2018届全国高考信息卷(二)数学(理科)

2018届全国高考考前信息卷（二）数学（文科）本试题卷共10页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|x（x﹣1）＜0}，则M∪N=（）A．∅B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜0} D．{x|x＜1}2．复数的虚部为（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣13．下列函数中满足在（﹣∞，0）上单调递减的偶函数是（）A．B．y=|log2（﹣x）| C．D．y=sin|x|4．某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产成本y（万元）有如下几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得到其回归直线的斜率为0.8，则当该产品的生产成本是6.7万元时，其相应的产量约是（）A．8 B．8.5 C．9 D．9.55．双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线为等边三角形OAB的边OA、OB所在直线，直线AB过焦点，且|AB|=2，则双曲线实轴长为（）A．B． C．D．36．如图，⊙O与x轴的正半轴交点为A，点B，C在⊙O上，且B（，﹣），点C在第一象限，∠AOC=α，BC=1，则cos（﹣α）=（）A．﹣ B．﹣ C．D．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，最长棱的长度是（）A． B． C．6 D．8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=3，n=3，输入的a依次为由小到大顺序排列的质数（从最小质数开始），直到结束为止，则输出的s=（）A．9 B．27 C．32 D．1039．在封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（）A． B．C．D．36π10．设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）A．α＞βB．α＜βC．α+β＞0 D．α2＞β211．已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且仅有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，] B． D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案直接填在题中横线上.）13．已知向量，，则向量在方向上的投影为．14．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，AB=2，sin∠BAC=，AD=3，则BD的长为．15．设随机向量η服从正态分布N（1，σ2），若P（η＜﹣1）=0.2，则函数f（x）=x 没有极值点的概率是．16．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”从新开始，即“甲戊”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80年时，即2029年为年．三、解答题（本大题共6个小题，满分60分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程）17．已知数列{a n}的各项都是正数，它的前n项和为S n，满足2S n=a n2+a n，记b n=（﹣1）n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前2016项的和．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，点P在底面ABCD上的射影为A，BC=CD=AD=1，E为棱AD的中点，M为棱PA的中点．（1）求证：BM∥平面PCD；（2）若∠ADP=45°，求二面角A﹣PC﹣E的余弦值．19．某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量．（1）求Z 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．20．在平面直角坐标系中，动圆经过点M （0，t ﹣2），N （0，t+2），P （﹣2，0）．其中t ∈R ． （1）求动圆圆心E 的轨迹方程；（2）过点P 作直线l 交轨迹E 于不同的两点A ，B ，直线OA 与直线OB 分别交直线x=2于两点C ，D ，记△ACD与△BCD 的面积分别为S 1，S 2．求S 1+S 2的最小值． 21．已知函f （x ）=lnx ﹣ax 2+（2﹣a ）x ． ①讨论f （x ）的单调性； ②设a ＞0，证明：当0＜x ＜时，；③函数y=f （x ）的图象与x 轴相交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明f′（x 0）＜0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计算，作答时请写清题号．选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，点P 的坐标是（1，0），曲线C 的方程为ρ=2．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线l 经过点P ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 和曲线C 相交于两点A ，B ，求|PA|2+|PB|2的值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f （x ）=|x+1|+|x ﹣2|，不等式f （x ）≥t 对∀x ∈R 恒成立． （1）求t 的取值范围；（2）记t的最大值为T，若正实数a，b满足a2+b2=T，求证：≤．2018届全国高考考前信息卷（二）数学（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|x（x﹣1）＜0}，则M∪N=（）A．∅B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜0} D．{x|x＜1}【考点】1D：并集及其运算．【分析】解不等式得集合N，根据并集的定义写出M∪N．【解答】解：集合M={x|x＜1}，N={x|x（x﹣1）＜0}={x|0＜x＜1}，∴M∪N={x|x＜1}．故选：D．2．复数的虚部为（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣1【考点】A2：复数的基本概念．【分析】把复数整理变形，先变分母，再分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子上要进行复数的乘法运算，最后写出代数形式，指出虚部【解答】解：．复数的虚部为1故选B．3．下列函数中满足在（﹣∞，0）上单调递减的偶函数是（）A．B．y=|log2（﹣x）| C．D．y=sin|x|【考点】49：指数函数的图象与性质．【分析】根据基本函数的性质依次判断即可得答案．