北京市西城35中2025届数学高三上期末检测模拟试题含解析

北京市西城35中2025届数学高三上期末检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数21()log 1||f x x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭(lg )3f x >的解集为（ ）
A ．1,1010⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．1,
(10,)10⎛
⎫
-∞⋃+∞ ⎪⎝
⎭
C ．(1,10)
D ．1,1(1,10)10⎛⎫
⋃
⎪⎝⎭
2．设1tan 2
α=
，4
cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）
A ．724-
B ．524-
C ．524
D ．724
3．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像，则ϕ的最小值为（ ） A ．
6
π B ．
12
π
C ．
1112
π
D ．
56
π
4．已知点P 是双曲线22
22:1(0,0,x y C a b c a b
-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积
为
2
14
c ，则双曲线C 的离心率为（ ）
A B C
D ．2
5．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n α
β=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m β
D ．n ⊂α，m n ⊥
6．设复数z 满足31i
i z
=+，则z =（ ）
A ．
1122
i + B ．1122
-
+i C ．
1122
i - D ．1122
i -
- 7．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),
222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭
=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩
的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共
点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D ．
2
22
+ 8．(
)
2
5
23(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．－23
B ．17
C ．20
D ．63
9．已知双曲线22
22x y 1(a 0,b 0)a b
-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线
段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( ) A ．21+ B ．31+
C ．2
D ．5
10．若点位于由曲线
与
围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为
，则的值为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前2020项和为（ ）
A ．
1011
2020
B ．
2019
2020
C ．
2020
2021
D ．
1010
2021
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆()2
2211x y a a
+=＞上，其中A （0，1）为直角
顶点．若该三角形的面积的最大值为
27
8
，则实数a 的值为_____． 14．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量a 、b 、c 满足(2)0a tb c +⋅=，
则实数t 的值为_______．
15．直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于,A B 两点，若AB 4=，则弦AB 的中点到直线1
02
x +=的距离等于________.
16．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369S S S +=，则数列{}n a 的公比q 是 ． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t α
α
=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），点(0,2)M -.
以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为42cos 4πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
. （1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，若
1117
||||4
MA MB +=
，求sin α的值. 18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，AB BC =，PA PC ⊥.点E ，F ，O 分别为线段PA ，PB ，AC 的中点，点G 是线段CO 的中点.
（1）求证：PA ⊥平面EBO .
（2）判断FG 与平面EBO 的位置关系，并证明.
19．（12分）已知函数()1f x x a x =++-. （1）当2a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；
（2）若关于x 的不等式()5f x x ≤-的解集包含[]0,2，求实数a 的取值范围.
20．（12分）设抛物线2
: 2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，AB 为过焦点F 且垂直于x 轴的抛物线C 的弦，
已知以AB 为直径的圆经过点()1,0-. （1）求p 的值及该圆的方程；
（2）设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF FN ⊥.
21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，
2AB =，()0PD t t =>.
（1）若2t =，证明：平面DMA ⊥平面PBC ； （2）若三棱锥C DBM -的体积为4
3
，求二面角B DM C --的余弦值. 22．（10分）已知等差数列和等比数列
满足：
(I )求数列和
的通项公式； (II )求数列
的前项和.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
先判断函数的奇偶性和单调性，得到1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，解不等式得解. 【详解】
由题得函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.
因为()()f x f x -=， 所以()f x 为(,0)
(0,)-∞+∞上的偶函数，
因为函数1
1||y y x =
+=，都是在(0,)+∞上单调递减. 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. 因为(1)3,(lg )3(1)f f x f =>=， 所以1lg 1x -<<，且lg 0x ≠， 解得1,1(1,10)10x ⎛⎫
∈⋃ ⎪⎝⎭
. 故选：D 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2、D 【解析】
利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得
tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果.
