2-2空间向量的运算课件(北师大版选修2-1)

3．平面向量的数乘运算推广到空间向量的数乘运算及其运算律 仍然是成立的． 4．因为空间任意两个向量都是共面的，所以空间向量共线定理 与平面向量共线定理是相同的；定理中 b≠0 不可丢掉，否则实 数 λ 不一定存在，且不一定唯一．如 a≠0，b＝0，则 λ 不存在， a＝b＝0，则 λ 不唯一． 5．在 a＝λb 中，对于确定的 λ 与 b，a＝λb 可以表示空间中与 b 平行且长度为|λb|的所有的向量．
• §2 空间向量的 运算
【课标要求】 1．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间 向量及其运算的意义． 2．掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线向量定理． 3．掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律． 4．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中 一些简单的问题． 【核心扫描】 1．空间两个向量共线定理、空间向量的线性运算及数量积．(重 点) 2．向量的数量积．(难点) 3．向量夹角与数量积的关系．(疑点)
(4)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ．
(λ＋μ)a＝ λa＋μa(λ∈R，μ∈R)
．
(5)结合律：(λμ)a＝ λ(μa)(λ∈R，μ∈R)
．
5．空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数
λ，使得a＝λb 或者b＝λa ．
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6．(1)数量积的定义 空间两个向量 a 和 b 的数量积是一个数，等于|a||b|·cos〈a，b〉．记 作 a·b ． (2)数量积的运算律 ①交换律：a·b＝b·a ． ②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c ．
题型四 数量积的综合应用
【例4】
(12分)如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1
中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与
AB，AD的夹角都是120°.
(1)求AC1的长； (2)证明AC1⊥BD； (3)求直线BD1与AC所成角的余弦值． 审题指导 本题目主要考查利用数量积求长度、夹角问题，关
键是如何将几何问题转化为向量的计算问题．
[规范解答] 设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则|a|＝|b|＝a，|c|＝b， 〈a，b〉＝90°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝120°， 所以 a·b＝0，a·c＝|a||c|cos 120°＝－12ab， b·c＝|b||c|·cos 120°＝－12ab.
题型一 空间向量的线性运算 【例 1】 已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1，化简下列各向量表 达式，并标出化简结果的向量． (1)A→B＋B→C； (2)A→B＋A→D＋A→A1； (3)A→B＋A→D＋12C→C1； (4)13(A→B＋A→D＋A→A1)． [思路探索] 利用空间向量加减法运算的平行四边形法则和三 角形法则化简表达式，并给出合理的标注．
【训练 2】 如图所示，已知空间四边形 ABCD，E、H 分别是 边 AB、AD 的中点，F、G 分别是 CB、CD 上的点，且C→F＝23C→B， C→G＝23C→D.求证：四边形 EFGH 是梯形．
证明 ∵E、H 分别是边 AB、AD 的中点， ∴A→E＝12A→B，A→H＝12A→D， E→H＝A→H－A→E＝12A→D－12A→B ＝12(A→D－A→B)＝12B→D ＝12(C→D－C→B)＝1232C→G－32C→F＝34(C→G－C→F) ＝34F→G， ∴E→H∥F→G且|E→H|＝34|F→G|≠|F→G|，又 F 不在 EH 上， ∴四边形 EFGH 是梯形．
题型二 共线向量及应用 【例 2】 如图，在空间四边形 ABCD 中，若△ABC 的外接圆的 圆心 O 与劣弧 AB 的中点的连线交 AB 于 E，△ADC 的外接圆 的圆心 O1 与劣弧 DC 的中点的连线交 CD 于 F，请判断E→F与A→D ＋B→C是否共线．
[思路探索] 要判断E→F与A→D＋B→C是否共线，就是看是否存在实 数 x，使E→F＝x(A→D＋B→C)．
【训练 1】 已知四边形 ABCD 为正方形，P 是 ABCD 所在平面 外一点，P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形 ABCD 的中心 O.Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x、y 的值： (1)O→Q＝P→Q＋xP→C＋yP→A； (2)P→A＝xP→O＋yP→Q＋P→D.