【解答】解：对于A：根据指数函数的性质，的图象是y=图象把y轴的右边图象翻折后得左边图象，在（﹣∞，0）上单调递增函数，∴A不对．对于B：根据图象，y=|log2（﹣x）|，在（﹣∞，﹣1）是减函数，（﹣1，0）是增函数，∴B 不对．对于C：根据幂函数的性质可知：是偶函数，指数，（0，+∞）是增函数．（﹣∞，0）上单调递减．∴C对．对于D：根据正弦函数的性质可知：y=sin|x|的图象是由sinx在y轴的右边图象翻折后得左边图象．故选：C．4．某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产成本y（万元）有如下几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得到其回归直线的斜率为0.8，则当该产品的生产成本是6.7万元时，其相应的产量约是（）A．8 B．8.5 C．9 D．9.5【考点】BK：线性回归方程．【分析】计算、，求出回归系数，写出回归方程，据此模型预测生产成本是6.7万元时相应的产量约是多少．【解答】解：计算=×（3+4+5+6）=4.5，=×（2.5+3.1+3.9+4.5）=3.5；代入回归方程=0.8x+得3.5=0.8×4.5+，解得=﹣0.1；∴回归方程为=0.8x﹣0.1，令=0.8x﹣0.1=6.7，解得x=8.5，据此模型预测生产成本是6.7万元时，其相应的产量约是8.5吨．故选：B．5．双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线为等边三角形OAB的边OA、OB所在直线，直线AB过焦点，且|AB|=2，则双曲线实轴长为（）A．B． C．D．3【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线方程以及渐近线的性质求出a，b关系式，通过|AB|=2，求出c，然后求解a即可得到结果．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线为等边三角形OAB的边OA、OB所在直线，可得，直线AB过焦点，且|AB|=2，可得c=，则，解得a=．则双曲线实轴长为：3．故选：D．6．如图，⊙O与x轴的正半轴交点为A，点B，C在⊙O上，且B（，﹣），点C在第一象限，∠AOC=α，BC=1，则cos（﹣α）=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由题意求得sinα，cosα的值，利用两角差的余弦展开cos（﹣α）得答案．【解答】解：如图，由B（，﹣），得OB=OC=1，又BC=1，∴∠BOC=，∠AOB=，由直角三角形中的三角函数的定义可得sin（）=sin∠AOB=，cos∠AOB=∴sinα=sin（）=sin cos∠AOB﹣cos sin∠AOB=，cosα=cos（）=cos cos∠AOB+sin sin∠AOB=．∴cos（﹣α）==．故选：B．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，最长棱的长度是（）A． B． C．6 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出该几何体是在棱长为4的正方体中的三棱锥，画出图形，得出最长的棱长是哪一条，求出值即可．【解答】解：根据题意，得几何体如图；该几何体是三棱锥A﹣BCD，且该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，所以，在三棱锥A﹣BCD中，最长的棱长为AD，且AD===6．故选C．8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=3，n=3，输入的a依次为由小到大顺序排列的质数（从最小质数开始），直到结束为止，则输出的s=（）A．9 B．27 C．32 D．103【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得x=3，n=3，k=0，s=0执行循环体，a=2，s=2，k=1不满足条件k＞3，执行循环体，a=3，s=9，k=2不满足条件k＞3，执行循环体，a=5，s=32，k=3不满足条件k＞3，执行循环体，a=7，s=103，k=4满足条件k＞3，退出循环，输出s的值为103．故选：D．9．在封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（）A． B．C．D．36π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．因为△ABC内切圆的半径为2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值，求出三棱柱ABC﹣A1B1C1内切球半径即可【解答】解：要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=15，BC=8，∴AC=12，△ABC内切圆的半径为r=3，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值为．此时球的体积为πR3=，故选：B．10．设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）A．α＞βB．α＜βC．α+β＞0 D．α2＞β2【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】构造函数f（x）=xsinx，x∈，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判断f（x）=xsinx，x∈与x∈上的单调性，从而可选出正确答案．【解答】解：令f（x）=xsinx，x∈，∵f（﹣x）=﹣x•sin（﹣x）=x•sinx=f（x），∴f（x）=xsinx，x∈为偶函数．又f′（x）=sinx+xcosx，∴当x∈，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈单调递增；同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈单调递减；∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立；故选D．11．已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且仅有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB得方程，由PF1⊥PF2，得•=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案．【解答】解：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴直线AB的方程为：，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y）则bx=ay﹣ab，∴x=y﹣a，∵PF1⊥PF2，∴•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（）2+y2﹣c2，令f（y）=（）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）×+2y，∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得： =c2，又b2=a2﹣c2，e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e=．