高考数学复习第8单元解析几何第54讲圆锥曲线的综合问题理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件

= + 2,
2
由 2
可得 y -2my-4=0,则 y1y2=-4.
= 2
2
交 C 于 A,B 两点,圆 M 是以线
段 AB 为直径的圆.
(1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上;
(2)设圆 M 过点 P(4,-2),求直线
l 与圆 M 的方程.
12
( 1 2 )2
22
又 x1= 2 ,x2= 2 ,故 x1x2=
2
2


解:(1)由于 P3,P4 两点关于 y 轴对称,故由题设知 C
C: 2 + 2 =1(a>b>0),四点
P1(1,1),P2(0,1),P3 -1,
3
2
,P4 1,
3
2
中
恰有三点在椭圆 C 上.
(1)求 C 的方程;
(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于
A,B 两点,若直线 P2A 与直线 P2B 的斜
在 E 上,MA⊥NA.
(1)当 t=4,|AM|=|AN|时,求
△AMN 的面积;
(2)当 2|AM|=|AN|时,求 k 的取
解:(1)设 M(x1,y1),则由题意知 y1>0.
2
2
4
3
当 t=4 时,椭圆 E 的方程为 + =1,A(-2,0).
π
由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 4 ,
圆 M 的半径为 10,圆 M 的方程为(x-3) +(y-1) =10;
2
2
1
9
2
4
当 m=- 时,直线 l 的方程为 2x+y-4=0,圆心 M 的坐标为
圆 M 的半径为
85
4
,圆 M 的方程为 -
9 2
4
+ +
1 2
2
,-
1
2
,
85
= .
16
9/128
教学参考
3.[2017·全国卷Ⅰ] 已知椭圆
2
1 + -1 2 + -1
=
+
1
2
=
2 1 2 +( -1)( 1 + 2 )
12
.
由题设 k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0,
4 2 -4
-8
即(2k+1)·
+(m-1)·
=0,
2
2
4 +1
4 +1
解得 k=-
2
2
所以·
=0,即⊥ .又过点 P 存在唯一直
线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l
过 C 的左焦点 F.
7/128
教学参考
2.[2017·
全国卷Ⅲ] 已知抛物
解:(1)证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.
线 C:y =2x,过点(2,0)的直线 l
k-2 < 0,
3
由此得 3
或 3
解得 2<k<2.
k -2 < 0
k -2 > 0,
3
因此 k 的取值范围是( 2,2).
△AMN 的面积;
(2)当 2|AM|=|AN|时,求 k 的取
值范围.
15/128
教学参考
5.[2015·全国卷Ⅰ] 在直角坐标系 xOy
2
中,曲线 C:y= 与直线 l:y=kx+a(a>0)
教学参考
5.[2015·全国卷Ⅰ] 在直角坐标系 xOy
(2)存在符合题意的点,证明如下:
中,曲线 C:y= 与直线 l:y=kx+a(a>0)
设 P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线
交于 M,N 两点.
PM,PN 的斜率分别为 k1,k2.
2
4
(1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处
■ [－]课标全国真题再现
1.[2017·全国卷Ⅱ] 设 O 为坐标原点,
2
动点 M 在椭圆 C: 2 +y =1 上,过 M 作 x
解:(1)设 P(x,y),M(x0,y0),则
2
轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足 = 2
.
(1)求点 P 的轨迹方程;
N(x0,0), =(x-x0,y), =(0,y0).
由 2|AM|=|AN|得
2
3+ 2
=

