高三第二次模拟考试文数试题

唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}1,2A =，{}|,,B x x a b a A b A ==+∈∈，则集合B 中元素个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.设复数z 满足11i z i ⋅=-，则||z =（ ）
A ．1
B ．5
C ．2
D ．2
3.命题“(0,1)x ∀∈，20x x -<”的否定是（ ）
A ．0(0,1)x ∃∉，2
000x x -≥ B ．0(0,1)x ∃∈，2
000x x -≥
C ．0(0,1)x ∀∉，2
000x x -< D ．0(0,1)x ∀∈，2
000x x -≥
4.从1,2,3,4四个数字中任取两个不同数字，则这两个数字之积小于5的概率为（ ）
A ．1
3 B ．1
2 C ．2
3 D ．5
6
5.已知双曲线221mx y -=的渐进线方程为3y x =±，则m =（ ）
A ．13
B ．1
9 C ．3 D ．9
6.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）
A ．24π-
B ．243π-
C ．483π
- D ．883π
-
7.已知α，β均为锐角，且cos()cos()n αβαβ+=-，则tan tan αβ=（ ）
A ．11n n -+
B ．11n n +-
C ．1
1n n -+ D ．1
1n
n +-
8.函数21x
y x -=+，(,]x m n ∈的最小值为0，则m 的取值范围是（ ）
A ．(1,2)
B ．(1,2)-
C ．[1,2)
D ．[1,2)-
9.执行如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的结果为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
10.已知函数()3sin(2)cos(2)f x x x ϕϕ=---（||2π
ϕ<）的图象关于y 轴对称，则()f x 在区间
,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．2
11.已知平面αI 平面a β=，平面βI 平面b γ=，平面γI 平面c α=，则下列命题：
①若//a b ，则//a c ，//b c ；②若a b O =I ，则O c ∈；③若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥．
其中正确的命题是（ ）
A ．①②③
B ．②③
C ．①③
D ．①②
12.已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足(1)()'()0x f x xf x ++>，则（ ）
A ．()0f x >
B ．()0f x <
C ．()f x 为减函数
D ．()f x 为增函数
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数21log (1)y x =-+的定义域为 ．
14.平行四边形ABCD 中，AB AC DB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+= ．
15.在ABC ∆中，8AB =，7BC =，5AC =，则AB 边上的高是 ．
16.已知椭圆Γ：2
2
221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ，上、下顶点分别为A ，B ，直线AF 交Γ于
另一点M ，若直线BM 交x 轴于点(12,0)N ，则Γ的离心率是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，111a b ==，3214a b =，325a b -=． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．
18.共享单车的出现方便了人们的出行，深受我市居民的喜爱．为调查某校大学生对共享单车的使用情况，从该校8000名学生中按年级用分层抽样的方式随机抽取了100位同学进行调查，得到这100名同学每周使用共享单车的时间（单位：小时）如表：
使用时间 []0,2 (2,4] (4,6] (6,8] (8,10]
人数 10 40 25 20 5
（Ⅰ）已知该校大一学生由2400人，求抽取的100名学生中大一学生人数；
（Ⅱ）作出这些数据的频率分布直方图；
（Ⅲ）估计该校大学生每周使用共享单车的平均时间t （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
19.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD DC ⊥，2AD DC PA ===，4BC =，E 为PA 的中点，M 为棱BC 上一点．
（Ⅰ）当BM 为何值时，有//EM 平面PCD ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点P 到平面DEM 的距离．
20.已知ABC ∆的顶点(1,0)A ，点B 在x 轴上移动，||||AB AC =，且BC 的中点在y 轴上．
（Ⅰ）求C 点的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知过(0,2)P -的直线l 交轨迹Γ于不同两点M ，N ，求证：(1,2)Q 与M ，N 两点连线QM ，QN 的斜率之积为定值．
21.已知函数()ln 1a
f x x x =+-的图象与x 轴相切． （Ⅰ）求证：2
(1)()x f x x -≤； （Ⅱ）若1x b <<，求证：21
(1)log 2b x b x -->．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为112
3
2x t
y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22
(12sin )3ρθ+=．
（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线1C 与曲线2C 相交于A ，B 两点，点(1,0)M ，求||||||MA MB -．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()|1||1|f x x x =-++，P 为不等式()4f x >的解集.
（Ⅰ）求P ；
（Ⅱ）证明：当m ，n P ∈时，|4|2||mn m n +>+.