椭圆的离心率，故选：D．12．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，] B． D．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）min=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）min=3；当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案直接填在题中横线上.）13．已知向量，，则向量在方向上的投影为﹣3 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积的几何意义求向量的投影．【解答】解：因为向量，，则向量在方向上的投影为；故答案为：﹣3．14．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，AB=2，sin∠BAC=，AD=3，则BD的长为 3 ．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】先推导出sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，由此利用余弦定理能求出BD．【解答】解：在△ABC中，∵点D在BC边上，AD⊥AC，AB=2，sin∠BAC=，AD=3，∴sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，∴BD===3．故答案为：3．15．设随机向量η服从正态分布N（1，σ2），若P（η＜﹣1）=0.2，则函数f（x）=x 没有极值点的概率是0.7 ．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】令f′（x）=0至多只有1解得出η的范围，再利用正态分布的对称性得出f（x）无极值点的概率．【解答】解：f′（x）=x2+2x+η2，若f（x）没有极值点，则f′（x）=0最多只有1个解，∴△=4﹣4η2≤0，解得η≤﹣1或η≥1．∵η～N（1，σ2），∴P（η≥1）=0.5，又P（η＜﹣1）=0.2，∴P（η≤﹣1或η≥1）=0.5+0.2=0.7．故答案为：0.7．16．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”从新开始，即“甲戊”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80年时，即2029年为己酉年．【考点】F3：类比推理．【分析】由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以1949年的天干和地支分别为首项，即可求出答案．【解答】解：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80÷10=8，则2029的天干为己，80÷12=6余8，则2029的地支为酉，故答案为：己酉三、解答题（本大题共6个小题，满分60分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程）17．已知数列{a n}的各项都是正数，它的前n项和为S n，满足2S n=a n2+a n，记b n=（﹣1）n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前2016项的和．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）利用通项与前n项和的关系，求出数列的递推关系式，然后判断数列是等差数列，求出通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法1就数列的和即可．【解答】解：（1）∵∴…..∴…．即（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0∵a n＞0∴a n+1+a n＞0∴a n+1﹣a n=1…..令n=1，则∴a1=1或a1=0∵a n＞0∴a1=1…∴数列{a n}是以1为首项，以为公差1的等差数列∴a n=a1+（n﹣1）d=n，n∈N*…（2）由（1）知：…∴数列{b n}的前2016项的和为T n=b1+b2+…+b2016==…==…18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，点P在底面ABCD上的射影为A，BC=CD=AD=1，E为棱AD的中点，M为棱PA的中点．（1）求证：BM∥平面PCD；（2）若∠ADP=45°，求二面角A﹣PC﹣E的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）法一：取PD的中点N，连接MN，CN．证明BM∥CN，然后证明BM∥平面PCD．（法二：连接EM，BE．通过证明平面BEM∥平面PCD，然后证明BM∥平面PCD）（2）以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz 求出相关点的坐标，求出平面PAC的一个法向量，平面PCE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A﹣PC﹣E的余弦函数值．【解答】解：（1）证明：法一：取PD的中点N，连接MN，CN．在△PAD中，N、M分别为棱PD、PA的中点∴∵∴四边形BCNM是平行四边形∴BM∥CN∵BM⊂平面PCD，CN⊄平面PCD∴BM∥平面PCD…（法二：连接EM，BE．在△PAD中，E、M分别为棱AD、PA的中点∴MN∥PD∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形∴BE∥CD∵BE∩ME=E，MN∥PD，BE∥CD∴平面BEM∥平面PCD∵BM⊂平面BEM∴BM∥平面PCD）（2）以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz…则A（0，0，0），C（2，1，0），E（1，0，0）．∵点P在底面ABCD上的射影为A∴PA⊥平面ABCD∵∠ADP=45°∴PA=AD=2∴P（0，0，2）∴，，…..设平面PAC的一个法向量，则设a=1，则…..设平面PCE的一个法向量为，则，设x=2，则…∴cos==…..由图知：二面角A﹣PC﹣E是锐二面角，设其平面角为θ，则cosθ=|cos|=…19．某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．【考点】7D：简单线性规划的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z的分布列．求出期望即可．（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．【解答】解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．将z=1000x+1200y变形为，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160．当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）．．