中考数学复习 第一篇 教材梳理 第二章 方程(组)与不等式(组)第6课时 一元二次方程课件

x1＝1，x2＝
2 ，根据 m
x2
是整数
求出正整数 m 的值．
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(1)证明：∵b2－4ac＝(m＋2)2－4×2m＝m2＋4m＋4－8m＝ m2－4m＋4＝(m－2)2≥0，∴方程总有两个实数根．
(2)解：mx2－(m＋2)x＋2＝0，即(x－1)(mx－2)＝0， ∴x1＝1，x2＝m2 ，∴x2＝m2 为整数， ∴正整数 m 的值为 1 或 2.
每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( A )
A．12x(x－1)＝45
B．12x(x＋1)＝45
C．x(x－1)＝45
D．x(x＋1)＝45
5．(2018·台州)若关于 x 的一元二次方程 x2＋3x＋m＝0 有两
个相等的实数根，则 m＝
9 4
．
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6．(2018·绍兴、义乌)解方程：x2－2x－1＝0. 解：∵a＝1，b＝－2，c＝－1， ∴b2－4ac＝4＋4＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，x＝ －b± 2ba2－4ac＝2±22 2＝1± 2，则 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2.
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【自主解答】
解：(1)设每张门票的原定票价为 x 元．
由题意，得6 0x00＝x4－80800，
解得 x＝400.经检验，x＝400 是原分式方程的根．
答：每张门票的原定票价为 400 元．
(2)设平均每次降价的百分率为 y.
由题意，得 400(1－y)2＝324，
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为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其 屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2016 年市政府共投资 3 亿元 人民币建设了廉租房 12 万平方米，2018 年投资 6.75 亿元人民币 建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
(1)求每年市政府投资的增长率； 解：设每年市政府投资的增长率为 x. 根据题意，得 3(1＋x)2＝6.75， 解得 x＝0.5 或 x＝－2.5(不合题意，舍去)． ∴x＝0.5＝50%，即每年市政府投资的增长率为 50%.
解得 y1＝0.1，y2＝1.9(不合题意，舍去)．
答：平均每次降价 10%.
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方法总结： 1．求平均增长(降低)率问题：一般列方程 a(1±x)n＝b(当增长 时用“＋”，当降低时用“－”)，其中 a 为变化前的量，b 为变 化后的量，n 为变化周期，x 为平均变化率． 2．列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验最后的结果， 对不符合实际问题的未知数的值应舍去．
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考点四 一元二次方程的根与系数的关系(选学) 1．如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那 么 x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ac. 2．在应用根与系数的关系时，一定要保证一元二次方程有实 数根，即 b2－4ac≥0.
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考点二 一元二次方程的解法
已知关于 x 的方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0(m≠0)．
(1)求证：方程总有两个数，求正整数 m 的值．
【思路点拨】(1)证明根的判别式是非负数即可；(2)解这个一
元二次方程，求出它的两根分别为
A．1
B．－1
C．±1
D．0
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3．用配方法解方程 x2－8x＋11＝0，则方程可变形为( B )
A．(x＋4)2＝5
B．(x－4)2＝5
C．(x＋8)2＝5
D．(x－8)2＝5
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4．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块 面积为 900 m2 的矩形绿地，并且长比宽多 10 m．设绿地的宽为 x m，根据题意，可列方程为( D )
当 堂 达 标 训 ( d á b i ā o ) 练
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1．一元二次方程 x2－4x＋3＝0 的解是( D )
A．x＝1
B．x1＝－1，x2＝－3
C．x＝3
D．x1＝1，x2＝3
2．关于 x 的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0 的一个根是
0，则 a 的值为( B )
第二章
与不等式 方程 (组) (fāngchéng)
(组)
第6课时 一元二次方程
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浙江 考情分 (zhè jiānɡ) 析
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三年中考 精 (zhōnɡ kǎo) 选
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温馨提示: 解一元二次方程时，要根据方程的特点灵活选择合适的方法， 一般顺序为直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．公式 法和配方法可以解所有判别式大于或等于 0 的一元二次方程．
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考点三 一元二次方程的根的判别式 1．根的判别式定义 关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为 b2－4ac． 2．根的判别式与根的关系
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【解析】设 AD＝x，根据勾股定理，得 b2＋a22＝x＋a22，
b2＋a42＝x2＋ax＋a42，即 x2＋ax＝b2，∴该方程的一个正根是 AD 的长．故选 B．
答案：B
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4．(2016·台州)有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，
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(2)若这两年内的建设成本不变，问 2018 年建设了多少万平方 米廉租房？
解：设 2018 年建设了 m 万平方米廉租房． 由题意，得132＝6m.75，解得 m＝27. ∴2018 年建设了 27 万平方米廉租房．