试卷答案 一、选择题
1-5:CCBBD 6-10:
CADBA 11、12：DA
二、填空题
13.(1,1]- 14.1 15.532 16.1
2
三、解答题 17.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q （0q >），则(12)14,
(1
2)5,d q d q +
=⎧⎨+-=⎩
解得3,2,d q =⎧⎨=⎩或3
,
27,
d q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩（舍），
所以32n a n =-，1
2n n b -=．
（Ⅱ）1212()()n n n S a a a b b b =+++++++……2(132)123212122n
n
n n n n
+---=+=+--．
18.解：（Ⅰ）设抽取的100名学生中大一学生有x 人，则100
24008000x =，解得30x =，
所以抽取的100名学生中大一学生有30人．
（Ⅱ）频率分布直方图如图所示．
（Ⅲ）10.050230.200250.125270.100290.0252 4.4t =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
所以该校大学生每周使用共享单车的平均时间大约为4.4小时．
19.解：（Ⅰ）当3BM =时，有//EM 平面PCD ．
取PD 中点F ，连接EF ，CF ，
∵E ，F 分别为PA ，PD 的中点，
∴//EF AD ，且1
12EF AD ==.
又∵梯形ABCD 中，//CM AD ，且1CM =，
∴//EF CM ，且EF CM =，
∴四边形EMCF 为平行四边形，
∴//EM FC ，
又∵EM ⊄平面PCD ，FC ⊂平面PCD ，∴//EM 平面PCD ，
即当3BM =时，//EM 平面PCD .
（Ⅱ）∵E 为PA 的中点，
∴点P 到平面DEM 的距离等于点A 到平面DEM 的距离，设点P 到平面DEM 的距离为d ， 由已知可得，5AM MD ED ===
，6EM =，
∴2AMD S ∆=，21
2DEM S ∆=，
由A DEM E AMD V V --=，得1
1
33DEM AMD S d S EA ∆∆⋅=⋅，
∴421
21
AMD DEM S EA d S ∆∆⋅==，
所以点P 到平面DEM 的距离为421
21.
20.解：（Ⅰ）设(,)C x y （0y ≠），因为B 在x 轴上且BC 中点在y 轴上，所以(,0)B x -，由||||AB AC =，得222(1)(1)x x y +=-+，
化简得24y x =，所以C 点的轨迹Γ的方程为24y x =（0y ≠）．
（Ⅱ）直线l 的斜率显然存在且不为0，
设直线l 的方程为2y kx =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，
由24,2,y x y kx ⎧=⎨=-⎩
得2
480ky y --=，
所以124
y y k +=，128
y y k =-，
1121112
24121
4MQ y y k y x y --===-+-，同理2
4
2NQ k y =
+，
1212124416
4222()4
MQ NQ k k y y y y y y ⋅=⋅==+++++，
所以(1,2)Q 与M ，N 两点连线的斜率之积为定值4．
21.解：（Ⅰ）21
'()a
f x x x =-，
设()f x 的图象与x 轴相切于点0(,0)x ，
则00()0,'()0,f x f x =⎧⎨=⎩即0
0200
ln 10,
10,
a x x a x x ⎧+-
=⎪⎪
⎨⎪-=⎪⎩解得0
1a x ==, 所以1
()ln 1f x x x =+-,
2
(1)()x f x x -≤等价于ln 1x x ≤-．
设()ln 1h x x x =-+，则1
'()1h x x =-，
当01x <<时，'()0h x >，()h x 单调递增；
当1x >时，'()0h x <，()h x 单调递减，
所以()(1)0h x h ≤=，
即ln 1x x ≤-，（*） 所以2
(1)()x f x x -≤． （Ⅱ）设21()(1)log 2b x g x b x -=--，21(ln )1
'()ln ln b b x b g x x x b x b --+
-=-=，
由'()0g x =，得01
ln b
x b -=．
由（*）式可得，当1x >时，ln 1x x <-，即1
1ln x x ->；
以1
x 代换x 可得1
1
ln 1x x <-，有1
ln x x x ->，即1
ln x x x -<．
所以当1b >时，有01x b <<．
当01x x <<时，'()0g x >，()g x 单调递增； 当0x x b <<时，'()0g x <，()g x 单调递减， 又因为(1)()0g g b ==，所以()0g x >， 即21
(1)log 2b x b x -->．
22.解：（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为330x y --=， 曲线2C 的直角坐标方程为2
2
13x y +=．
（Ⅱ）将直线1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程整理得：2
5240t t +-=，
122
5t t +=-，
由t 的几何意义可知：122
||||||||5MA MB t t -=+=.
23.解：（Ⅰ）2,1,
()|1||1|2,11,2, 1.
x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩
由()f x 的单调性及()4f x =得，2x >或2x <-． 所以不等式()4f x >的解集为{}|22P x x x =><-或.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知||2m >，||2n >，所以24m >，24n >， 2222(4)4()(4)(4)0mn m n m n +-+=-->，
所以22(4)4()mn m n +>+，
从而有|4|2||mn m n +>+．。