广西壮族自治区南宁市东盟中学2021年高三数学文模拟试卷含解析

广西壮族自治区南宁市东盟中学2021年高三数学文模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 沿一个正方体三个方面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为
（）
参考答案：
B
略
2. 已知实数x，y满足，且z=x+y的最大值为6，则（x+5）2+y2的最小值为（）A．5 B．3 C．D．
参考答案：
A
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出k的值，然后利用目标函数的几何意义，转化求解即可．
【解答】解：作出不等式，对应的平面区域，
由z=x+y，得y=﹣x+z
平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大为6．即x+y=6．由得
A（3，3），∵直线y=k过A，
∴k=3．
（x+5）2+y2的几何意义是可行域内的点与（﹣5，0）距离的平方，由可行域可知，（﹣5，0）到直线x+2y=0的距离DP最小．
可得（x+5）2+y2的最小值为：=5．
故选：A．
【点评】本题主要考查线性规划的应用以，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
3. 已知两不共线向量，，则下列说法不正确的是（）
A． B．与的夹角等于
C． D．与在方向上的投影相等
参考答案：
B
4. 若函数，则下列结论正确的是
A．，在上是增函数w.w.w..c.o.m
B．，在上是减函数
C．，是偶函数
D．，是奇函数
参考答案：
C
5. 函数的部分图象可能是（）
A． B． C.
D．
参考答案：
C
6. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，运用离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，
垂足分别为B、C，
∵e==2，
∴===，
故选A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率公式和渐近线方程的运用，同时考查点到直线的距离公式，属于基础题．
7. 若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
C
考点：二项式系数的性质．
专题：计算题；二项式定理．
分析：二项式的通项公式T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值．
解答：解：由题意，（x6）n的展开式的项为T r+1=C n r（x6）n﹣r（）
r=C
n
r=C
n
r
令6n﹣r=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5
故选：C．
点评：本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．
8.
在的展开式中，的系数是（）
A．－55 B．45 C．－25 D．25
参考答案：
答案：A
9. 设全集U=R，集合，，则（）A．{1,2} B．{－1,0,2} C．{2} D．{－1,0}
参考答案：
B
由集合，所以或，
所以，故选B．
10. 已知｛a n｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
参考答案：
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知等差数列{a n}，a1=2，a4=16，则数列{a n}的通项公式是．
参考答案：
a n =
考点：等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由题意易得数列的公差，可得通项公式．
解答：解：设等差数列{a n }的公差为d ，
则d===，∴通项公式a n =2+（
n﹣1）=
故答案为：a n=2+（n﹣1）=
点评：本题考查等差数列的通项公式，求出数列的公差是解决问题的关键，属基础题．
12. 已知正数a，b满足+=﹣5，则ab的最小值为．
参考答案：
36
【分析】正数a，b满足+=﹣5，﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，解出即可得出．
【解答】解：∵正数a，b满足+=﹣5，
∴﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，
解得≥6，当且仅当=，+=﹣5，即a=2，b=18时取等号．
解得ab≥36．
故答案为：36．
【点评】本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：
（s为参数）和C：（t为参数），若l与C相交于A、B两点，则|AB|=．参考答案：
考点：直线的参数方程；抛物线的参数方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：把直线l的参数方程化为直角坐标方程，把曲线C的参数方程化为直角坐标方程，联立方程组
求出交点坐标，
再利用两点间的距离公式求出结果．
解答：解：把直线l：（s为参数）消去参数，化为直角坐标方程为 x+y﹣2=0．
把曲线C：（t为参数）消去参数，化为直角坐标方程为 y=（x﹣2）2．
把直线方程和曲线C的方程联立方程组解得，或．
故|AB|==，
故答案为．
点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求直线和曲线的交点坐标，两点间的距离公式，属于基础题．
14. （2015秋?商丘期末）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）?f（x）=1对于x∈R恒成立，且f（x）＞0，则f（2015）= ．
参考答案：
1
