝(－4,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( ) A ．1B.52C.1
2D ．3
答案 B
解析 因为l 1⊥l 2，所以a ·b ＝0，即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m ＝0，所以2m ＝9－4＝5，即m ＝52
.
3．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3) D ．(3,2,1) 答案 A
解析 ∵AB →＝(2,4,6)，而与AB →
共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量，故选A. 4．已知向量a ＝(4－2m ，m －1，m －1)，b ＝(4,2－2m,2－2m )，若a ∥b ，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．3
C ．1或3
D ．以上答案都不正确
答案 C
解析 因为b ＝(4,2－2m,2－2m )≠0， 所以“a ∥b 的充要条件是a ＝λb ”， 得⎩⎪⎨⎪
⎧
4－2m ＝4λ，m －1＝λ2－2m ，m －1＝λ2－2m ，
显然m ＝1符合题意，
当m ≠1时，由m －1＝λ(2－2m )，得λ＝－12，
代入4－2m ＝4λ，得m ＝3.
5．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝______，y ＝______. 答案 －14 6
解析 ∵l 1∥l 2，∴－7x ＝3y ＝4
8(x ≠0，y ≠0)，
∴x ＝－14，y ＝6.
1．利用向量可以表示直线或点在直线上的位置．
2．线线平行、线面平行、面面平行问题都可以转化为两个向量的平行问题，证明依据是空间向量共线、共面定理．
3．用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体几何与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．
一、选择题
1．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝15
2
C ．x ＝3，y ＝15
D ．x ＝6，y ＝15
2
答案 D
解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y (xD ＝/0，yD ＝/0)，解得x ＝6，y ＝15
2
.
2．若异面直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(0，－2，－1)，b ＝(2,0,4)，则异面直线l 1与l 2的夹角的余弦值等于( ) A ．－25B.25C ．－255 D.25
5
答案 B
解析 设l 1与l 2的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a||b|＝|－4|5×20＝25.
3．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60°B．90°C．105°D．75° 答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系A 1xyz ，设BB 1＝1，
则A (0,0,1)，B 1⎝
⎛⎭⎪⎫6
2，22，0， C 1(0，2，0)，B ⎝
⎛⎭
⎪⎫6
2，22，1. ∴AB 1→＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫6
2，22，－1，
C 1B →
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫6
2，－22，1，
∴AB 1→·C 1B →＝64－2
4－1＝0，
即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.
4．已知A (3,0，－1)，B (0，－2，－6)，C (2,4，－2)，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．以上都不对
答案 C
解析 ∵AB →＝(－3，－2，－5)，BC →
＝(2,6,4)， AC →
＝(－1,4，－1)．
∴AB →·AC →
＝－3×(－1)＋(－2)×4＋(－5)×(－1)＝0， ∴AB ⊥AC .∴△ABC 是直角三角形． 又|AB →|≠|AC →|， 故选C.
5．已知点A (3,3，－5)，B (2，－3,1)，C 为线段AB 上一点，且AC →＝23AB →
，则点C 的坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫7
2
，－12，52
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫38，－3，2
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫73，－1，－1
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5
2
，－72，32
答案 C
解析 设C 点坐标为(x ，y ，z )，则AC →＝(x －3，y －3，z ＋5)，AB →
＝(－1，－6,6)．
由AC →＝23
AB →
，得⎩⎪⎨⎪⎧
x －3＝－23
，
y －3＝2
3×－6＝－4，
z ＋5＝23×6＝4，
解得x ＝7
3
，y ＝－1，z ＝－1.
即C 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫73，－1，－1. 6．从点A (2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为( ) A ．(－9，－7,7) B ．(18,17，－17) C ．(9,7，－7) D ．(－14，－19,31)
答案 B
解析 设B (x ，y ，z )，则AB →
＝(x －2，y ＋1，z －7) ＝λ(8,9，－12)，λ>0.
故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ，
又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342
， 得(17λ)2
＝342
，∵λ>0，∴λ＝2.
∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)．
7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1A 答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1.
