10.1.3古典概型(第2课时)2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
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的结果. 将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用下表表示.
新知探究
第一次
1
2
3
4
5
1
×
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
2
(1,2)
×
(3,2)
(4,2)
(5,2)
第二次
3
(1,3)
(2,3)
×
(4,3)
(5,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
×
(5,4)
8 2
（1） =“第一次摸到红球”； (1) P( A)
况，由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有
15种情况，其中数字之积为4的倍数的有
6种情况，故概率为
练习巩固
19国2-4. 生物实验室有5只兔子, 其中只有 3只测量过某项
指标, 若从这 5只兔子中随机取出3只, 则恰有 2只测量过该
指标的概率为( B )
2
3
2
1
A.
B.
C.
（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.
(1)设第一次抽取的人记为1,第二次抽取的人记为2,
则可用数组（1, 2）表示样本点.
新知探究
例4:从两名男生(记为1和2)、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人.
有放回简单随机抽样的样本空间Ω1 是古典概型
Ω1 = ｛（1, 1）, （1, 2）, （1, 1）, （1, 2）, （2, 1）, （2, 2）,
（6,1）（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）
不记号，则不能区分抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如(1,2)和(2,1)的
结果将无法区别.
则(Ω1) = 21.
不记号时，试验的样本空间Ω1 = {(，)|, ∈ {1,2,3,4,5,6}, 且 ≤ }，
其中，事件 =“两个点数之和是5”的结果变为 = {(1,4), (2,3)}，这时
（2, 2）, （1, 1）, （1, 2）, （1, 2）, （2, 1）, （2, 2）,
（
2, 1）｝
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，其样
本空间： Ω3 是古典概型
Ω3 = ｛(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)｝.
2 1
因此 P A
12 6
按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以
= ∅，因此 () = 0.
新知探究
问题6:通过例4，对于不同的抽样方法有什么区别？
例4表明，同一个事件 =“抽到两名男生”发生的概率，在按性别等比例
分层抽样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样
1
是不放回有顺序模型样本空间样本点个数的一半( ).
2
课堂小结
1. 古典概型：
(1)有限性;
(2)等可能性.
k n A
2. 古典概型概率计算公式： P A
n n
其中，n(A) 和 n(Ω)分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
3. 求解古典概型问题的一般思路:
（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号表示试验的可能结果
（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）
表示试验的可能结果（借助图表[树状图/表格]以帮助我们不重不漏地列出所
有的可能结果）；
（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
（3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件的概率.
n( A)
P( A)
.
n ()
(2)这个数的四次方的个位数字为1．
练习巩固
3．从 52 张扑克牌(不含大小王)中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率：
(1)抽到的牌是7；(2)抽到的牌不是7；
(3)抽到的牌是方片；(4)抽到或或；
(5)抽到的牌既是红心又是草花；
(6)抽到的牌比6大比9小；(7)抽到的牌是红花色；
(8)抽到的牌是红花色或黑花色．
（2, 1）, （2, 2）, （1, 1）, （1, 2）, （1, 1）, （1, 2）, （2, 1）,
（2, 2）, （2, 1）, （2, 2）｝
不放回简单随机抽样的样本空间Ω2 是古典概型
Ω2 = ｛（1, 2）, （1, 1）, （1, 2）, （��2, 1）, （2, 1）,
其中恰好有两只测量过的有(1, 2, A), (1, 2, B ), (1, 3, A),
(1, 3, B ), (2, 3, A), (2, 3, B )共6种,
6 3
所以所求概率为
10 5
练习巩固
（17-国2）从分别写有1,2,3,4,5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后
再随机抽取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的
数的概率为（ D ）
1
1
3
2
A.
B.
C.
D.
10
5
10
5
点横坐标表示第一次去到的数 , 纵坐标表示是第二次取到
的数 , 则所有可能的情况有(1,1),(1,2),(1,3), ,(5,5)共 25种,
其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数共有:
(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)
新知探究
例3:袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球，
从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率:
（1） =“第一次摸到红球”；
（2） =“第二次摸到红球”；
（3）.
解：将两个红球编号为1、2，三个黄球编号为3、4、5. 第一次摸球时有5种
等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时有4种等可能
10.1.3 古典概型
复习导入
1.事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率. 事件的概率记
为: ()
2.古典概型
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个;
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
3.古典概型的概率计算公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间Ω包含个样本点，事件包含其
D.
3
5
5
5
记测量过的3只兔子为1, 2, 3, 未测量过的只兔子为A, B, 则3
只兔子的种类有(1, 2, 3), (1, 2, A), (1, 2, B), (1, 3, A), (1, 3, B),
(1, A, B )，(2, 3, A), (2, 3, B), (2, A, B), (3, A, B), 共10种.
