三角形-矩形的折叠问题解析-三角形的内接矩形问题
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2010年江苏宿迁如图正方形纸片abcd的边长为8将其沿ef折叠则图中四个三角形的周长之和为2010年江苏扬州如图在rtabc中c90ac8bc6按图中所示方法将bcd沿bd折叠使点c落在边ab上的点c处则折痕bd2010年江苏盐城小明尝试着将矩形纸片abcd如图adcd沿过a点的直线折叠使得b点落在ad边上的点f处折痕为ae如图
好在∠NDG 的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值为．
的周长保持不变．
4. 〔2021 年江苏徐州〕如图①，将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以 PDF 格式阅读原
沿 EF 折叠〔点 E，F 分别在边 AB，CD 上〕，使点 B 落在 AD 边上的点 M 处， 文
∵△A′CD≌△ACD，
∴ ∠1＋180°－∠2－∠A′＋180°－∠A＝360°，
∴ ∠A＝∠A′＝∠ACD＝∠A′CD.
而∠A＝∠A′ ， ∴∠1－∠2＝2∠A．
∵ CA′⊥AB，
证法二：连结 AA′.
∴∠A＋∠ACD＋∠A′CD＝90° ，
∵ ∠1＝∠DAA′＋∠AA′D，∠2＝∠EAA′＋∠AA′E，
函数关系．
说明由于 A′的位置不同，重叠部分的情形也不同，因此必需分类加
解〔1〕 ∵ △ADE≌△A′DE ，
以商量.
∴ AG＝A′G，S△A′DE＝S△ADE＝y.
问题 5 如图 6，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 A 落在点 A′处，
∵ DE//BC， ∴△ADE∽△ABC，
点 B 落在点 B′处．若∠A′ED＝40°，则∠BFE＝°．
问题 1 如图 1，将△ABC 沿直线 DE 折叠，得△A′DE． 求证：〔1〕 ∠1＋∠2＝∠B＋∠C； 〔2〕 ∠3＋∠4＝2∠A； 〔3〕 当∠3＝∠4 时，四边形 ADA′E 是平行四边形； 〔4〕 当 AA′平分∠BAC 时，四边形 ADA′E 是菱形． 证明：〔1〕 ∵△ADE≌△A′DE ， ∴∠A＝∠A′. ∵ ∠1＋∠2＋∠A′＝∠B＋∠C＋∠A＝180°，
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三角形\矩形的折叠问题解析|三角形的内接矩形问题
∴ ∠1＋∠2＝∠B＋∠C． 〔2〕 方法一：
图形的折叠实质上是全等变换，折叠后的图形与原图形是全等的，解 决这类问题时要抓住因折叠而形成的等线段、等角，这些相等关系是解决 问题的关键．这类问题常涉及到平行线、三角形、四边形等基础学问，如 全等三角形、等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，勾股定理 等，并且常与相像形、二次函数、三角函数、面积等学问沟通起来组合成 综合题.解题中要擅长发觉图形的特点，找出相等的关系，通过推理或列 方程来求解.下面就常见的三角形和矩形中的折叠问题举例加以说明.
②〕；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在 DA 边上的点 N 处，E 点落 ＝90°，∠AME＋∠PMD＝90°， ∴∠AEM＝∠PMD．又∵∠A＝∠D＝90°，
在 AE 边上的点 M 处，折痕为 DG〔如图③〕．假如第二次折叠后，M 点正 ∴△AEM∽△DMP． ∴=，即=， ∴ C△DMP=×〔４＋x〕=8cm．故△PDM
边上的中线 CD 折叠后，点 A 落在点 A′处，若 CA′⊥AB 于 E 点，求 tanA
求证：∠1－∠2＝2∠A．
的值．
证法一： ∵ ∠1＋∠3＋∠B＋∠C＝360°，
解∵ CD 是 Rt△ABC 的斜边中线，∴AD＝CD，
∠B＋∠C＝180°－∠A，
∴ ∠A＝∠ACD.
∠3＝180°－∠2－∠A′ ，
在 Rt△A′DE 中，A′E2＋A′D2＝DE2，
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则 x2＋42＝〔8－x〕2
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△CEF 是四个全等的直角三角形，重叠部分△ACE 的面积等于△CDE 面积
解得 x＝3．即 AE＝3．
的 2 倍．若连结 DB′，则四边形 AB′DC 是等腰梯形．
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〔1〕 设 DE＝x，S△A′DE＝y，写出 y 与 x 之间的函数关系；
＝2x－8，
〔2〕 设△A′DE 与△ABC 重叠部分的面积为 p，写出 p 与 x 之间的
∴ p＝〔MN＋DE〕GF＝〔2x－8＋x〕〔6－x〕＝－x2＋12x－24．
说明此题运用方程思想来解决几何问题．在此图形中，四边形 ABFE
问题 8 如图 9，矩形纸片 ABCD 中，AB＝5，AD＝4，将纸片折叠，使
沿 EF 折叠得到四边形 A′DFE，所得到的五边形 A′EFCD 是以 BD 为对称 点 B 落在边 CD 上的 B′处，折痕为 AE．在折痕 AE 上存在一点 P 到边 CD
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∴ 四边形 ADA′E 是平行四边形.又 DA=DA′，
样．
∴四边形 ADA′E 是菱形.