解 如图， (1)∵O→Q＝P→Q－P→O＝P→Q－12(P→A＋P→C)＝P→Q－12P→A－12P→C， ∴x＝y＝－12. (2)∵P→A＋P→C＝2P→O，∴P→A＝2P→O－P→C. 又∵P→C＋P→D＝2P→Q，∴P→C＝2P→Q－P→D. 从而有P→A＝2P→O－(2P→Q－P→D)＝2P→O－2P→Q＋P→D. ∴x＝2，y＝－2.
6．向量的数量积是一个数量(数值)，而不是向量，它的值为两 向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦 的符号确定． 7．两向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的 数的乘法有区别，在书写时要严格区分开来，数量积写成 a·b， 而不能写成 ab，亦不能写成 a×b. 8．a·b 的几何意义：a 与 b 的数量积等于 a 的模与 b 在 a 上的 投影|b|cos〈a，b〉的乘积，也可等于 b 的模与 a 在 b 上的投影 |a|cos〈a，b〉的乘积．
解 连结 AC，取 AC 的中点设为 G，连结 EG、FG，由题意知， OE⊥AB，O1F⊥CD.∴E、F 分别应为 AB、CD 的中点． ∴G→F＝12A→D，E→G＝12B→C.又∵E、F、G 三点共面， ∴E→F＝E→G＋G→F＝12(A→D＋B→C)，即E→F与A→D＋B→C共线． 规律方法 解决本题的关键之一是先确定点 E、F 的位置．
∵cos〈
→ AC
，
→ BD1
〉＝
A→C·B→D1 →→
，∴cos〈
→ AC
，
→ BD1
〉＝
|AC||BD1|
－ab 2a2＋b2·
＝ 2a
22·
2－ a2＋b b2＝－b4a24＋a22＋b22b2.
又∵直线BD1与AC所成角为θ，0°<θ≤90°，
∴直线BD1与AC所成角的余弦值为b 4a42a＋2＋2b22b2.(12分)
题型三 空间向量数量积的基本运算 【例 3】 已知空间向量 a、b，且〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b| ＝4，求：(1)a·b；(2)(3a－2b)·(a＋2b)．
[思路探索] 利用空间向量数量积的定义式 a·b＝|a||b|·cos θ及
其运算律，直接代入公式进行计算．
解 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos 120°＝－6. (2)由(1)知：a·b＝－6； 所以：(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2＋4a·b－4|b|2＝3×32＋4×(－6) －4×42＝27－24－64＝－61. 规律方法 本例是对数量积定义式的直接应用，求向量的数量 积关键是求出两个向量的模和夹角，表示向量的夹角时应注意 方向性，同时要合理地应用数量积的运算律．
③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R) ．
(3)与数量积有关的结论
①|a|＝ a·a． ②a⊥b⇔ a·b＝0 ．
③cos〈a，b〉＝ a|a·||bb|(a≠0，b≠0)．
7．向量 a 的单位向量
对于任意一个非零向量
a，把
a |a|
叫做向量
a
的单位向量，记
作a0 ，a0 与 a 方向相同．
：(1)类比平面向量，你能说出 a·b 的几何意义吗？ 提示 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影
|b|·cos θ的乘积．
(2) ＜a，b＞与 ＜b，a＞的关系是怎样的？ ＜a，b＞ 与 ＜a，－b＞ 的关系呢？
提示 ＜a，b＞ ＝ ＜b，a＞ ， ＜a，－b＞ ＝π－ ＜a，b＞
名师点睛 1．空间向量的加减法与平面向量的加减法完全相同．在化简向 量表达式时，要结合空间图形，分析各个向量在图形中的表示， 把空间向量转化为平面向量，并化到最简为止． 2．封口多边形法则：A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An－1An＝A→1An.因 此，在解决空间向量加、减运算问题时，可以通过平移将它们 转化为首尾相接的向量的和来解决．
(1)解
∵
→ AC1
＝
→ AB
＋
→ BC
＋
→ CC1
，又∵
→ AB
＝a，
→ BC
＝
→ AD
＝b，
C→C1＝A→A1＝c，∴A→C1＝a＋b＋c.