【详解】
1tan 2
α=
，22tan 4
tan21tan 3ααα==-，
()4
cos cos 5
πββ+=-
=-，()(0,βπ∈， 4cos 5β∴=，3sin 5β=，3
tan 4β=，
()43tan2tan 7
34tan 2431tan2tan 24
134
αβαβαβ-
--===++⨯，
故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目. 3、B 【解析】
根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可． 【详解】
将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位， 得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)6
y x π
=+的图象重合， 则226
k π
ϕπ=+
，即12
k π
ϕπ=+，k Z ∈，
∴当0k =时，ϕ取得最小值为12
π
ϕ=
，
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键． 4、A 【解析】
设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之
积为
2
14
c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【详解】
设点P 的坐标为(,)m n ，有22
221m n a b
-=，得222222b m a n a b -=.
双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为
222222
222
b m a n a b
a b c
-
==
+
，
所以
22
2
2
1
4
a b
c
c
=，则2224
4()
a c a c
-=，即()2
22
20
c a
-=，故22
20
c a
-=，即
2
2
2
2
c
e
a
==
，所以e=故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，构造,,
a b c的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.
5、B
【解析】
根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，当αβ
⊥，n
αβ=，m n
⊥时，由于m不在平面β内，故无法得出mα
⊥.
对于B选项，由于//
αβ，mβ
⊥，所以mα
⊥.故B选项正确.
对于C选项，当αβ
⊥，//
mβ时，m可能含于平面α，故无法得出mα
⊥.
对于D选项，当n⊂α，m n
⊥时，无法得出mα
⊥.
综上所述，mα
⊥的一个充分条件是“//
αβ，mβ
⊥”
故选：B
【点睛】
本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题.
6、D
【解析】
根据复数运算，即可容易求得结果.
【详解】
3(1)111
1(1)(1)222
i i i i
z i
i i i
----
====--
++-
.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的四则运算，属基础题.
7、A
【解析】
先将函数解析式化简为|cos |y x =，结合题意可求得切点4x 及其范围4,2x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，根据导数几何意义，即可求得()442tan x x +的值.
【详解】
函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭
=⎨
⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩
即|cos |y x =
直线(2)(0)y m x m =+>与函数|cos |y x =图象恰有四个公共点，结合图象知直线(2)(0)y m x m =+>与函数
cos y x =-相切于4x ，4,2
x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，
因为sin y x '=， 故4
44cos sin 2
x k x x -==
+，
所以()()()()
4444444sin 1
221c 2tan os 2x x x x x x x -+⨯=+⨯=-++=.
故选：A. 【点睛】
本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题. 8、B 【解析】
根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得5x 的系数. 【详解】
5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=⋅.则
①()2
23x x --出(3)-，则5(2)x +出5x ，该项为：0055
5(3)23C x x -⋅⋅⋅=-； ②(
)
2
23x x --出(2)x -，则5(2)x +出4x ，该项为：1155
5(2)220C x x -⋅⋅⋅=-；
③(
)
2
23x x --出2x ，则5(2)x +出3x ，该项为：2255
51240C x x ⋅⋅⋅=；
综上所述：合并后的5x 项的系数为17. 故选：B 【点睛】
本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识. 9、B 【解析】
求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率. 【详解】
设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ 的方程为3y x =，代入双曲线方程并化简得
22222
22
22223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a -+=⋅=- 12y y ⋅= 22122
2
333a b x x b a
-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，即21240x x c +=，即
4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2
323b a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭.故
2
142331b e a ⎛⎫
=+=+=+ ⎪⎝⎭
，故选B.