问题 3 如图 3，在 Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，将△ABC 沿 AB
问题 2 如图 2，沿 DE 折叠△ABC 得△A′DE．
∴ α＝70°，即∠BFE＝70°．
∴ p＝y＝x2.
说明此题还可以运用平行线的性质先证得∠A′ED＝∠B′FC，再求得
② 当 4＜x≤8 时，
∠BFE＝70°．
如图 5，△A′DE 与△ABC 重叠部分是梯形 DENM，A′F＝A′G－GF＝
问题 6 如图 7，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，
折叠得∠EMP＝∠B＝９０°，又 G 为 EP 的中点， ∴ MG=EP. 故 EP＝AE
3.〔2021 年江苏盐城〕小明尝试着将矩形纸片 ABCD〔如图①，AD>CD〕 ＋DP． 〔2〕△PDM 的周长保持不变．证明：如图，设 AM＝xcm，Rt△EAM
沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处，折痕为 AE〔如图 中，由 AE2＋x2＝〔4－AE〕2，可得：ＡＥ＝２－x2． ∵∠AME＋∠AEM
＝×2×2－×2×＝．
在 Rt△CEB′中，x2=〔4-x〕2+22，
说明此题中，若过 E 点作 FE⊥AC 于 F 点，则△AB′E、△CDE、△AEF、
解得 x=．即 BE=. ∴此相等距离为.
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练习
② 求证：EP＝AE＋DP；
AG－〔AF－AG〕＝2AG－AF＝x－6，GF＝6－x．
若点 B 与点 D 重合，AB＝4，BC＝8，求 AE 的长．
∵ △A′MN∽△A′DE，而△ADE≌△A′DE，
解设 AE＝A′E＝x，则 DE＝8－x，
∴ △A′MN∽△ADE. ∴ A′F∶MN＝AG∶DE＝6∶8，∴ MN＝〔x－6〕
答案 1． 322． 33．4． 〔1〕 ① 6． ② 〔图略〕取 EP 中点 G，
BC＝6，按图中所示方法将△BCD 沿 BD 折叠，使点 C 落在边 AB 上的点 C′ 连接 MG．梯形 AEPD 中，∵ M，G 分别是 AD，EP 的中点，∴ MG〔= AE+DP〕．由
处，则折痕 BD 的长为．
即 3∠A=90°， ∴∠A＝30°.
∴ ∠1－∠2＝∠DAA′＋∠AA′D－∠EAA′－∠AA′E＝∠DAE＋∠
∴ tanA＝.
DA′E .，直角三角
∵ ∠DAE＝∠DA′E， ∴∠1－∠2＝2∠DAE．
形斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形。
点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P， 连接 EP．
〔1〕 如图②，若 M 为 AD 边的中点，
① △AEM 的周长＝cm；
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解在 Rt△ABC 中，∵AB＝2，BC＝2，
又 EP 公用，∴△PB′E≌△PBE，
∴ tan∠ACB＝，
∴ PB′=PB. ∴点 P 即是符合要求的点.
∴∠ACB＝30°.
∵ B′P//CB， ∴∠B′PE=∠BEP=∠B′EP，
∵ △ABC≌△AB′C，
∴ B′E=B′P， ∴ BE=B′E=B′P=PB.
∴ ∠ACB′＝∠ACB＝30°. ∴∠ECD＝30°.
∴四边形 B′EBP 是菱形.
在 Rt△CDE 中，DE＝CDtan∠ECD＝2×＝．
∵ AD＝4，AB′=AB=5，∴DB′=3，CB′=2.
∴ S△ACE＝S△ACD－S△CDE＝×AD×CD－×CD×DE
设 BE=x，则 EB′=x， CE=4-x.
说明这道题由问题 1〔2〕改变而来，问题 1〔2〕题中，翻折后点 A′
问题 4 如图 4，△ABC 沿直线 DE 折叠，若 DE//BC，使点 A 的对应点 A′
在△ABC 的内部，而这道题点 A′在△ABC 的外部，因此证题思路完全一 落在 BC 边上的高 AF 上，已知 BC＝8，AF＝6．
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∴ AG∶DE＝AF∶BC＝6∶8，∴ AG＝x，
解由折叠知∠BFE＝∠B′FE，又∵ A′E//B′F，
∴ y＝DEAG＝x2.
