函数零点与极值求解练习题

函数零点与极值求解练习题
一、函数零点求解练习题
1. 求解函数$f(x)=2x^3+5x^2-3x+1$的零点。

解答：要求解函数的零点，即找到满足$f(x)=0$的x值。

首先，我们可以使用代入法来尝试找到一个零点。

将x=1代入函数$f(x)$中，
$f(1)=2(1)^3+5(1)^2-3(1)+1=2+5-3+1=5$。

我们发现$f(1)=5$，不等于0，说明x=1不是一个零点。

因此，我们需要采用其他方法来求解。

其次，我们可以使用图像法来大致找到函数的零点。

通过绘制函数的图像，我们可以观察到函数与x轴的交点，这些交点即是函数的零点。

使用计算机软件或者在线图像绘制工具，我们可以得到函数的图像。

根据绘制的图像，我们可以看到函数$f(x)$与x轴交于两个点，分别大约为x=-1.8和x=0.3。

这两个点即为函数$f(x)=0$的零点。

因此，函数$f(x)=2x^3+5x^2-3x+1$的零点为x=-1.8和x=0.3。

2. 求解函数$g(x)=e^x-2x$的零点。

解答：使用代入法求解：
当x=0时，$g(0)=e^0-2(0)=1-0=1$。

当x=1时，$g(1)=e^1-2(1)=e-2≈0.7183-2≈-1.2817$。

根据代入法的计算，我们发现函数$g(x)$在x=0和x=1处的取值都
不为0。

因此，我们需要使用其他方法来求解函数的零点。

我们可以使用数值逼近的方法，如二分法或牛顿迭代法，来求得函
数的零点。

通过数值逼近的计算，我们得到函数$g(x)$的零点大约为x=0.7032。

因此，函数$g(x)=e^x-2x$的零点为x=0.7032。

二、函数极值求解练习题
1. 求解函数$h(x)=x^2-6x+8$的极值。

解答：要求解函数的极值，我们需要先求解函数的导数，并找到导
数为0的点，即函数的驻点。

然后再通过二阶导数测试来确定这些驻
点是否为极值点。

首先，求解函数$h(x)$的导数：
$h'(x)=2x-6$。

然后，令$h'(x)=0$，解方程得到驻点：
$2x-6=0$，
$x=3$。

接下来，计算函数$h(x)$的二阶导数：
$h''(x)=2$。

由于$h''(x)$为常数，且大于零，我们可以得出结论：驻点x=3为函数$h(x)$的极小值点。

因此，函数$h(x)=x^2-6x+8$的极小值为x=3。

2. 求解函数$k(x)=-x^3+3x^2-3x+2$的极值。

解答：首先，求解函数$k(x)$的导数：
$k'(x)=-3x^2+6x-3$。

然后，令$k'(x)=0$，解方程得到驻点：
$-3x^2+6x-3=0$，
$x^2-2x+1=0$，
$(x-1)^2=0$，
$x=1$。

接下来，计算函数$k(x)$的二阶导数：
$k''(x)=-6x+6$。

我们可以继续计算二阶导数$k''(x)$在x=1处的值：
$k''(1)=-6(1)+6=0$。

由于$k''(1)=0$，我们无法通过二阶导数测试来确定这个驻点是否为极值点。

此时，我们需要使用其他方法来判断。

通过观察函数$k(x)$的图像可以发现，驻点x=1附近存在一个局部最大值。

因此，函数$k(x)=-x^3+3x^2-3x+2$的极大值为x=1。

综上所述，我们对函数零点与极值求解练习题进行了讨论，并给出了相应的解答。

通过这些练习题的解答，我们可以更好地理解和掌握函数的零点和极值求解方法。