(部编版)2020学年高中数学第一章算法初步1.3算法案例优化练习新人教A版必修1

1.3 算法案例
[课时作业]
[A组学业水平达标]
1．用辗转相除法求35和134的最大公约数，第一步是( )
A．134－35＝99 B．134＝35×3＋29
C．先除以2，得到18和67 D．35＝25×1＋10
解析：按照辗转相除法的算法步骤，先用大数除以小数，故选B.
答案：B
2．下列各数转化成十进制后最小的数是( )
A．111 111(2)B．210(6)
C．1 000(4)D．81(9)
解析：A项，将111 111(2)转化为十进制数为111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1×20＝32＋16＋8＋4＋2＋1＝63；B项，将210(6)转化为十进制数为210(6)＝2×62＋1×61＋0×60＝78；C项将1 000(4)转化为十进制数为1 000(4)＝1×43＋0×42＋0×41＋0×40＝64；D项，将81(9)转化为十进制数为81(9)＝8×91＋1×90＝73，比较这四个数，78＞73＞64＞63，即A项转化为十进制数之后表示的数最小．
答案：A
3．利用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，当x＝4时的值，需要做乘法和加法的次数分别为( )
A．6,6 B．21,6
C．5,6 D．6,5
解析：用秦九韶算法计算多项式的值时，
计算的乘法的次数与多项式的未知数的最高次项的指数相同，
∴一共进行了6次乘法运算，
加法运算的次数在多项式有常数项的条件下与乘法的次数相同，
∴一共进行了6次加法运算，
故答案为A.
答案：A
4．把89化成五进制数的末位数字为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：89÷5＝17……4, 17÷5＝3……2,3÷5＝0……3，所以把89化成五进制数为324(5)
答案：D
5．下列结论正确的是( )
A．88(9)<210(6)B．62＝124(5)
C．110(2)>10(3)D．32(4)＝23(6)
解析：对于A：
因为88(9)＝8×9＋8×90＝80，
210(6)＝2×62＋1×6＋0×60＝78,80>78，
所以A错误．
对于B：因为124(5)＝1×52＋2×5＋4×50＝39≠62，
所以B错误．
对于C：因为110(2)＝1×22＋1×2＋0×20＝6，
10(3)＝1×3＋0×30＝3,6>3，
所以C正确．
对于D：因为32(4)＝3×4＋2×40＝14，
23(6)＝2×6＋3×60＝15,14≠15，
所以D错误．
答案：C
6．用辗转相除法求得数98与63的最大公约数是________．
解析：98＝63×1＋35,63＝35×1＋28,35＝28×1＋7,28＝4×7＋0.所以最大公约数为7. 答案：7
7．25(7)＝________(2)．
解析：因为根据除k取余法，得到25(7)＝1 011(2)．
答案：1 011
8．读程序：
若在INPUT语句中输入m，n的数据分别是72,168，则程序运行的结果为__________．
解析：程序是求n的最大公约数．
答案：24
9．用秦九韶算法求多项式f(x)＝5x5－4x4＋3x2＋8x－6，当x＝3时的值．
解析：f(x)＝5x5－4x4＋3x2＋8x－6
＝((((5x－4)x＋0)x＋3)x＋8)x－6，
当x＝3时，
v0＝5，
v1＝5×3－4＝11，
v2＝11×3＋0＝33，
v3＝33×3＋3＝102，
v4＝102×3＋8＝314，
v5＝314×3－6＝936.
∴f(3)＝936.
10．用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果．
(1)80,36；(2)294,84.
解析：(1)80＝36×2＋8,36＝8×4＋4,8＝4×2，即80与36的最大公约数是4.
验证：80－36＝44,44－36＝8,36－8＝28,28－8＝20,20－8＝12,12－8＝4,8－4＝4，
故80与36的最大公约数为4.
(2)294＝84×3＋42,84＝42×2，即294与84的最大公约数是42.
验证：∵294与84都是偶数，可同时除以2，∴取147与42的最大公约数后再乘以2.
147－42＝105,105－42＝63,63－42＝21,42－21＝21，
∴294与84的最大公约数为21×2＝42.
[B组应考能力提升]
1．计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号与十进制得对应关系如下表：
例如用十六进制表示有D＋E＝1B，则A×B＝( )
A．6E B．7C
C．5F D．B0
解析：∵表格中A对应的十进制数为10，B对应的十进制数为11，
∴A×B＝10×11，
由十进制表示为：10×11＝6×16＋14，
又表格中E对应的十进制为14，
∴用十六进制表示A×B＝6E.故选A
答案：A
2．已知多项式f (x )＝4x 5＋2x 4＋3.5x 3－2.6x 2
＋1.7x －0.8，用秦九韶算法计算f (5)时的v 1值为( )
A ．22
B ．564.9
C ．20
D ．14 130.2 解析：根据秦九韶算法，把多项式改写为f (x )＝((((4x ＋2)x ＋3.5)x －2.6)x ＋1.7)x －0.8；按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x ＝5时的值：v 0＝4，v 1＝4×5＋2＝22.
答案：A
3．下列各数85(9)，210(6)，1 000(4)，111 111(2)中最小的数是________．
解析：将题中四个数化为十进制数．
85(9)＝8×91＋5×90＝72＋5＝77；
210(6)＝2×62＋1×6＋0＝72＋6＝78；
1 000(4)＝1×43＝64；
111 111(2)＝25＋24＋23＋22＋21＋20＝63.
答案：111 111(2)
4．已知n 次多项式P n (x )＝a 0x n ＋a 1x n －1＋…＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k
0(k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要__________次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，
P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1(k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要__________次运算．
(参考公式：1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2 ) 解析：P n (x 0)＝a 0x n 0＋a 1x n －10＋…＋a n －1x 0＋a n ，共需n 次加法运算，每个小因式中所需乘法运算依次为n ，n －1，…，
1,0.故总运算次数为n ＋n ＋(n －1)＋…＋1＝n ＋n n ＋2＝12
n (n ＋3)． 第二种算法中，P 0(x 0)＝a 0，不需要运算，P 1(x 0)＝x 0P 0(x 0)＋a 1需2次运算， P 2(x 0)＝x 0P 1(x 0)＋a 2需2＋2次运算，依次往下，P n (x 0)需2n 次运算．
答案：12
n (n ＋3) 2n 5．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2
＋x ，当x ＝3时的值．
解析：由f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ，
∴y 1＝7×3＋6＝27；
y 2＝27×3＋5＝86； y 3＝86×3＋4＝262；
y 4＝262×3＋3＝789；
y 5＝789×3＋2＝2 369；
y 6＝2 369×3＋1＝7 108；
y 7＝7 108×3＝21 324；
∴f(3)＝21 324.
6．若二进制数100y 011和八进制数x03相等，求x＋y的值．解析：100y 011(2)＝1×26＋y×23＋1×2＋1＝67＋8y，
x03(8)＝x×82＋3＝64x＋3，
∴8y＋67＝64x＋3.
∵y可取0,1，x可以取1,2,3,4,5,6,7，
y＝0时，x＝1；y＝1时，64x＝72无解；
∴x＋y＝1.。