【点睛】
本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题. 10、D 【解析】 画出曲线
与
围成的封闭区域，
表示封闭区域内的点
和定点
连线的斜率，然后结合图形
求解可得所求范围． 【详解】 画出曲线
与
围成的封闭区域，如图阴影部分所示．
表示封闭区域内的点和定点
连线的斜率， 设
，结合图形可得
或
， 由题意得点A,B 的坐标分别为，
∴，
∴或
，
∴
的取值范围为
．
故选D ． 【点睛】
解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把
看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线
所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题． 11、A 【解析】
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 【详解】 抛物线
的准线为
， 双曲线的两条渐近线为
，
可得两交点为，
即有三角形的面积为，解得
，故选A ．
【点睛】
本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． 12、D 【解析】
由题意，设每一行的和为i c ，可得11...(21)i i i n i c a a a n n i ++-=+++=++，继而可求解
2
12...2(1)n n b c c c n n =+++=+，表示12(1)
n n b n n =+，裂项相消即可求解. 【详解】
由题意，设每一行的和为i c 故111()...(21)2
i n i i i i n i a a n
c a a a n n i +-++-+=+++=
=++
因此：2
12...[(3)(5)...(21)]2(1)n n b c c c n n n n n n n =+++=+++++++=+
1111()2(1)21
n n b n n n n ==-++ 故202011111111(1...)(1)22232020202122021S =-+-++-=-=10102021
故选：D 【点睛】
本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3 【解析】
设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k =-x +1，（k ≠0），联立方程得到B （22221a k a k -+，22
22
11a k a k -+），故S 442221211a k k
a a k k +
=⎛⎫+++ ⎪⎝
⎭，令t 1k k =+，得S 4
222
2(1)a a a t t =
-+，利用均值不等式得到答案. 【详解】
设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1
k
=-
x +1，（k ≠0） 由22211
y kx x y a
=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得（1+a 2k 2）x 2+2a 2
kx ＝0，所以x ＝0或x 222
21a k a k -=+ ∵A 的坐标（0，1），∴B 的坐标为（22221a k a k -+，k •22221a k a k -++1）
，即B （22221a k a k -+，22
22
11a k a k -+），
因此AB 222
222
222221(0)(1)111a k a k k a k a k --=-+-=+++•222
21a k a k
+， 同理可得：AC 211k =+•
2
2
2
21a k
a
k
+. ∴Rt △ABC 的面积为S 12=AB •AC 221
2k k
=++•
44
422422
221
221111a k a k
a a k a a k k k +
=⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭ 令t 1k k =+，得S ()
44
2
2
422222(1)12a t a a a a t a t
t
==-++-+. ∵t 1k k =+
≥2，∴S △ABC
4
4
22222(1)(1)2a a a a a a t t
≤=
--⨯.
当且仅当21a a t t -=，即t 21
a a
-=时，△ABC 的面积S 有最大值为42
27(1)8a a a =-. 解之得a ＝3或a 3297
16
+=
. ∵a 3297
16
+=时，t 21a a -=＜2不符合题意，∴a ＝3.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
14、32
-
【解析】
根据图示分析出a 、b 、c 的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出t 的取值. 【详解】
由图可知：()()()1,2,3,1,4,4a b c ===，所以()223,4a tb t t +=++， 又因为(2)0a tb c +⋅=，所以8121640t t +++=， 所以32
t =-
. 故答案为：32
-. 【点睛】
本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算，难度较易.已知()()1122,,,a x y b x y ==，若a b ⊥，则有
12120x x y y +=.
15、
94
【解析】
由已知可知直线440kx y k --=过抛物线2y x =的焦点，求出弦AB 的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦AB 的中点到直线1
02
x +=的距离． 【详解】 解：如图，
直线440kx y k --=过定点1
(4，0)，
而抛物线2y x =的焦点F 为1
(4
，0)，
∴弦AB 的中点到准线14x =-的距离为1||22
AB =，
则弦AB 的中点到直线1
02x +
=的距离等于19244
+=． 故答案为：
9
4
．
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，属于中档题． 16、1±. 【解析】
当q=1时，361119369S S a a a S +=+==.
当1q ≠时，
369369323111369(1)(1)(1)
,,21,(1)(1)0
111a q a q a q S S S q q q q q q q q ---+=∴+=∴--=-∴-+=--- 1q ∴=-，所以1q =±.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2
2
(2)(2)8x y -++=，以(2,2)-为圆心，22（2）15
sin α=【解析】
（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到2C 的直角坐标方程并判断形状； （2）联立直线参数方程与2C 的直角坐标方程，根据直线参数方程中t 的几何意义结合
1117
||||4
MA MB +=
求解出sin α的值.