20 5
8 2
（2） =“第二次摸到红球”；(2) P( B)
20 5
2
1
（3） =“两次都摸到红球”. (3) P( AB)
20 10
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
×
新知探究
变式3-1:袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从
中有放回地依次随机摸出2个球，求事件＝“两次都摸到红球”的概率．
6
（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）
（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）
（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6）
（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）（4,5）（4,6）
（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（5,6）
中的个样本点，则定义事件的概率：
k n( A)
P( A)
.
n n ( )
其中，()和()分别表示事件和样本空间包含的样本点个数.
新知探究
问题4:在上例中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，
会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?
m\n
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
10 2
共10种情况, 所以所求概率为 =
25 5
课堂小结
有放回模型 (例如：抛硬币、掷骰子、有放回地摸球，
样本空间中的样本点有顺序）
基本模型
有顺序:例如“不放回简单随机抽样”，
强调次序(依次)时有序
不放回模型
无顺序:数学模型与次序无关，或者题目中出
现例如“一次性摸取”“同时”等字眼
注：不放回无顺序模型样本空间的样本点个数
变式3-2:袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，
从中同时摸出2个球，求事件＝“两次都摸到红球”的概率．
新知探究
例4:从两名男生(记为1和2)、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人.
（1）分别写出有放回简单随机抽样，不放回简单随机抽样和按性别等比例分
层抽样的样本空间.
2
P ( A)
21
新知探究
问题5:同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢?
36个结果都是等可能的
合并为21个可能结果时，(1,1)和(1,2)发生的可能性大小不等，
这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率.
2
因此 P ( A)
是错误的。
21
新知探究
归纳小结 求解古典概型问题的一般思路:
练习巩固
1．判断下面的解答是否正确，并说明理由．
某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况，用表示命中
，用表示没有命中，那么试验的样本空间Ω＝{，，，}，因此事
件“两次射击都命中”的概率为0.25．
2．从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率：
(1)这个数平方的个位数字为1；
新知探究
（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.
（2）设事件 = “抽到两名男生”，则
对于有放回简单随机抽样， = ｛(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(2, 2)｝
4 1
因此 P A
16 4
对于不放回简单随机抽样， = ｛(1, 2), （2, 1）｝,
时最大.
因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同.
练习巩固
【2022年全国甲卷】从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽
取，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ C ）
A． 1 B． 1 C．2 D． 2
5
3
5
3
【答案】C【解析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情
（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
（3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.
新知探究
第一次
1
2
3
4
5
1
×
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
2
(1,2)
×
(3,2)
(4,2)
(5,2)
第二次
3
(1,3)
(2,3)
×
(4,3)
(5,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
×
(5,4)
8 2
（1） =“第一次摸到红球”； (1) P( A)
况，由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有
15种情况，其中数字之积为4的倍数的有
6种情况，故概率为
练习巩固
19国2-4. 生物实验室有5只兔子, 其中只有 3只测量过某项
指标, 若从这 5只兔子中随机取出3只, 则恰有 2只测量过该
指标的概率为( B )
2
3
2
1
A.
B.
C.
（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.
(1)设第一次抽取的人记为1,第二次抽取的人记为2,
则可用数组（1, 2）表示样本点.
新知探究
例4:从两名男生(记为1和2)、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人.
有放回简单随机抽样的样本空间Ω1 是古典概型
Ω1 = ｛（1, 1）, （1, 2）, （1, 1）, （1, 2）, （2, 1）, （2, 2）,
（6,1）（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）
不记号，则不能区分抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如(1,2)和(2,1)的
结果将无法区别.
则(Ω1) = 21.
不记号时，试验的样本空间Ω1 = {(，)|, ∈ {1,2,3,4,5,6}, 且 ≤ }，
其中，事件 =“两个点数之和是5”的结果变为 = {(1,4), (2,3)}，这时
（2, 2）, （1, 1）, （1, 2）, （1, 2）, （2, 1）, （2, 2）,
（
2, 1）｝
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，其样
本空间： Ω3 是古典概型
Ω3 = ｛(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)｝.
2 1
因此 P A
12 6
按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以
= ∅，因此 () = 0.
新知探究
问题6:通过例4，对于不同的抽样方法有什么区别？
例4表明，同一个事件 =“抽到两名男生”发生的概率，在按性别等比例
分层抽样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样
1
是不放回有顺序模型样本空间样本点个数的一半( ).