则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12，1， ∴CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－12，1，
AC →
＝(－1,1,0)，BD →
＝(－1，－1,0)， A 1D →
＝(－1,0，－1)，A 1A →
＝(0,0，－1)．
∵CE →·BD →＝(－1)×12＋(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋0×1＝0，
∴CE ⊥BD .
8.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则
①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1. 以上结论中正确的是( ) A ．①③④ B ．①②③④ C ．①③
D ．③④
答案 A
解析 ∵A 1M →＝AM →－AA 1→＝DP →－DD 1→＝D 1P →，
∴A 1M ∥D 1P .
∵D 1P ⊂平面D 1PQB 1，A 1M ⊄平面D 1PQB 1，
∴A 1M ∥平面D 1PQB 1.
又D 1P ⊂平面DCC 1D 1，A 1M ⊄平面DCC 1D 1，∴A 1M ∥平面DCC 1D 1.
∵B 1Q 为平面DCC 1D 1的斜线，
∴B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行．
二、填空题
9．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)，A (1，－3,2)，B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.
答案 16
解析 PA →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)．
根据共面向量定理，设PC →＝xPA →＋yPB → (x ，y ∈R )，
则(2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4)
＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，
2＝2x ＋4y ，
解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.
10．已知空间三点A (0,0,1)，B (－1,1,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为____________．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12，1 解析 设M (x ，y ，z )，则由已知，得
AM →＝λAB →＝λ(－1,1,0)＝(－λ，λ，0)．
又AM →＝(x ，y ，z －1)，∴x ＝－λ，y ＝λ，z ＝1.
又CM →·AB →＝0，CM →＝(－λ－1，λ－2,4)，
∴(－λ－1，λ－2,4)·(－1,1,0)＝0，
∴(λ＋1)＋(λ－2)＝0，λ＝12
. ∴M 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12，1.
11．已知两点A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，则AB 连线与xOz 平面的交点坐标是____________．
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，13 解析 设交点坐标为P (x,0，z )，则由A ，P ，B 三点共线可设AP →＝λAB →，得(x －1,2，z －3)
＝λ(1,3，－4)，
即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝λ，2＝3λ，
z －3＝－4λ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝53，z ＝13.
故AB 连线与xOz 平面的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫53
，0，13. 三、解答题
12.如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．
证明：EF ∥平面SAD .
证明 如图所示，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz .
设A (a,0,0)，S (0,0，b )，
则B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，b
2.
所以EF →＝⎝
⎛⎭⎪⎫－a ，0，b 2. 取SD 的中点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，0，b 2， 连接AG ，则AG →＝⎝
⎛⎭⎪⎫－a ，0，b 2.
因为EF →＝AG →，所以EF ∥AG ，
又AG ⊂平面SAD ，
EF ⊄平面SAD ，
所以EF ∥平面SAD .
13.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 上的动点．若异面直线AD 1与EC 所成角为60°，试确定此时动点E 的位置．
解 以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设E (1，t,0)(0≤t ≤2)，
则A (1,0,0)，D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，C (0,2,0)，D 1A →＝(1,0，－1)，CE →＝(1，t －2,0)，
根据数量积的定义及已知得，1＋0×(t －2)＋0＝2×1＋
t －22·cos60°， 所以t ＝1，所以点E 的位置是AB 的中点．
14．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，则点P 的坐标为________．
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13
，0，－23 解析 因为AB →＝(－1，－1,1)，AC →＝(2,0,1)，
PA →＝(－x,1，－z )，
由PA →·AB →＝0，PA →·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －1－z ＝0，－2x －z ＝0，
得x ＝13，z ＝－23
， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13
，0，－23. 15.如图所示，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，
问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO .
解 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，
设正方体的棱长为1，
则O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝
⎛⎭⎪⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， 则Q (0,1，z )，
则OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12
，－12，12， BD 1→＝(－1，－1,1)，
∴OP →∥BD 1→，∴OP ∥BD 1.
AP →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，0，12，BQ →
＝(－1,0，z )， 当z ＝12
时，AP →＝BQ →， 即AP ∥BQ ，又AP ∩OP ＝P ，BQ ∩BD 1＝B ， 则有平面PAO ∥平面D 1BQ ， ∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .。