初中数学知识点精讲精析 一元二次方程的解法

4.2 一元二次方程的解法
学习目标
1．会用直接开方法、因式分解法、公式法、配方法解一元二次方程。

2．知道一元二次方程根的判别式的概念，会用一元二次方程根的判别式判别根的情况。

3．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理。

知识详解
1. 直接开平方法：对于形如()20a a x =≥
的方程，根据平方根的定义，解得1x
2x
如果一个一元二次方程具有()()2
0k k x h =≥+的形式，那么就可以直接用开平方法。

2. 配方法：将一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开平 方法求解，这样解一元二次方程的解法叫做配方法，一般的步骤是：
（1）先把方程20bx c x ++=一项，2bx c x +=-（如果一元二次方程的二次项系数不是1，可以先把二次项的系数化为1）
（2）方程两边同加一次项系数一半的平方，得到
22222bx c b b x ++=-+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即22442c b b x -+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭
3. 因式分解法
步骤:（1）若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零 ，
（2）将方程的左边因式分解 ，
（3）根据若A B ⨯，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。

4.公式法
（1）公式法：对于一元二次方程
20a bx c x ++=（0a ≠）如果240ac b -≥，那么方
程的两个根为x =
（2）用公式法解一元二次方程的步骤
A 、把方程化成一般形式，并写出a ，b ，c 的值
B 、 求出24ac b -
C 、 代入求根公式
)20,40x a ac b =≠-≥ D 、写出方程的解1x 与2x
5.一元二次方程根的判别式
一元二次方程
20a bx c x ++=（0a ≠）的根的情况可由240ac b -≥来判定： 当240ac b
->时，方程有两个不相等的实数根； 当240ac b
-=时，方程有两个相等的实数根； 当2
40
ac b -<时，方程没有实数根。

我们把24ac b -叫做一元二次方程20a bx c x ++=（0a ≠）的根的判别式。

6.一元二次方程根与系数的关系
在一元二次方程
20a bx c x ++=（0a ≠）中，如果240ac b -≥，那么它的两个根是
x =这两个根是由方程的系数决定的，分别计算这两个根的和、积，可以得到：12b a x x +=-，12c a x x ∙=。

由此可见，一元二次方程两个根的和、两个根的积也是由方程的系数决定的，这就是一元二次方程根与系数的关系。

【典型例题】
例1. 将代数式2x +6x+2化成2
x p +（）+q 的形式为（ ） A ．
2
x 3-（）+11 B ．
2x+3（）-7 C ．
2x+3（）-11 D ．
2x+2（）+4 【答案】B
【解析】若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．
例2. 下列一元二次方程两实数根和为-4的是（ ）
A ．2x +2x-4=0
B ．2x -4x+4=0
C ．2x +4x+10=0
D ．2x +4x-5=0
【答案】D
【解析】找出四个选项中二次项系数a ，一次项系数b 及常数项c ，计算出24ac b -的值。

例 3. 如果关于x 的一元二次方程2x +4x+a=0的两个不相等实数根1
2x x ，满足1212x x 2x 2x 50---=，那么a 的值为（ ）
A ．3
B ．-3
C ．13
D ．-13
【答案】B
【解析】∵12x x ，是关于x 的一元二次方程2x +4x+a=0的两个不相等实数根，∴12x x =a ，12x x +=-4，∴12x x -1212122x 2x 5x x 2x x --=-+（）-5=a-2×（-4）-5=0，即a+3=0，解得，a=-3
【误区警示】
易错点1：取值范围
1. 关于x 的一元二次方程（a+1）2
x -4x-1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞-5
B ．a ＞-5且a ≠-1
C ．a ＜-5
D ．a ≥-5且a ≠-1
【答案】B 【解析】x 的一元二次方程（a+1）2x -4x-1=0有两个不相等的实数根，∴△=24ac b
-=16+4a+4
＞0，解得a ＞-5∵a+1≠0∴a ≠-1．
易错点2：求值问题 2. 已知一元二次方程：2
x -3x-1=0的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值为（ ） A ．-3
B ．3
C ．-6
D ．6
【答案】A
【解析】∵一元二次方程：2x -3x-1=0的两个根分别是
12x x ，，∴1
2x x +=3，12x x 1=-，∴221212x x x x +=12x x （12x x +）=-1×3=-3． 【综合提升】
针对训练
1. 方程x （x-2）+x-2=0的解是（ ）
A ．2
B ．-2，1
C ．-1
D ．2，-1
2. 若关于x 的一元二次方程2x -4x+2k=0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．k ≥2
B ．k ≤2
C ．k ＞-2
D ．k ＜-2
3. 已知关于x 的一元二次方程2x +x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（ ）
A ．-2
B ．0
C ．1
D ．2
1.【答案】D
【解析】x （x-2）+x-2=0，（x-2）（x+1）=0，所以，x-2=0，x+1=0，解得
1x =2，2x =-1．
2.【答案】B
【解析】∵关于x 的一元二次方程2x -4x+2k=0有两个实数根，∴△≥0，即24-（）-4×1×2k ≥0，解得k ≤2．∴k 的取值范围是k ≤2．
3.【答案】A
【解析】设关于x 的一元二次方程2
x +x+m=0的另一个实数根是α，∵关于x 的一元二次方程2x +x+m=0的一个实数根为1，∴α+1=-1，∴α=-2． 课外拓展
高等代数
初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。

沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。

发展到这个阶段，就叫做高等代数。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。

现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。

高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。

这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。

向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。