∴ ∠A′ED＋∠DEF＋∠B′FE＝180°．
〔2〕 ①当 0＜x≤4 时，
若设∠BFE＝α，则 40°+α+α＝180°．
△A′DE 与△ABC 重叠部分就是△A′DE，
1. 〔2021 年江苏宿迁〕如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8，将其沿
〔2〕 随着落点 M 在 AD 边上取遍全部的位置〔点 M 不与 A，D 重合〕，
EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为 ．
△PDM 的周长是否发生改变？请说明理由．
2. 〔2021 年江苏扬州〕如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，
轴的轴对称图形，其中△DEF 是等腰三角形，△A′DE≌△CDF．
的距离与到点 B 的距离相等，则此相等距离为．
问题 7 如图 8，将矩形 ABCD 沿直线 AC 折叠，AB＝2，BC＝2，求重叠
解过 B′作 B′P⊥CD 交 AE 于 P.连接 BP.
部分△ACE 的面积．
由翻折知，EB′=EB，∠B′EP=∠BEP，
∵ ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠B＋∠C＝360°，∠1＋∠2＝∠B＋∠C， ∴ ∠3＋∠4＝360°－2〔∠B＋∠C〕. ∵ ∠B＋∠C＝180°－∠A， ∴ ∠3＋∠4＝2∠A． 方法二：连结 AA′， ∵ ∠3＝∠DAA′＋∠AA′D，∠4＝∠EAA′＋∠AA′E， ∴ ∠3＋∠4＝∠DAA′＋∠AA′D＋∠EAA′＋∠AA′E＝∠DAE＋∠ DA′E＝2∠DAE． 〔3〕 ∵∠3＋∠4＝2∠A，∠3＝∠4， ∴ ∠3＝∠A. ∴ AE//A′D. 同理：AD//A′E. ∴四边形 ADA′E 是平行四边形． 〔4〕 ∵AA′平分∠BAC， ∴ ∠DAA′＝∠EAA′. ∵ DA＝DA′， ∴ ∠DA′A＝∠DAA′， ∴ ∠DA′A＝∠EAA′， ∴ DA′//AE.同理 AD//EA′.
好在∠NDG 的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值为．
的周长保持不变．
4. 〔2021 年江苏徐州〕如图①，将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以 PDF 格式阅读原
沿 EF 折叠〔点 E，F 分别在边 AB，CD 上〕，使点 B 落在 AD 边上的点 M 处， 文
∵△A′CD≌△ACD，
∴ ∠1＋180°－∠2－∠A′＋180°－∠A＝360°，
∴ ∠A＝∠A′＝∠ACD＝∠A′CD.
而∠A＝∠A′ ， ∴∠1－∠2＝2∠A．
∵ CA′⊥AB，
证法二：连结 AA′.
∴∠A＋∠ACD＋∠A′CD＝90° ，
∵ ∠1＝∠DAA′＋∠AA′D，∠2＝∠EAA′＋∠AA′E，
函数关系．
说明由于 A′的位置不同，重叠部分的情形也不同，因此必需分类加
解〔1〕 ∵ △ADE≌△A′DE ，
以商量.
∴ AG＝A′G，S△A′DE＝S△ADE＝y.
问题 5 如图 6，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 A 落在点 A′处，
∵ DE//BC， ∴△ADE∽△ABC，
点 B 落在点 B′处．若∠A′ED＝40°，则∠BFE＝°．
问题 1 如图 1，将△ABC 沿直线 DE 折叠，得△A′DE． 求证：〔1〕 ∠1＋∠2＝∠B＋∠C； 〔2〕 ∠3＋∠4＝2∠A； 〔3〕 当∠3＝∠4 时，四边形 ADA′E 是平行四边形； 〔4〕 当 AA′平分∠BAC 时，四边形 ADA′E 是菱形． 证明：〔1〕 ∵△ADE≌△A′DE ， ∴∠A＝∠A′. ∵ ∠1＋∠2＋∠A′＝∠B＋∠C＋∠A＝180°，
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三角形\矩形的折叠问题解析|三角形的内接矩形问题
∴ ∠1＋∠2＝∠B＋∠C． 〔2〕 方法一：
图形的折叠实质上是全等变换，折叠后的图形与原图形是全等的，解 决这类问题时要抓住因折叠而形成的等线段、等角，这些相等关系是解决 问题的关键．这类问题常涉及到平行线、三角形、四边形等基础学问，如 全等三角形、等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，勾股定理 等，并且常与相像形、二次函数、三角函数、面积等学问沟通起来组合成 综合题.解题中要擅长发觉图形的特点，找出相等的关系，通过推理或列 方程来求解.下面就常见的三角形和矩形中的折叠问题举例加以说明.
