2024-2025学年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷和答案

2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷
一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

1.若，且，则______.
2.______.
3.已知正实数a，b，c满足，则的最小值为______.
4.已知函数，当时，y有最大值5，则a的值为______.
5.已知中，BC上的一点D，，，则的最大值为______.
6.若点T为线段BC中点，，且，，，，则______.
7.如图，在中，G，E分别在AB，AC上，连结BE交AF于O，若
，，G，O，C共线，的面积为11，则的面积为
______.
8.已知整数x，y，z满足，则的最小值为______.
9.已知x，y，z是大于1的正整数，且为整数，则______.
10.已知EA、EC为圆O的两条切线，连结DE交圆于点B，若，
，，则______.
二、解答题：本题共2小题，共16分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11.本小题8分
已知，矩形OAPB的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数与矩形的
BP
，AP分别交于D，C，的面积为
判断并证明直线CD与AB的关系.
求k的值.
若E，F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为EF中点，求OM的最小值.
12.本小题8分
如图，在中，，D是垂心，O是外心，延长AD交BC于E，于求证：
证明：B，O，D，C四点共圆.
若，求
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，是方程的两个根，
，
故答案为
根据观察方程组的系数特点，可把方程组转化成的形式，其中x，是其两个不等的实数根，利用根与系数的关系，得到结果．
本题考查了解方程组，一元二次方程根与系数关系的应用．关键是观察方程组的系数特点，得到x，是方程的两个根，得到结果．
2.【答案】
【解析】解：原式
故答案为：
将改写为，改写为，…，再利用裂项相消法即可解决问题．
本题主要考查了数字变化的规律，能将改写为，改写为，…，及熟知裂项相消法是解题的关键．
3.【答案】18
【解析】解：构造图示的三个直角三角形，
即，，，
满足，，，，，，
则由勾股定理可知，即同理可得，
，
所以可知当A，C，E，G四点共线时，
最小，
即为AG长，当当A，C，E，G四点共线时，
在中
故答案为
本题利用几何法求解，通过构造图示的三个直角三角形，即，，，
则由勾股定理可知，即同理可得，
，
所以可知当A，C，E，G四点共线时，
最小，
即为AG长，
本题主要考查二次根式最值问题，用几何法构造直角三角形，结合最短路径问题是解决问题的关键．
4.【答案】1或7
【解析】解：由题意，的对称轴是直线，
当时，
又当时，，当时，，
①当最大值为，
或不合题意；
②当最大值为，
或，均不合题意；
③当最大值为，
不合题意或
综上，或
故答案为：1或
依据题意，由的对称轴是直线，结合当时，，又当时，，当时，，进而分类讨论即可判断得解．
本题主要考查了二次函数的性质、非负数的性质：绝对值、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，以CD为边作等边三角形CDO，连接AO，过点O作于E，
，
设，则，
，，
点A在以O为半径，OC为半径的圆上运动，
当AB与圆O相切时，有最大值，
此时：，
是等边三角形，，
，
，
，
又，
，
，
四边形AOEB是平行四边形，
又，
四边形AOEB是矩形，
，
故答案为：
由题意可得点A在以O为半径，OC为半径的圆上运动，则当AB与圆O相切时，有最大值，由“HL”可证，可得，可证四边形AOEB是矩形，可得，即可求解．
本题考查了四点共圆，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，确定点A的运动轨迹是解题的关键．
6.【答案】3
【解析】解：如图，过T作延长DT交AB于
，
，
为线段BC中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
面积，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
先画出图形，过T作延长DT交AB于由，得，再证明≌，得，，由面积，得，，，
