排列组合综合应用题PPT优秀课件

再考虑每一类中要如何安排棒数？ 第一类无甲乙情况：可把4人全排列，有A44 种； 第二类甲乙只有一人情况：甲或乙 先考虑有A21 种余下的三人全排列有A33种；第三类甲乙都有的 情况：先考虑甲乙有A22种，余下的有A22种。
所以，第一类有C54.A44种,第二类有2C53.A21.A32 种,第三类有C52.A22.A22种。由加法原理；总的安排方法有
解排列组合问题，一定要做到“不重”、“不漏”。
注意问题：
排列组合、不重不漏
解题方法：
互斥分类----------分类法 先后有序----------位置法 反面明了----------排除法 相邻排列----------捆绑法 分离排列----------插空法
2
一.排列组合综合问题
分配问题
例1：有12 人。按照下列要求分配，求不同的分 法种数。
分析：从7人中选出4人分别安排在第一、二、三、四棒这 个事，与组合和排列都有关，这里对甲、乙又有特殊的要求， 这就有几种不同的情况，所以要分类考虑，先考虑4人的选 取有几类？再考虑谁跑哪棒。
直接法：先组： 分三类。第一类，没有甲、乙，有C54种； 第二类，有甲无乙或有乙无甲，有 2C53种；第三类，既有甲 又有乙。有C52种。
解： ① （解题思路）分两步完成，把a,e排在首末两端有 A22种，再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种。由乘法 共有A22. A33=12(种)排法。
点评：问题①是排列问题中某几个元素必须“在”某些位置 的问题，处理这类问题的原则是：有条件限制的元素或位置 优先考虑 。(优限法)
解： ② （解题思路1）先从b,c,d三个选其中两个 排在首末两位，有A32种，然后把剩下的一个与a,e 排在中间三个位置有A33种，由乘法原理:
点评：上述④ ⑤属于平均分配问题，求没有给出 组名的种数，可以先求给出组名的种数，再除以组 数的阶乘！
练习1：有12 人。按照下列要求分配，求不同的 分法种数。
①分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；
②分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人， 丙组3人；
③分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；
分析： ①由2女捆绑成一人与6男全排列,再把2女全排列， 有A77.A22种 “捆绑法”
②把6男2女8人全排A88-A77.A22种。“排除法”
② 还可用“插空法”直接求解：先把6男全排列，再在6 男相邻的7个空位中排2女，所以共有A66.A72种.
思考:对于不相邻的分离排列能否都用“排除法”?若改5男3
女
A88 A33A55A22
排(反成面一不列明,3女了不:有相3女邻相,用邻排，除两法两得相邻等几种情况对。吗) ?
③4男4女排成一列，同性者相邻，把4男、4女 捆绑成一个排列，然后同性者之间再全排列，所 在地共有A22.A44.A44种。“捆绑法”
(1)分为三组，每组5人,共有__C_15_5C __15_0C__55_/_A_33__
种不同的分法。 （2）分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各
4人，共有__C_1_7_5C_8_4_C_44__A_33_/__A_22___种不同的分法。
（3）分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组5人，一组
4人，共有____C__16_5_C_9_5C__44__A_33____种不同的分法。
C223C347A21A42(种）
2. 高二要从全级10名独唱选手中选出6名在歌咏会上表演， 出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少种？
C 2 0C 8 6A 6 6C 2 1 C 8 5A 4 1A 5 5C 2 2C 8 4A 4 2A 4 4(种）
练习
3. 15 人按照下列要求分配，求不同的 分法种数。
男女----------男女 ① Aa-------------Bb ② Ab-------------Ba ③ Bb-------------Aa
显然： ①与③； ②与④在搭配 上是一样的。所以只有2种方法， 所以总的搭配方法有2 C82.C72种。
④ Ba-------------Ab 先组后排
④分为甲、乙两组，每组6人；
④ 分析：把12个人分为甲、乙两组，每组6人， 可分成两步，第一步，从12人中抽出6人给甲组， 有C126种，余下的6人给乙组有C66种，所以 共有C126.C66种. ⑤分为两组，每组 6人； ⑤由于没有组名，与④比较，显然④分成甲、乙两组是有 顺序的，如123456分在甲组与123456分在乙组是不一样的，而 ⑤作为分成两组却是一样的。有顺序的多，无顺序的少，象非 平均分配一样，有组名的种数应该是无组名的种数的关于组数 的阶乘倍。所以在④的基础上除以组数的阶乘，即12个人分 为两组，每组 6人的种数为C126.C66 / A22种。
共有A32. A33=36种排列.