2
课堂小结
1. 古典概型：
(1)有限性;
(2)等可能性.
k n A
2. 古典概型概率计算公式： P A
n n
其中，n(A) 和 n(Ω)分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
3. 求解古典概型问题的一般思路:
（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号表示试验的可能结果
（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）
表示试验的可能结果（借助图表[树状图/表格]以帮助我们不重不漏地列出所
有的可能结果）；
（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
（3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件的概率.
n( A)
P( A)
.
n ()
(2)这个数的四次方的个位数字为1．
练习巩固
3．从 52 张扑克牌(不含大小王)中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率：
(1)抽到的牌是7；(2)抽到的牌不是7；
(3)抽到的牌是方片；(4)抽到或或；
(5)抽到的牌既是红心又是草花；
(6)抽到的牌比6大比9小；(7)抽到的牌是红花色；
(8)抽到的牌是红花色或黑花色．
（2, 1）, （2, 2）, （1, 1）, （1, 2）, （1, 1）, （1, 2）, （2, 1）,
（2, 2）, （2, 1）, （2, 2）｝
不放回简单随机抽样的样本空间Ω2 是古典概型
Ω2 = ｛（1, 2）, （1, 1）, （1, 2）, （��2, 1）, （2, 1）,
其中恰好有两只测量过的有(1, 2, A), (1, 2, B ), (1, 3, A),
(1, 3, B ), (2, 3, A), (2, 3, B )共6种,
6 3
所以所求概率为
10 5
练习巩固
（17-国2）从分别写有1,2,3,4,5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后
再随机抽取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的
数的概率为（ D ）
1
1
3
2
A.
B.
C.
D.
10
5
10
5
点横坐标表示第一次去到的数 , 纵坐标表示是第二次取到
的数 , 则所有可能的情况有(1,1),(1,2),(1,3), ,(5,5)共 25种,
其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数共有:
(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)
新知探究
例3:袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球，
从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率:
（1） =“第一次摸到红球”；
（2） =“第二次摸到红球”；
（3）.
解：将两个红球编号为1、2，三个黄球编号为3、4、5. 第一次摸球时有5种
等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时有4种等可能
10.1.3 古典概型
复习导入
1.事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率. 事件的概率记
为: ()
2.古典概型
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个;
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
3.古典概型的概率计算公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间Ω包含个样本点，事件包含其
D.
3
5
5
5
记测量过的3只兔子为1, 2, 3, 未测量过的只兔子为A, B, 则3
只兔子的种类有(1, 2, 3), (1, 2, A), (1, 2, B), (1, 3, A), (1, 3, B),
(1, A, B )，(2, 3, A), (2, 3, B), (2, A, B), (3, A, B), 共10种.
20 5
8 2
（2） =“第二次摸到红球”；(2) P( B)
20 5
2
1
（3） =“两次都摸到红球”. (3) P( AB)
20 10
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
×
新知探究
变式3-1:袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从
中有放回地依次随机摸出2个球，求事件＝“两次都摸到红球”的概率．
6
（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）
（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）
（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6）
（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）（4,5）（4,6）
（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（5,6）
中的个样本点，则定义事件的概率：
k n( A)
P( A)
.
n n ( )
其中，()和()分别表示事件和样本空间包含的样本点个数.
新知探究
问题4:在上例中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，
会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?
m\n
1
2
3
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6
1
2
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10 2
共10种情况, 所以所求概率为 =
25 5
课堂小结
有放回模型 (例如：抛硬币、掷骰子、有放回地摸球，
样本空间中的样本点有顺序）
基本模型
有顺序:例如“不放回简单随机抽样”，
强调次序(依次)时有序
不放回模型
无顺序:数学模型与次序无关，或者题目中出
现例如“一次性摸取”“同时”等字眼
注：不放回无顺序模型样本空间的样本点个数
变式3-2:袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，
从中同时摸出2个球，求事件＝“两次都摸到红球”的概率．
新知探究
例4:从两名男生(记为1和2)、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人.
（1）分别写出有放回简单随机抽样，不放回简单随机抽样和按性别等比例分
层抽样的样本空间.
2
P ( A)
21
新知探究
问题5:同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢?
36个结果都是等可能的
合并为21个可能结果时，(1,1)和(1,2)发生的可能性大小不等，
这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率.
2
因此 P ( A)
是错误的。
21
新知探究
归纳小结 求解古典概型问题的一般思路:
练习巩固
1．判断下面的解答是否正确，并说明理由．
某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况，用表示命中
，用表示没有命中，那么试验的样本空间Ω＝{，，，}，因此事
件“两次射击都命中”的概率为0.25．
2．从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率：
(1)这个数平方的个位数字为1；
新知探究
（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.
（2）设事件 = “抽到两名男生”，则
对于有放回简单随机抽样， = ｛(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(2, 2)｝
4 1
因此 P A
16 4
对于不放回简单随机抽样， = ｛(1, 2), （2, 1）｝,
时最大.
因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同.
练习巩固
【2022年全国甲卷】从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽
取，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ C ）
A． 1 B． 1 C．2 D． 2
5
3
5
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【答案】C【解析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情
（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
（3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.