3 2 +
3
,即(k -2)t=3k(2k-1).
3k(2k-1)
3
当 k= 2时上式不成立,因此 t=
t>3 等价于
k 3 -2k 2 +k-2 (k-2)(k 2 +1)
k 3 -2
=
k 3 -2
k 3 -2
.
k-2
<0,即k 3 -2<0,
k-2 > 0,
因此 OA 的斜率与 OB
4
=4.
1 2 -4
的斜率之积为 · = =-1,所以
1 2 4
OA
⊥OB.
故坐标原点 O 在圆 M 上.
2
(2)由(1)可得 y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m +4.
故圆心 M 的坐标为(m +2,m),圆 M 的半径
2
r=
( 2
2
+ 2) + 2 .
3.[2017·全国卷Ⅰ] 已知椭圆
2
2


如果 l 与 x 轴垂直,设 l:x=t,由题设知 t≠0,且|t|<2,可
C: 2 + 2 =1(a>b>0),四点
P1(1,1),P2(0,1),P3 -1,
3பைடு நூலகம்
2
,P4 1,
3
2
中
得 A,B 的坐标分别为 ,
4- 2
2
, ,-
4- 2
2
,
恰有三点在椭圆 C 上.
(1)求 C 的方程;
则 k1+k2=
4- 2 -2
2
4- 2 +2
-
=-1,得 t=2,不符合题设.
2
2
(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于
从而可设 l:y=kx+m(m≠1).将 y=kx+m 代入 4 +y =1
A,B 两点,若直线 P2A 与直线 P2B 的斜
得(4k +1)x +8kmx+4m -4=0.
=0,故
(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,
即 x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.
由(1)可得 y1y2=-4,x1x2=4,
1
所以 2m -m-1=0,解得 m=1 或 m=- .
2
2
当 m=1 时,直线 l 的方程为 x-y-2=0,圆心 M 的坐标为(3,1),
第54讲 PART 8
圆锥曲线综合
问题
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
1/128
考试说明
1.了解圆锥曲线实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和处理实际问题中作
用.
2.掌握椭圆与抛物线定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
3.了解双曲线定义、几何图形和标准方程,知道它简单几何性质.
因此直线 AM 的方程为 y=x+2.
2 2
将 x=y-2 代入 4 + 3 =1 得 7y -12y=0,
2
12
12
7
7
解得 y=0 或 y= ,所以 y1= .
1 12
12 144
2
7
因此△AMN 的面积 S△AMN=2× × × =
7
49
.
值范围.
13/128
教学参考
4.[2016·全国卷Ⅱ] 已知椭圆
8/128
教学参考
2.[2017·
全国卷Ⅲ] 已知抛物
线 C:y =2x,过点(2,0)的直线 l
2
交 C 于 A,B 两点,圆 M 是以线
段 AB 为直径的圆.
(1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上;
(2)设圆 M 过点 P(4,-2),求直线
l 与圆 M 的方程.
由于圆 M 过点 P(4,-2),因此 ·
2
2
E: + 3 =1 的焦点在 x 轴上,A
是 E 的左顶点,斜率为 k(k>0)
的直线交 E 于 A,M 两点,点 N
在 E 上,MA⊥NA.
(1)当 t=4,|AM|=|AN|时,求
△AMN 的面积;
(2)当 2|AM|=|AN|时,求 k 的取
(2)由题意知 t>3,k>0,A(- ,0).将直线 AM 的方程 y=k(x+ )
2
2

