2017-2018学年内蒙古包头市第四中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)

2017-2018学年内蒙古包头市第四中学高一下学期期中考试
数学试题
一、单选题
1．已知五个数据，则该样本的标准差为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
先算出平均数，再根据方差公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差．
【详解】
数据3，5，7，4，6的平均数为=（3+5+7+4+6）=5
方差为S2=[（3﹣5）2+（5﹣5）2+（7﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2]=2
∴标准差为
故选：A．
【点睛】
计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：
（1）计算数据的平均数；
（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；
（3）计算偏差的平方和；
（4）偏差的平方和除以数据个数．
标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．
2．已知、表示两条不同直线，表示平面，则下列说法正确的是（）A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】B
【解析】
如图, ,但相交,错;
,但,错;
,但,错;故本题选
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：根据三视图知该几何体是底面为等腰三角形，高为4的直三棱柱，画出几何体的直观图，结合图中数据计算它的表面积即可．
详解：根据三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，高为4的直三棱柱，
画出几何体的直观图，如图所示，
结合图中数据，计算它的表面积是
S三棱柱=2××2×4+3×4×4=．
故选：C．
点睛：空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()
A．588 B．480 C．450 D．120
【答案】B
【解析】试题分析：根据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于60分的频率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴对应的学生人数是600×0.8=480
【考点】频率分布直方图
5．直线与直线垂直，则实数的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由题意可得3（1﹣2a）﹣2=0，解方程可得．
【详解】
∵直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，
∴3（1﹣2a）﹣2=0，
∴，
故选：D ． 【点睛】
已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论： 已知
，
，
则，
．
6．若直线10x y +-=和210ax y ++=互相平行，则两平行线之间的距离为（ ）
A
．
2 B
C
．2 D
．4
【答案】D
【解析】试题分析：因为直线10x y +-=和210ax y ++=互相平行，所以2,=a 在直线10x y +-=上取点(1,0)P 则点P 到直线2210++=x y 的距离
为
4
=
=
d 故选D ． 【考点】1、两直线平行的判定；2、两平行线之间的距离． 7．7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出i 的值是（ ）
A ． 63
B ． 31
C ． 27
D ． 15 【答案】A
【解析】试题分析：题目首先给计数变量S和输出变量i赋值0和1，然后判断S与50的大小关系，S小于等于50进入执行框，S大于50时结束．
解：因为S赋值为0，0不大于50，S=S2+1=02+1=1，i=2i+1=2×1+1=3；
1不大于50，S=S2+1=12+1=2，i=2×3+1=7；
2不大于50，S=S2+1=22+1=5，i=2×7+1=15；
5不大于50，S=S2+1=52+1=26，i=2×15+1=31；
26不大于50，S=S2+1=262+1=667，i=2×31+1=63；
667大于50，算法结束，输出i的值为63．
故选A．
【考点】程序框图．
8．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用
茎叶图表示(如图所示)，设甲乙两组数据的平均数分别为中位数分别为
则（）
A．x甲＜x乙，m甲＞m乙B．x甲＞x乙，m甲＞m乙
C．x甲＞x乙，m甲＜m乙D．x甲＜x乙，m甲＜m乙
【答案】D
【解析】
直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项
【详解】
甲的平均数甲=（5+6+8+10+10+14+18+18+22+25+27+30+30+38+41+43）=，
乙的平均数乙=（10+12+18+20+22+23+23+27+31+32+34+34+38+42+43+48）=，
所以甲＜乙．
甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙，
故选：D．
【点睛】
本题考查茎叶图，众数、中位数、平均数的应用，考查计算能力． 9．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为，体积为，则球的表面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】
正四棱柱的底面积为，正四棱柱的底面的边长为，正四棱柱的底面的对角线为，
正四棱柱的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，
即
，
10．两圆222212:4470,:410130C x y x y C x y x y ++-+=+--+=的公切线有（ ）
A ．2条
B ．3条
C ．4条
D ．以上都不对 【答案】B
【解析】试题分析：圆心1(2,2)C -，半径11r =，圆心2(2,5)C ，半径24r =，圆心距
12125C C r r ==+，
即两圆外切，公切线有3条，故选B ． 【考点】圆与圆的位置关系的判定与应用． 11．已知圆
的一条直径通过直线
被圆所截弦的中点，则该
直径所在的直线方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】由题意知，已知圆的圆心坐标
∵弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直得，且方程的斜率为
∴该直径所在的直线的斜率为：−2，∴该直线方程；
即2x +y −3=0， 故选D.
12
．过点(1)P -的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）
A ．π
[0,]3 B ．π0,3⎛
⎤ ⎥⎝⎦ C ．0,6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ D ．π0,6⎛
⎤
⎥⎝⎦
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意可得点(1)P -在圆221x y +=的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，
则直线方程为(1y k x +=+，
即10k x y -+
-=．根据直线和圆有交点、圆心
1≤，
即22311k k -+≤+，解
得0k ≤≤l 的倾斜角的取值范围是π
[0,]3
【考点】直线与圆的位置关系
二、填空题
13．把二进制数110 011)2(化为十进制数为 ； 【答案】51
【解析】试题分析：5
4
3
2
1
(2)11001112120202121251=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【考点】进制数的转化
点评：若是k 进制转为十进制，则指数幂的底数为k.。