又∵|
→ AC1
|2＝
→ AC1
2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋
2b·c，
∴|
→ AC1
|2＝a2＋a2＋b2＋2×0＋2×
－12ab
(2)交换律：a＋b＝ b＋a ．
4．数乘的定义 空间向量 a 与实数 λ 的乘积是一个 向量 ，记作 λa ． (1)|λa|＝ |λ||a| ． (2)当λ>0 时，λa 与 a 方向相同；当λ<0 时，λa 与 a 方向相反； 当λ＝0 时，λa＝0.
(3)交换律：λa＝ aλ(λ∈R) ．
自学导引
1．空间向量的加法
设 a 和 b 是空间两个向量，如图，过点 O
作O→A＝a，O→B＝b，则平行四边形的对角线 OC
对应的 向量
→ OC
就是 a 与 b 的和，记作
a＋b ．
2．空间向量的减法
a 与 b 的差定义为 a＋(－b)，记作 a－b ，其中－b 是 b 的相
反向量．
3．空间向量加减法的运算律 (1)结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) ．
【训练3】 已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4， 求a·b，a2，b2，(a＋2b)·(a－b)． 解 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos 30°＝6 3； a2＝a·a＝|a|2＝9；b2＝b·b＝|b|2＝16； (a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝9＋6 3－32 ＝6 3－23.
|B→D1|＝ B→D12＝ a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c.
又∵|a|＝|b|＝a，|c|＝b，a·b＝0，a·c＝b·c＝－12ab，
∴A→C·B→D1＝－a2＋a2－ab＝－ab.
|
→ AC
|＝
a2＋0＋a2 ＝
2
a，|
→ BD1
|＝
2a2＋b2＋ab－ab ＝
2a2＋b2.
规律方法 对于向量算式的化简问题，要注意观察每步中所涉 及的向量在图形中的位置特点及封口多边形法则的应用．特别 注意：始点相同的三个不共面的向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为起点的对角线所表示的向 量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广，可以 称作空间向量加法的平行六面体法则．
解 (1)A→B＋B→C＝A→C. (2)A→B＋A→D＋A→A1＝A→B＋B→C＋C→C1＝A→C1. (3)在线段 CC1 上取中点 M，则有C→M＝12C→C1， 则有：A→B＋A→D＋12C→C1＝A→B＋B→C＋C→M＝A→M. (4)由(2)知13(A→B＋A→D＋A→A1)＝13A→C1，在线段 AC1 上取点 G，使 得 AG＝13AC1，即：13(A→B＋A→D＋A→A1)＝A→G.
＋2×
－12ab
＝2a2－
2ab＋b2.
∴AC1的长|A→C1|＝ 2a2－2ab＋b2.(4分)
(2)证明 ∵B→D＝A→D－A→B＝－a＋b， ∴A→C1·B→D＝(a＋b＋c)·(－a＋b)＝－a2＋b2－a·c＋b·c. ∵a·c＝b·c，∴A→C1·B→D＝－a2＋a2＝0. ∴A→C1⊥B→D.∴AC1⊥BD.(8分) (3)解 ∵A→C＝A→B＋B→C，B→D1＝B→A＋A→A1＋A→1D1， ∴A→C＝a＋b，B→D1＝－a＋b＋c， ∴A→C·B→D1＝(a＋b)·(－a＋b＋c)＝－a2＋b2＋a·c＋
【题后反思】 (1)求两点间的距离或某线段的长度，就是把此 线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a，即|a|＝ a·a 通过向量运 算求|a|. (2)利用空间向量的数量积证明垂直，即通过向量的数量积为0 证明向量垂直得到线线垂直，从而证明线面垂直，这是解决线 面垂直的常用方法．
(3)对于空间向量a、b，有cos〈a，b〉＝a|a·||bb| . 利用这一结论，我们可以较方便求解异面直线所成角的问题， 由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角 的取值范围为 0，π2 ，故〈a，b〉∈ 0，π2 时，它们相等； 而当〈a，b〉∈π2 ，π时，它们互补．