点评：上述运用了“优限法”，既有条件限制的位 置优先考虑的原则，这种解法是直接法。
（解题思路2）从反面考虑“排除法”，既间接法。 A55是5 个元素的全排列数，减去a,e分别在排头、排尾的4 种情况有4A44种。但A55- 4A44=24种。
上述解法哪个对，哪个错？错在哪里？
分配以及部分平均分配问题。
1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出 组名是一样的，可以直接分步求；给出了组名 而没指明哪组是几个，可以在没有给出组名 （或给出组名但不指明各组多少个）种数的 基础上乘以组数的全排列数。
2.平均分配问题中，给出组名的分步求；若没给出组名的， 一定要在给出组名的基础上除以组数的全排列数。
说明：在解题过程中，有时用“排一排”会使思路更清楚。 “具体排”是一种好方法，它是把抽象转化为具体的一种思
维方法
解：③ （解题思路）a,e排在一起，可以将a,e看成 一个整体,作为一个元素与其它3个元素全排列，有 A44种； a,e两个元素的全排列数为A22种，由乘法原 理共有A44. A22(种)排列。
N= C54.A44+ 2C53.A21.A33+ C52.A22.A22（种） 本例很难象引例那样用间接法解。
注意：排列组合综合题在求解中的分类十分重要，大家要 认真体会，理解其思路和方法是先组后排。
课堂小结
本节课，对几个例子的分析讨论，总结了分配问 题，分离排列问题，以及排列组合综合题的解法。
3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是 平均分配。这样分配问题就解决了。
结论：给出组名(非平均中未指明
各组个数）的要在未给出组名的种 数的基础上，乘以组数的阶乘。
分离排列问题
例2：求不同的排法种数。 ①6男2女排成一排，2女相邻； ② 6男2女排成一排，2女不能相邻； ③4男4女排成一排，同性者相邻； ④4男4女排成一排，同性者不能相邻。
排列组合综合应用题
回顾
引入：前面我们已经学习和掌握了排列组合问题 的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方 法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题。 和应用问题。
问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注 意什么问题？
解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法 原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原 理，可用位置法；上述两种称“直接法”,当问题的反面简单 明了时，可通过求差排除法,采用“间接法”；另外，排列 中“相邻”问题可采用捆绑法；“分离”问题可用插空法等。
所以①、 ②分配种数都为C127.C55
③分为甲、乙两组，一组 7人，一组5人；
③思考：把12 人分为甲、乙两组，一组7人，一组 5人,与① ②比较,有何相同和不同地方?
相同地方都是分成两组,一组7 人,一组5 人,有 C127.C55种；所不同的③是一组7人，一组5人，并没 有指明甲乙谁是7人，谁是5人，要考虑甲乙的顺序， 所以要再乘以P22 ，所以③总的种数为C127.C55.A22。
____C__24_7C_1_2_3C_4_2C __21_A_22_____ 种不同的选法。
二.排列组合应用问题
（一）.有条件限制的排列问题
例1：5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列。 ①a,e必须排在首位或末位，有多少种排法？ ②a,e既不在首位也不在末位，有多少种排法？ ③ a,e排在一起多少种排法？ ④ a,e不相邻有多少种排法？ ⑤ a在e的左边（可不相邻）有多少种排法？ 要求：开动脑筋，积极思维，不同解法，大胆说出。
A21 A21 2 2
分离排列问题
引例： 4名运动员出组成4×100米接力队，参 加校运会，其中甲，乙两人不同时跑中间两棒 的安排方法有多少种？
间接法方 A44便 A22A2： 2 20.