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3．(2018·嘉兴、舟山)欧几里得的《原本》
记载，形如 x2＋ax＝b2 的方程的图解法是画
Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝a2，AC＝b，
再在斜边 AB 上截取 BD＝a2，则该方程的一个正根是(
)
A．AC 的长
B．AD 的长
C．BC 的长
D．CD 的长
方法总结： 若已知方程的根和含参数的方程，求含参数的代数式的值， 可将方程的根代入一元二次方程中，求出参数的值或含参数的代 数式的值，然后结合所求，适当变形即可求得．
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已知 a 是方程 x2－3x－1＝0 的一个根，则代数式
－2a2＋6a－3 的值是( A )
温馨提示: 在实际问题中由一元二次方程解得的根要符合实际情况，比 如人数必须为自然数，几何图形的边长为正数，商品成本的下降 率应小于 1，银行存款利率不能为负等．
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典型 考题展 (diǎnxíng) 示
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考点一 一元二次方程的根 若关于 x 的一元二次方程 x2＋mx＋2n＝0 有一个根是 2，
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(2017·温州)我们知道方程 x2＋2x－3＝0 的解是 x1 ＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它 的解是( D )
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3
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考点五 一元二次方程的应用 1．列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解 应用题的步骤相同，即审、设、找、列、解、检验、答七步． 2．一元二次方程应用的常见类型 (1)增长率问题； (2)握手问题； (3)降价增量问题； (4)动点问题．
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考点二 一元二次方程的解法 1．直接开平方法
若方程 x2＝a(a≥0)，则 x1＝ a ，x2＝ － a ．
2．配方法
若方程 x2＋px＋q＝0 且 p2－4q≥0，则x＋p22＝－q＋p22． x1＝－p2＋ －q＋2p2，x2＝－p2－ －q＋2p2.
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则 m＋n＝ －2 ． 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的根，只需将 x＝2 代
入方程中，转化为关于 m，n 的式子，适当变形即可求出． 【自主解答】
【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2＋mx＋2n＝0 有一个根 是 2，∴4＋2m＋2n＝0，即 m＋n＝－2.
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1．(2016·丽水)下列一元二次方程没有实数根的是( B )
A．x2＋2x＋1＝0
B．x2＋x＋2＝0
C．x2－1＝0
D．x2－2x－1＝0
2．(2017·嘉兴、舟山)用配方法解方程 x2＋2x－1＝0 时，配
方结果正确的是( B )
A．(x＋2)2＝2
B．(x＋1)2＝2
C．(x＋2)2＝3
D．(x＋1)2＝3
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考点三 一元二次方程的应用 在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实
行优惠，决定在原定票价基础上每张降价 80 元，这样按原定票价 需花费 6 000 元购买的门票张数，现在只需花费 4 800 元．
(1)求每张门票的原定票价； (2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优 惠措施，原定票价经过连续两次降价后为 324 元，求平均每次降 价的百分率．
(1)b2－4ac＞0⇔方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实
数根，即
x1，2＝－b±
b2－4ac； 2a
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(2)b2－4ac＝0⇔方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数 根，即 x1＝x2＝－2ba；
(3)b2－4ac＜0⇔方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根． 温馨提示: 只有一元二次方程才有根的判别式，因此在逆用判别式时， 一定要保证二次项系数不等于零．
A．－5
B．－6
C．－12－2 13
D．－12＋2 13
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已知 x＝2 是关于 x 的一元二次方程 kx2＋(k2－2)x ＋2k＋4＝0 的一个根，则 k 的值为 －3 ．
【解析】∵x＝2 是关于 x 的一元二次方程 kx2＋(k2－2)x＋2k ＋4＝0 的一个根，∴4k＋2(k2－2)＋2k＋4＝0，即 2k2＋6k＝0， 解得 k＝0(舍去)或 k＝－3.
A．x(x－10)＝900 B．2[x＋(x＋10)]＝900 C．10(x＋10)＝900 D．x(x＋10)＝900
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中考 考点梳 (zhōnɡ kǎo) 理
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考点一 一元二次方程的有关概念 1．在一个方程中，等号两边都是整式，只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 次，这样的方程叫做一元二次方程， 一元二次方程的一般形式是 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c 为已知数，a ≠0)． 2．一元二次方程的解：使一元二次方程两边相等的未知数的 值叫做一元二次方程的解(或根)．
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3．公式法
对于方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果 b2－4ac≥0，那么 x1，2
－b± b2－4ac
＝
．
2a
4．因式分解法
若方程 ax2＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)(a≠0)，则 ax2＋bx＋c＝0
的根为 x1＝ －ef ，x2＝ －mn ．
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【思路点拨】(1)设每张门票的原定价格为 x 元，用 x 分别表 示出 6 000 元可购门票的张数及每张降价 80 元后，4 800 元可购门 票的张数，根据降价前后所购门票数相等可得方程；(2)设平均每 次降价的百分率为 y，用 y 依次表示出第一次降价后的价格与第二 次降价后的价格，从而根据“原定票价经过连续两次降价后为 324 元”可得方程．