3
代入 + =1 得
(3+tk )x +2 ·
tk x+t k -3t=0.
2
2
2
2 2 -3
由 x1·
(- )=
3+ 2
2 2
得 x1=
(3- 2 )
3+ 2
故|AM|=|x1+ | 1 + 2 =
,
6 (1+ 2 )
.
3+ 2
1
由题设知,直线 AN 的方程为 y=- (x+ ),故同理可得
由 = 2
2
得 x0=x,y0= y.
2
2 2
因为 M(x0,y0)在 C 上,所以 + =1,
2
因此点 P 的轨迹方程为 x +y =2.
2
(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且·
=1,
2
2
证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过
C 的左焦点 F.
6/128
教学参考
6 (1+ 2 )
|AN|=
3 2 +
.
值范围.
14/128
教学参考
4.[2016·全国卷Ⅱ] 已知椭圆
2
2
E: + 3 =1 的焦点在 x 轴上,A
是 E 的左顶点,斜率为 k(k>0)
的直线交 E 于 A,M 两点,点 N
在 E 上,MA⊥NA.
(1)当 t=4,|AM|=|AN|时,求
4.了解圆锥曲线简单应用.
5.了解数形结合思想.
2/128
教学参考
考情分析
考点
• 直线与圆锥
• 曲线位置
• 关系
考查方向
位置关系及弦长,中点
弦问题
考例
考查热度
• 全国卷Ⅲ20,
• 全国卷Ⅱ20,
• 全国卷Ⅱ20,
★★★
• 全国卷Ⅱ20
3/128
教学参考
• 全国卷Ⅱ20,
• 全国卷Ⅰ20,
• 最值、范围、
率的和为-1,证明:l 过定点.
经过 P3,P4 两点.
1
1
1
3
又由 2 + 2 > 2 +4 2 知,C 不经过点 P1,所以点 P2 在 C
上.
1
= 1,
2 = 4,
因此 1
解得 2
3

=
1.
+
=
1,
2
4 2
2
2
故 C 的方程为 4 +y =1.
2
10/128
教学参考
(2)证明:设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1,k2.
率的和为-1,证明:l 过定点.
由题设可知 Δ=16(4k -m +1)>0.
2
2
2
2
2
2
11/128
教学参考
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-
3.[2017·全国卷Ⅰ] 已知椭圆
2
2


4 2 +1
而
C: 2 + 2 =1(a>b>0),四点
P1(1,1),P2(0,1),P3 -1,
• 证实问题
• 全国卷Ⅲ20,
• 最值、范围、证实问题
• 全国卷Ⅱ20,
★★★
• 全国卷Ⅰ20,
• 全国卷Ⅰ5,
• 全国卷Ⅱ20
4/128
教学参考
定点、定值、 定点、定值、探索性
探索性问题 问题
• 全国卷Ⅰ20,
• 全国卷Ⅰ20,
• 全国卷Ⅰ20,
★★★
• 全国卷Ⅱ20
5/128
教学参考
真题再现
3
2
,P4 1,
3
2
中
恰有三点在椭圆 C 上.
(1)求 C 的方程;
(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于
A,B 两点,若直线 P2A 与直线 P2B 的斜
率的和为-1,证明:l 过定点.
8
,x1x2=
4 2 -4
4 2 +1
.
1 -1 2 -1
k1+k2= +
1
+1
2
.
+1
当且仅当 m>-1 时,Δ>0,于是 l:y= +1
y+1=-
2
2
x+m,即
(x-2),所以 l 过定点(2,-1).
12/128
教学参考
4.[2016·全国卷Ⅱ] 已知椭圆
2
2
E: + 3 =1 的焦点在 x 轴上,A
是 E 的左顶点,斜率为 k(k>0)
的直线交 E 于 A,M 两点,点 N
4
交于 M,N 两点.
(1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处
的切线方程.
(2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动
时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.
解:(1)由题设可得 M(2 ,a),N(-2 ,a)或
M(-2 ,a),N(2 ,a).

2
2
4
又 y'= ,故 y= 在 x=2 处的导数值为 ,所以曲线
C 在点(2 ,a)处的切线方程为 y-a= (x-2 ),即
x-y-a=0.
2
y= 在 x=-2 处的导数值为- ,所以曲线 C 在点
4
(-2 ,a)处的切线方程为 y-a=- (x+2 ),即
x+y+a=0.
故所求切线方程为 x-y-a=0 和 x+y+a=0.
16/128
(2)证明:由题意知 F(-1,0).设 Q(-3,t),P(m,n),则
=(-3,t), =(-1-m,-n),·
=3+3m-tn,=(m,
n),=(-3-m,t-n).
由·