，，，最后再计算即可．
本题考查了平行线的性质，利用中线倍长是解题关键．
7.【答案】30
【解析】解：梅涅劳斯定理：如图，，
证明：过A作交BC延长线于点M，
则，，
；
塞瓦定理：如图，，
证明：根据上述梅涅劳斯定理，可得出，
在中，COG是梅涅线，①
在中，BOE是梅涅线，②
根据梅涅劳斯定理，在中，COG是梅涅线，
，
，，
，，
，
，
根据塞瓦定理可得，
，
，
而，
，
故答案为：
根据梅涅劳斯定理和塞瓦定理可得出和，从而得出，再利用
即可得解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形面积问题等内容，在初中竞赛、自招、强基等题目中，梅涅劳斯定理和塞瓦定理是必须掌握的基础内容．
8.【答案】118
【解析】解：，
，
，，，
，
即，
故答案为：
根据，得出，从而得出结论．
本题考查了因式分解的应用，关键是掌握完全全平方公式和非负数的性质．9.【答案】12
【解析】解：、y、z是大于1的正整数，
是分数，
为假分数，
为整数，且分子分母能互相约分，
，
①当，时，分子中定有7，
分母中有7才能进行约分，
当时，
，故符合题意，
，
②，时，分子中定有13，
分母中有13才能进行约分，
当时，
不是整数，故不符合题意，
③，时，分子中定有21，
分母中有21才能进行约分，
当时，
不是整数，故不符合题意，
…………
其余情况依次讨论均不符合题意
故答案为：
根据x、y、z的条件和三个分数的乘积为整数，得出x、y、z的值，进而求和．本题考查了分式的混合运算，关键是根据已知条件分类讨论得到x、y、z的值．10.【答案】
【解析】解：连接OA，OD，OC，作，设，
同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，，
，
，
是等边三角形，
，，
，CE是的切线，
，，，
，
，
，
，
，
∽，
，
同理可证：∽，
得出：，
，
，，
，
是直径，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
连接OA，OD，OC，作，设，证是等边三角形，得出，证
∽，∽，得出，得出CD是直径，再解直角三角形，求出m，即可．
关键．
11.【答案】解：如图1，
，理由如下：
由题意得，
，，
，，
，，，
，
，
∽，
，
；
如图2，
作于G，
，
，
，
，
，舍去，
；
如图2，
取点，，
则直线与直线AB关于O对称，
连接EO，并延长交于H，连接FH，
则，
是EF的中点，
，
当FH最小时，OM最小，
作直线，交y轴与Q，且使QR与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于R，作，
则FH的最小值是的长，
直线AB的解析式为：，
设直线QR的解析式为：，
由整理得，，
，
，舍去，
，
，
，，，
，
，
，
【解析】可表示出，，从而得出，，进而表示出PD和PC，进而得出，进而证得∽，从而，从而得出；
作于G，可推出，进一步得出结果；
取点，，则直线与直线AB关于O对称，连接EO，并延长交于H，连接FH ，则，可得出当FH最小时，OM最小，作直线，交y轴与Q，且使QR与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于R，作，则FH的最小值是的长，可设直线QR的解析式为：，由整理得，，从而得出
求得m的值，进一步得出结果．
组之间的关系，三角形中位线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线．
12.【答案】解：根据题意，以O为圆心，OB为半径作圆O，延长BO交圆于点F，延长BD交AC于点M，连接OC，CD，AF，FC，
是直径，
，，
为垂心，
，，，
，，
是平行四边形，
，
，，
，
，
设半径为r，，
，
又，
；
为垂心，
，，，
，
，
，
，，
、C、D、O四点共圆；
设，
，
，
在直角中，，，，，，
，
在直角中，，
即：，
在直角中，，
即：，
，
，
在中，，
即：，
，
或舍去，
【解析】由垂心，得到垂直关系，结合圆周角度数为，得到圆心角的度数，得到AFCD是平行四边形，从而得到结果；
先求出，再结合，，得到四点共圆；
设，用x表示出的各边，利用勾股定理，得到一元二次方程，利用求根公式求方程的根，得到结果．
本题考查了圆的综合应用，涉及到直角三角形勾股定理的应用，圆周角、圆心角、平行四边形的性质的应用，关键是四点共圆的判断，因为共底边的两个三角形的底角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．。