另十进制转为k 进制，用到的方法是除k 取余法。

14．过点()2,3-,在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 . 【答案】32050x y x y +=--=或. 【解析】试题分析：设所求直线方程为
1x y a a +=-，将点()2,3-代入1x y a a
+=-中可得5a =.所以所求方程为：32050x y x y +=--=或 【考点】直线的截距式方程. 15．边长为的正
，在斜二测画法下的直观图
的面积是________．
【答案】
【解析】
由已知中正△ABC的边长为a，可得正△ABC的面积，进而根据△ABC的直观图
△A′B′C′的面积S′=S，可得答案．
【详解】
∵正△ABC的边长为a，
故正△ABC的面积S=
设△ABC的直观图△A′B′C′的面积为S′
则S′=S=•=
故答案为：．
【点睛】
本题考查的知识点是斜二测法画直观图，其中熟练掌握直观图面积S′与原图面积S之间
的关系S′=S，是解答的关键．
16．设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，此点到坐标原点的
距离不小于2的概率是________.
【答案】
【解析】试题分析：如图，平面区域D为边长为2的正方形OABC，D中与圆点的距离不小于2的区域为阴影区域，由几何概型的知识可得所求概率为
.
【考点】不等式组表示的平面区域和几何概型.
三、解答题
17．某公司的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据：
（1）根据表中提供的数据，用最小二乘法求出与的回归方程:；（2）预测销售额为115万元时，大约需要多少万元的广告费.
（参考公式:回归方程为其中，.）
【答案】（1）（2）15
【解析】
（1）根据题意，计算、，求出回归方程的对应系数，写出回归方程；（2）利用回归方程计算y=115时x的值即可．
【详解】
解：（1），
，
==，
==，
==,
==.
∴线性回归方程为.
（2）由题得：，，
解得.
答：大约需要15万元的广告费。

【点睛】
求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；
②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
18．已知的三个顶点，求：
（1）边上的高所在直线的方程；
（2）外接圆的方程.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）求出AB边上的高的斜率为﹣1，可得AB边上的高所在直线的方程；
（2）利用待定系数法求△ABC外接圆方程．
【详解】
解：（1）直线的斜率，那么边上的高的斜率就是，所以方程是
，整理为：．
（2）设外接圆方程是,代入三个点的坐标，
圆的一般方程为：
或圆的标准方程是：.
【点睛】
本题考查直线的方程与圆的方程，考查待定系数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
19．如图，四棱锥的底面是正方形，，，，点
分别为棱的中点.
（1）求证：∥平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）欲证AF∥平面PCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面PCE 内一直线平行，取PC的中点G，连接FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，满足定理条件；
（2）三棱锥C﹣BEP的体积可转化成三棱锥P﹣BCE的体积，而PA⊥底面ABCD，从而PA即为三棱锥P﹣BCE的高，根据三棱锥的体积公式进行求解即可．
【详解】
证明：（1）取PC的中点G，连接FG、EG
∴FG为△CDP的中位线
∴FG CD
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点
∴AE CD
∴FG AE
∴四边形AEGF是平行四边形.
∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE
∴AF∥平面PCE.
（2）PA⊥底面ABCD ，在Rt△BCE中，BE=1，BC=2，
∴三棱锥C﹣BEP的体积
V C﹣BEP=V P﹣BCE==.
【点睛】
求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
20．已知圆的圆心在直线上，半径为，且圆经过点
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且与圆C 相切的切线方程．
【答案】（1）（2）或
【解析】试题分析：（1）求圆的方程采用待定系数法，首先设出圆的方
程，代入已知条件求得值，从而得到圆的方程；（2）求圆的切线方程
首先设出直线方程，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离为圆的半径可得到切线方程 试题解析：（1）设圆心为，圆方程为 由题意：
圆方程为
（2）设过点且与圆相切的切线方程为即
圆心到切线的距离解得：或 故切线方程为或
【考点】1.圆的方程；2.直线与圆相切的位置关系
21．已知圆
22:240C x y y +--=,直线:10l mx y m -+-=． （1）判断直线l 与圆C 的位置关系；
（2）若直线l 与圆C 交于不同两点,A B ,
且AB =求直线l 的方程．
【答案】（1）直线l 与圆C 相交；（2）0=-y x 或02=-+y x ．
【解析】试题分析：（1）通过比较圆心到直线的距离与半径的关系，不难发现直线和圆相交．（2）根据垂径定理，得到圆心与直线的距离，进而列方程求解即可．
试题解析：（1）将圆方程化为标准方程5)1(2
2=-+y x ,所以圆C 的圆心)1,0(C ,半径5=r ,圆心)1,0(C 到直线01:=-+-m y mx l 的距离511111022<<+=+-+-=m m
m m
d ,因此直线l 与圆C 相交．
（2）设圆心到直线l 的距离为d ,则22223)5(2
2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d ,又2
21,122=+∴+=m m
m m
d ,解得∴±=,1m 所求直线为0=-y x 或02=-+y x ．
【考点】直线与圆的位置关系．。