例4:高二某班要从7名运动员出4名组成4×100 米接力队，参加校运会，其中甲，乙两人都不跑中 间两棒的安排方法有多少种？
点评：上述问题是非平均分配问题， ① 没有指出组名 ②给出了组名，而且指明了谁是几个人。这在非平均分 配中是一样的。而 ③虽然给出了组名，却没有指明谁是 几个人，所以这时有顺序问题。
注意： 求给出了组名，却没有指明哪组多少人的种数， 可以先算未给出组名（或给出组名并指明哪组多少人）的 种数，然后乘以组数的阶乘。
④ 同性不相邻必须男女都排好，即男奇数位， 女偶数位，或者对调。 ∴总排列数为A22.A44.A44种。
本题可否用排除法得排列总数为：A88—A22.A44.A44； 或用简单插空法得排列总数为：A44.A54?
错！∵用排除法时，反面要明了，而这里反面不明了，还 有2人或3人相邻的。用简单插空法可能出现两男或两女相邻 的情况。如“女男男女男女男女” 。
解排列组合综合题一般应遵循：“先组后排”的 原则。解题时一定要注意 “不重、不漏” 。
解题方法：
互斥分类----------分类法 先后有序----------位置法 反面明了----------排除法 相邻排列----------捆绑法 分离排列----------插空法
练习
1. 某班有23男37女共60名学生，拟派出2个 辩论队，每队3人，各1男2女，共有多少种不 同的搭配方法。
④分为甲、乙、丙三组，每组4人；
⑤分为三组，每组4人。
⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。
答案 ①C125.C74.C33 ④C124.C84.C44
② C125.C74.C33
⑤ C124.C84.C44 A33
③ C125.C74.C33.A33
⑥C122.
C105.C55 A22
小结：例1与练习1说明了非平均分配、平均
分析：减去a,e分别在排头、排尾的4种情况用图 示表示即：
减去a排头 a××××; 减去a排尾 ×××× a;
减去e排头 e××××; 减去e排尾 ×××× e;
由图示可看出：四种情况中a排头e排尾； e 排头a 排尾各 多减了一次。（遗漏）必须补回，既加上2A33种。
所以间接法的正确答案为： A55- 4A44+2A33（种）排法。
由此可见，分离排列问题，不能简单地用插空法或排除法 要根据具体的情况具体分析。
搭配问题
例3：某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进 行混合双打训练，两边都必须要1男1女，共有多 少种不同的搭配方法。
分析：每一种搭配都需要2男2女，所以先要选出
2男2女，有C82.C72种；
然后考虑2男2女搭配，有多少种方法？
①分为两组，一组7人，一组 5人； ②分为甲、乙两组，甲组 7人，乙组5人； ③分为甲、乙两组，一组 7人，一组5人； ④分为甲、乙两组，每组6人； ⑤分为两组，每组 6人； 要求：审清题意、仔细分析、周密考虑、防止重漏。
① ②分析：把12 人分成两组，一组7人，一组5人与把12 人分成甲、乙两组，甲组7人，乙组5人，实质上是一样的， 都必须分成两步：第一步从12 人中选出7人组成一组（或甲 组）有C127种方法；第二步，剩余的5人组成一组（或乙组） 有C55种方法。所以总的分配种数为C127.C55种。
4. 8名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都 不站中间两位的排法有__C _6 4 _A _4 4 _ _C _2 _1 C _7 3 _A _2 1 _A _3 3_ _C _6 2 _A _2 2_A _2 2_种。
5. 某班有27名男生13女生，要各选3人组成 班委会和团支部每队3人，3人中2男1女，共有