最新高中数学人教B版必修五3.2《第1课时 均值不等式》ppt课件

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1.运用均值不等式比较大小时应注意成立ห้องสมุดไป่ตู้条件,即 a +b≥2 ab成立的条件是 a>0,b>0,等号成立的条件是 a=b; a2+b2≥2ab 成立的条件是 a,b∈R,等号成立的条件是 a= b.
2.本题在比较 a+b 与 a2+b2 的大小时使用了作差法.
已知 a>b>1,P= lg a·lg b,Q=12(lg a+lg b),R=lga+2 b, 试比较 P、Q、R 的大小.
3.在 a>0,b>0 时,用 a, b分别代替 a、b,可以得 到什么结论?
【提示】 a+2 b≥ ab.
1.均值定理 如果 a,b∈R+,那么a+2 b ≥ ab.当且仅当 a=b 时, 等号成立.以上结论通常称为均值不等式. 2.算术平均值与几何平均值 对于任意两个正实数 a,b,数a+2 b叫做 a,b 的算术平 均值,数 ab叫做 a,b 的几何平均值. 3.均值定理可以表述为:
【自主解答】 ∵0<a<1,0<b<1,a≠b; ∴a+b>2 ab,a2+b2>2ab; ∴四个数中最大的应从 a+b,a2+b2 中选择. 而 a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1), 又∵0<a<1,0<b<1,∴a(a-1)<0,b(b-1)<0, ∴a2+b2-(a+b)<0,即 a2+b2<a+b, ∴a+b 最大.
若 x>0,求 f(x)=1x2+3x 的最小值. 【解】 ∵x>0,∴f(x)=1x2+3x≥2 1x2·3x=12, 当且仅当 3x=1x2即 x=2 时,“=”成立. ∴f(x)的最小值为 12.
利用均值不等式证明不等式 已知 a、b、c>0,求证:ab2+bc2+ca2≥a+b+c.
【思路探究】
●重点难点 重点:均值不等式成立的条件及应用.
难点:均值不等式成立的条件以及应用均值不等式求最 大值和最小值.
●教学建议 均值不等式是后面应用基本不等式求最大(小)值的基础, 在高中数学中有着比较重要的地位,在工业生产等有比较广 的实际应用.本节宜采用分组讨论,多媒体展示、引导启发 法来突出均值不等式的推导.可以采用重复法(在课堂的每一 环节,以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件),变 式教学等来突破均值不等式成立的条件这个难点.
【解】 ∵a>b>1,
∴lg a>lg b>0,
∴P=
lg
a·lg
lg b<
a+lg 2
b=Q,
Q=lg
a+lg 2
b=12lg
ab=lg
ab<lg
a+2 b=R,
∴P<Q<R.
用均值不等式求简单的最值
(1)已知 x>0,求 f(x)=x+9x的最小值; (2)已知 lg a+lg b=2,求 a+b 的最小值; (3)已知 m,n>0,且 m+n=16,求12mn 的最大值.
两个正实数的 算术 平均值大于或等于它的几何 平均值.
利用均值不等式比较代数式的大小
若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b. 试比较出 a+b,a2+b2,2 ab,2ab 中最大者. 【思路探究】 (1)a+b 与 2 ab的大小关系是怎样的? a2+b2 与 2ab 的大小关系呢?(2)a+b 与 a2+b2 怎样比较大 小?
(3)∵m,n>0 且 m+n=16, 所以由均值不等式可得 mn≤(m+2 n)2=(126)2=64, 当且仅当 m=n=8 时,mn 取到最大值 64. ∴12mn 的最大值为 32.
当 a>0,b>0 时, 1.若 a+b=p(和为定值),则当 a=b 时,积 ab 有最大 值p42,可以用基本不等式 ab≤a+2 b求得. 2.若 ab=S(积为定值),则当 a=b 时,和 a+b 有最小 值 2 S,可以用基本不等式 a+b≥2 ab求得. 不论哪种情况都要注意等号取得的条件.
【思路探究】 (1)x 与9x都为正数吗?它们的积为定值 吗?怎样求 x+9x的最小值?
(2)由 lg a+lg b=2 能得到 a,b 为定值吗?a,b 是正数 吗?
(3)和为定值,能求积的最大值吗?
【自主解答】 (1)∵x>0,∴由均值不等式可得 f(x)=x+9x≥2 x·9x=6,当且仅当 x=9x,即 x=3 时,f(x) 取到最小值 6; (2)由 lg a+lg b=2 可得 lg ab=2,即 ab=100,且 a>0, b>0, 因此由均值不等式可得 a+b≥2 ab=2 100=20, 当且仅当 a=b=10 时,a+b 取到最小值 20.
图(1)
图(2)
1.根据抽象的图形,你能从中得到一个什么样的不等关 系?
【提示】 正方形 ABCD 的面积大于 4 个直角三角形的 面积之和,即 a2+b2>2ab.
2.当中间的四边形 EFGH 缩为一点,即四个直角三角形 变为等腰直角三角形时,可以得到什么结论?结合问题 1 你 有什么发现?
【提示】 a2+b2=2ab,a2+b2≥2ab.
【自主解答】 ∵a,b,c,ab2,bc2,ca2均大于 0, ∴ab2+b≥2 ab2·b=2a, 当且仅当ab2=b 时等号成立. bc2+c≥2 bc2·c=2b, 当且仅当bc2=c 时等号成立.
●教学流程
演示结束
1.了解均值不等式的证明过 程.
课标 2.能利用均值不等式证明简 解 单的不等式及比较代数式 读 的大小.(重点、难点) 3.能利用均值不等式求简单 函数的最值.(重点)
均值定理
【问题导思】 如图(1)是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会 标.将其抽象成如图(2)的形式.设直角三角形的长为 a、 b(a≠b),那么正方形的边长为 a2+b2.
3.2 均值不等式 第 1 课时 均值不等式
教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能 (1)会推导均值不等式:a+2 b≥ ab; (2)理解a+2 b≥ ab的几何意义; (3)会利用均值不等式求最值.
2.过程方法与能力 (1)探索并了解均值不等式的形成和证明过程; (2)体会均值不等式的证明方法和简单应用. 3.情感、态度与价值观 (1)通过探索均值不等式的证明过程,培养探索、研究精 神; (2)通过对均值不等式成立的条件的分析,养成严谨的科 学态度,勇于提出问题、分析问题的习惯.
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