【详解】
解：（1）由424πρθ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，得4cos 4sin ρθθ=-，所以2
4cos 4sin ρρθρθ=-， 即2
2
44x y x y +=-，22
(2)(2)8x y -++=.
所以曲线2C 是以(2,2)-为圆心，22.
（2）将cos 2sin x t y t α
α
=⎧⎨=-+⎩代入22(2)(2)8x y -++=，
整理得24cos 40t t α--=.
设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ， 则124cos t t α+=，124t t =-.
(
)
2
21212
12
1212411||||16cos 1617||||||||4
4
44
t t t t t t t t MA MB MA MB MA MB t t α+-+-+++======
，
解得2
1cos
16α=
，则215
sin 1cos 4
αα=-=
. 【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中t 的几何意义求值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式：cos ,sin x y ραρθ==；（2）若要使用直线参数方程中t 的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中，构成关于t 的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解. 18、（1）见解析（2）//FG 平面EBO .见解析 【解析】
（1）要证PA ⊥平面EBO ，只需证明BO PA ⊥，OE PA ⊥，即可求得答案；
（2）连接AF 交BE 于点Q ，连接QO ，根据已知条件求证//FG QO ，即可判断FG 与平面EBO 的位置关系，进而求得答案. 【详解】 （1）
AB BC =，O 为边AC 的中点，
∴BO AC ⊥，
平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC
平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，
∴BO ⊥平面PAC ，
∴BO PA ⊥，
在PAC ∆内，O ，E 为所在边的中点，
∴//OE PC ，
又
PA PC ⊥，OE PA ⊥，
∴PA ⊥平面EBO .
（2）判断可知，//FG 平面EBO ， 证明如下：
连接AF 交BE 于点Q ，连接QO .
E 、
F 、O 分别为边PA 、PB 、AC 的中点，
∴2AO OG
=. 又
Q 是PAB ∆的重心，
∴
2AQ AO
QF OG
==， ∴//FG QO ，
FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，
∴//FG 平面EBO .
【点睛】
本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平行判断定理，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题. 19、（1）(][),37,x ∈-∞-+∞（2）40a -≤≤
【解析】
（1）按21,21,x x x ≤-≥-<<进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为()15f x x a x x =++-≤-在[]
0,2x ∈时恒成立，按[]0,1x ∈和(]1,2x ∈分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的a 的范围，再取交集，得到答案. 【详解】
解：（1）当2a =时，()218f x x x x =++-≥+等价于
1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩或2138x x -≤<⎧⎨
≥+⎩或2
218
x x x <-⎧⎨--≥+⎩，
解得7x ≥或x ∈∅或3x ≤-， 所以不等式的解集为：(]
[),37,x ∈-∞-+∞.
（2）依题意即()15f x x a x x =++-≤-在[]
0,2x ∈时恒成立， 当[]0,1x ∈时，15x a x x ++-≤-，即4x a +≤， 所以44a x a --≤≤-对[]0,1x ∈恒成立
∴40
14a a
--≤⎧⎨
≤-⎩，得43a -≤≤；
当(]1,2x ∈时，15x a x x ++-≤-， 即62x a x +≤-，6226x a x x ≤+≤--
所以636a x x a -⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩对任意(]1,2x ∈恒成立，
∴62326a a
-⎧
≤
⎪⎨⎪≤+⎩，得04a a ≤⎧⎨
≥-⎩∴40a -≤≤， 综上，40a -≤≤. 【点睛】
本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.