将z=1000x+1200y变形为，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200．当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D （9，0）．将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800．故最大获利Z的分布列为：因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：．20．在平面直角坐标系中，动圆经过点M（0，t﹣2），N（0，t+2），P（﹣2，0）．其中t∈R．（1）求动圆圆心E的轨迹方程；（2）过点P作直线l交轨迹E于不同的两点A，B，直线OA与直线OB分别交直线x=2于两点C，D，记△ACD与△BCD的面积分别为S1，S2．求S1+S2的最小值．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系；J3：轨迹方程．【分析】（1）设动圆的圆心为E（x，y），通过，化简求解即可．（2）当直线AB的斜率不存在时，AB⊥x轴，验证即可．当直线AB的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k，则k≠0，直线AB的方程是y=k（x+2），k≠0．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，通过判别式韦达定理化简，求出直线AC的方程为，直线AC的方程为，表示出三角形的面积，求出面积和，利用函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）设动圆的圆心为E（x，y）则即：（x+2）2+y2=4+x2∴y2=﹣4x即：动圆圆心的轨迹E的方程为y2=﹣4x…．（2）当直线AB的斜率不存在时，AB⊥x轴，此时，∴∴∴…．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，则k≠0，直线AB的方程是y=k（x+2），k≠0．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y，得：k2（x+2）2+4x=0（k≠0），即：k2x2+4（k2+1）x+4k2=0（k≠0）∴△=16（2k2+1）＞0，，x1x2=4…．由A（x1，y1），B（x2，y2）知，直线AC的方程为，直线AC的方程为，∴，∴，∴，…..∴，令，则t＞0，，由于函数在（0，+∞）上是增函数…∴∴，综上所述，∴S1+S2的最小值为…21．已知函f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．①讨论f（x）的单调性；②设a＞0，证明：当0＜x＜时，；③函数y=f（x）的图象与x轴相交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明f′（x0）＜0．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】①求出函数f（x）的定义域，然后在定义域内分a＞0，a≤0两种情况解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得函数的单调区间；②设函数g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），只需证明g（x）＞0即可，进而转化为利用导数求函数的最值；③由①易判断a≤0时不满足条件，只需考虑a＞0时情形，由①可得f（x）的最大值为f（），且f（）＞0，设A（x1，0），B（x2，0），0＜x1＜x2，则0＜x1＜＜x2，由②可推得f（﹣x1）＞f（x1）=f（x2）=0，借助函数单调性可得结论；【解答】解：①函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=﹣2ax+（2﹣a）=﹣，（i）当a＞0时，则由f'（x）=0，得x=，当x ∈（0，）时，f'（x ）＞0，当x ∈（，+∞）时，f'（x ）＜0，∴f （x ）在（0，）单调递增，在（，+∞）上单调递减； （ii ）当a ≤0时，f （x ）＞0恒成立， ∴f （x ）在（0，+∞）单调递增；②设函数g （x ）=f （+x ）﹣f （﹣x ）， 则g （x ）=﹣=ln （1+ax ）﹣ln （1﹣ax ）﹣2ax ，g'（x ）=+﹣2a=，当x ∈（0，）时，g'（x ）＞0，而g （0）=0， ∴g （x ）＞g （0）=0，故当0＜x ＜时，f （+x ）＞f （﹣x ）；③由①可得，当a ≤0时，函数y=f （x ）的图象与x 轴至多有一个交点，故a ＞0，从而f （x ）的最大值为f （），且f （）＞0，不妨设A （x 1，0），B （x 2，0），0＜x 1＜x 2，则0＜x 1＜＜x 2，由②得，f （﹣x 1）=f （﹣x 1）＞f （x 1）=f （x 2）=0，又f （x ）在（，+∞）上单调递减，∴﹣x 1＜x 2，于是x 0=＞，由①知，f'（ x 0）＜0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计算，作答时请写清题号．选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，点P 的坐标是（1，0），曲线C 的方程为ρ=2．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线l 经过点P ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 和曲线C 相交于两点A ，B ，求|PA|2+|PB|2的值． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH ：参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简极坐标方程，两边同乘ρ，然后求解直角坐标方程．（2）求出直线参数方程，代入圆的方程，根据直线参数方程t的几何意义，求解|PA|2+|PB|2即可．【解答】（本小题满分10分）解（1）由曲线C的极坐标方程可得，ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，因此曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y点P的直角坐标为（1，0），直线l的倾斜角为135°，所以直线l的参数方程为为参数）．（2）将为参数）代入x2+y2=2x+2y，有，设A，B对应参数分别为t1，t2，有，根据直线参数方程t的几何意义有，|PA|2+|PB|2=．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|，不等式f（x）≥t对∀x∈R恒成立．（1）求t的取值范围；（2）记t的最大值为T，若正实数a，b满足a2+b2=T，求证：≤．【考点】R6：不等式的证明；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，即可求t的取值范围；（2）求出t的最大值为T，化简a2+b2=T，利用基本不等式证明：≤．【解答】解：（1）f（x）=|x+1|+|2﹣x|≥|x+1+2﹣x|=3，所以t≤3．（2）证明：由（1）知T=3，所以a2+b2=3（a＞0，b＞0）因为a2+b2≥2ab，所以，又因为，所以（当且仅当a=b时取“=”）．。