【考点】函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】先根据条件求出函数f（x）的周期为4，再根据周期把所求问题转化，即可求出答案．【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）?f（x）=1，
∴f（x+2）=，
∴f（x+4）=f（x），
所以函数的周期T=4，f（2015）=f（3）；
令x=﹣1，f（1）?f（﹣1）=1=f2（1），
又f（x）＞0，∴f（1）=1，f（3）==1；
∴f（2015）=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了函数周期性的应用问题，解题时要利用好题中f（x+2）?f（x）=1的关系式，是基础题目．
15. 已知等差数列的公差，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是___________.
参考答案：
3
略
16. 设动点P在函数y=图象上，若O为坐标原点，则|PO|的最小值为．
参考答案：
2
考点：两点间距离公式的应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：设P，则|PO|=，利用基本不等式的性质即可得出．
解答：解：设P，则|PO|==2，当且仅当时取等号．
∴|PO|的最小值为2．
故答案为：2．
点评：本题考查了两点之间的距离公式、基本不等式的性质，属于基础题．
17. 如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8n mile．此船的航速是n mile/h．
参考答案：
32
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】由题意及图形在△ABS中，已知∠BAS=30°，∠ASB=45°，又已知三角形ABS中边
BS=8，先求出边AB的长，再利用物理知识解出．
【解答】解：因为在△ABS中，已知∠BAS=30°，∠ASB=45°，且边BS=8，利用正弦定理可得：??AB=16，
又因为从A到S匀速航行时间为半个小时，所以速度应为：（mile/h）．
故答案为：32．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数f（x）=alnx+（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜0在区间（0，e2]内有解，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）问题可化为函数f（x）在区间（0，e2]的最小值小于0，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，（x＞0），
a＞0时，由f′（x）＞0，解得：x＞，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜，
故函数f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
故函数f（x）只有极小值，
f（x）极小值=f（）=aln+a，无极大值；
（Ⅱ）不等式f（x）＜0在区间（0，e2]内有解，
问题可化为函数f（x）在区间（0，e2]的最小值小于0，
（i）a≤0时，f′（x）＜0，
则函数f（x）在区间（0，e2]内为减函数，
故f（x）的最小值是f（e2）=2a+＜0，
即a＜﹣；
（ii）a＞0时，函数f（x）在区间（0，）内为减函数，在区间（，+∞）内为增函数，
①若e2≤，即0＜a≤，函数f（x）在区间（0，e2]内为减函数，
由（i）知，f（x）的最小值f（e2）＜0时，a＜﹣与0＜a≤矛盾；
②若e2＞，即a＞，
则函数f（x）的最小值是f（）=aln+a，
令f（）=aln+a＜0，得a＞e2，
综上，实数a的范围是（﹣∞，﹣）∪（e2，+∞）．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
19. （本小题12分）设的内角所对边的长分别为，且有
(1).求角的大小
（2）.若为的中点,求的长
参考答案：
（1）(2)
略
20. 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．
参考答案：
解：（Ι）由知：
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调减区间是，单调增区间是；
当时，函数是常数函数，无单调区间。

（Ⅱ）
由,
∴，. 高考资源网w。

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故，∴,
∵函数在区间上总存在极值，
∴函数在区间上总存在零点，
又∵函数是开口向上的二次函数，且
∴高考资源网w。

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由，令，则，
所以在上单调递减，所以；
由，解得；
综上得：
所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值。

高考资源网w。

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（Ⅲ）高考资源网w。

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令，则
.
①当时，由得，从而,
所以，在上不存在使得；高考资源网w。

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②当时，,
，在上恒成立，故在上单调递增。

故只要，解得
综上所述，的取值范围是高考资源网w。

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略
21. 计算：（1）
（2）；
参考答案：
解：（1）原式=
；
（1）原式
；
略
22. 已知数列{a n}满足，记. （1）证明:；（2）若，求数列{b n c n}的前2n项的和S2n. 参考答案：
（1）当为奇数时，
当为偶数时，
（2）
.。