20、（1）2p =，圆的方程为：22
(1)4x y -+=.（2）答案见解析
【解析】
（1）根据题意，可知A 点的坐标为,2p p ⎛⎫
± ⎪⎝⎭
，即可求出p 的值，即可求出该圆的方程；
（2）由题易知，直线M 的斜率存在且不为0，设()01,,M y MN -的方程为0(1)y k x y =++，与抛物线C 联立方程组，根据0∆=，求得01y k k +=
，化简解得2y k
=，进而求得N 点的坐标为212,k k ⎛⎫
⎪⎝⎭，分别求出FM ，FN ，利用向量的数量积为0，即可证出MF FN ⊥. 【详解】
解：（1）易知A 点的坐标为,2p p ⎛⎫
± ⎪⎝⎭
，
所以(1)2
p
p =--，解得2p =.
又圆的圆心为()1,0F ，
所以圆的方程为22
(1)4x y -+=.
（2）证明易知，直线M 的斜率存在且不为0， 设()01,,M y MN -的方程为0(1)y k x y =++，
代入C 的方程，得()2
0440ky y y h -++=.
令()016160k y k =-+=△，得01y k k
+=
， 所以()222
044
440k y ky ky y y A k -+-++=
=，解得2y k
=. 将2y k =代入C 的方程，得21x k
=，即N 点的坐标为212,k k ⎛⎫
⎪⎝⎭.
所以()02,FM y =-，21
21,FN k
k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
02222212
220FM FN y k k k k k k
⎛⎫⋅=⋅+⋅=⋅+-⋅= ⎪⎝⎭.
故MF FN ⊥.
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程和圆的方程，考查直线和抛物线的位置关系，利用联立方程组、求交点坐标以及向量的数量积，考查解题能力和计算能力. 21、（1）见解析（2）2
3
【解析】
(1)由已知可证得AD ⊥平面PDC ,则有AD PC ⊥,在PDC △中,由已知可得DM PC ⊥,即可证得PC ⊥平面ADM ,进而证得结论.
(2) 过M 作//MN PD 交DC 于N ,由M 为PC 的中点,结合已知有MN ⊥平面ABCD . 则14
33
C DBM M DBC DBC V V S MN --==
⋅=△,可求得4t =.建立坐标系分别求得面DBM 的法向量()2,2,1n =-,平面DMC 的一个法向量为()1,0,0m =,利用公式即可求得结果.
【详解】 （1）证明：
PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，
AD PD ∴⊥,又四边形ABCD 为正方形，
AD DC ∴⊥.
又PD 、DC ⊂平面PDC ，且PD DC D ⋂=，
AD ∴⊥平面PDC .AD PC ∴⊥.
PDC △中，2t PD DC ===，M 为PC 的中点， DM PC ∴⊥.
又AD 、DM ⊂平面ADM ，AD
DM D =，
PC ∴⊥平面ADM .
PC ⊂平面PBC ，∴平面DMA ⊥平面PBC .
（2）解：过M 作//MN PD 交DC 于N ，如图
M 为PC 的中点，1//
2MN PD ∴，12
MN t ∴=. 又PD ⊥平面ABCD ，MN ∴⊥平面ABCD .
21114
233223
C DBM M DBC DBC t V V S MN --==⋅=⨯⨯⨯=△，4t ∴=.
所以4PD =,又PD 、DA 、DC 两两互相垂直，以DP 、DA 、DC 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.()0,0,0D ，()2,2,1B ，()0,2,0C ，()0,1,2M
设平面DBM 的法向量(),,n x y z =，则
00n DB DM DM ⎧⋅=⎨
⋅=⎩
，即220
20x y y z +=⎧⎨+=⎩. 令1z =，则2x =，2y =-.()2,2,1n ∴=-. 平面DMC 的一个法向量为()1,0,0m =
22
cos ,133
m n m n m n
⋅∴=
=
=⨯⋅. ∴二面角B DM C --的余弦值为
23
.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明方法,考查了空间线线、线面、面面位置关系，考查利用向量法求二面角的方法,难度一般.
22、(I) ，；(II)
【解析】
(I)直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案.
(II) ，利用裂项相消法计算得到答案.
【详解】
(I) ，故，
解得，故，.
(II)
，故.
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.。