②〕；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在 DA 边上的点 N 处，E 点落 ＝90°，∠AME＋∠PMD＝90°， ∴∠AEM＝∠PMD．又∵∠A＝∠D＝90°，
在 AE 边上的点 M 处，折痕为 DG〔如图③〕．假如第二次折叠后，M 点正 ∴△AEM∽△DMP． ∴=，即=， ∴ C△DMP=×〔４＋x〕=8cm．故△PDM
边上的中线 CD 折叠后，点 A 落在点 A′处，若 CA′⊥AB 于 E 点，求 tanA
求证：∠1－∠2＝2∠A．
的值．
证法一： ∵ ∠1＋∠3＋∠B＋∠C＝360°，
解∵ CD 是 Rt△ABC 的斜边中线，∴AD＝CD，
∠B＋∠C＝180°－∠A，
∴ ∠A＝∠ACD.
∠3＝180°－∠2－∠A′ ，
在 Rt△A′DE 中，A′E2＋A′D2＝DE2，
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则 x2＋42＝〔8－x〕2
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△CEF 是四个全等的直角三角形，重叠部分△ACE 的面积等于△CDE 面积
解得 x＝3．即 AE＝3．
的 2 倍．若连结 DB′，则四边形 AB′DC 是等腰梯形．
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〔1〕 设 DE＝x，S△A′DE＝y，写出 y 与 x 之间的函数关系；
＝2x－8，
〔2〕 设△A′DE 与△ABC 重叠部分的面积为 p，写出 p 与 x 之间的
∴ p＝〔MN＋DE〕GF＝〔2x－8＋x〕〔6－x〕＝－x2＋12x－24．
说明此题运用方程思想来解决几何问题．在此图形中，四边形 ABFE
问题 8 如图 9，矩形纸片 ABCD 中，AB＝5，AD＝4，将纸片折叠，使
沿 EF 折叠得到四边形 A′DFE，所得到的五边形 A′EFCD 是以 BD 为对称 点 B 落在边 CD 上的 B′处，折痕为 AE．在折痕 AE 上存在一点 P 到边 CD
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∴ 四边形 ADA′E 是平行四边形.又 DA=DA′，
样．
∴四边形 ADA′E 是菱形.
问题 3 如图 3，在 Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，将△ABC 沿 AB
问题 2 如图 2，沿 DE 折叠△ABC 得△A′DE．
∴ α＝70°，即∠BFE＝70°．
∴ p＝y＝x2.
说明此题还可以运用平行线的性质先证得∠A′ED＝∠B′FC，再求得
② 当 4＜x≤8 时，
∠BFE＝70°．
如图 5，△A′DE 与△ABC 重叠部分是梯形 DENM，A′F＝A′G－GF＝
问题 6 如图 7，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，
折叠得∠EMP＝∠B＝９０°，又 G 为 EP 的中点， ∴ MG=EP. 故 EP＝AE
3.〔2021 年江苏盐城〕小明尝试着将矩形纸片 ABCD〔如图①，AD>CD〕 ＋DP． 〔2〕△PDM 的周长保持不变．证明：如图，设 AM＝xcm，Rt△EAM
沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处，折痕为 AE〔如图 中，由 AE2＋x2＝〔4－AE〕2，可得：ＡＥ＝２－x2． ∵∠AME＋∠AEM
＝×2×2－×2×＝．
在 Rt△CEB′中，x2=〔4-x〕2+22，
说明此题中，若过 E 点作 FE⊥AC 于 F 点，则△AB′E、△CDE、△AEF、
解得 x=．即 BE=. ∴此相等距离为.
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练习
② 求证：EP＝AE＋DP；
AG－〔AF－AG〕＝2AG－AF＝x－6，GF＝6－x．
若点 B 与点 D 重合，AB＝4，BC＝8，求 AE 的长．
∵ △A′MN∽△A′DE，而△ADE≌△A′DE，
解设 AE＝A′E＝x，则 DE＝8－x，
∴ △A′MN∽△ADE. ∴ A′F∶MN＝AG∶DE＝6∶8，∴ MN＝〔x－6〕
答案 1． 322． 33．4． 〔1〕 ① 6． ② 〔图略〕取 EP 中点 G，
BC＝6，按图中所示方法将△BCD 沿 BD 折叠，使点 C 落在边 AB 上的点 C′ 连接 MG．梯形 AEPD 中，∵ M，G 分别是 AD，EP 的中点，∴ MG〔= AE+DP〕．由
处，则折痕 BD 的长为．
即 3∠A=90°， ∴∠A＝30°.
∴ ∠1－∠2＝∠DAA′＋∠AA′D－∠EAA′－∠AA′E＝∠DAE＋∠
∴ tanA＝.
DA′E .，直角三角
∵ ∠DAE＝∠DA′E， ∴∠1－∠2＝2∠DAE．
形斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形。
点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P， 连接 EP．
〔1〕 如图②，若 M 为 AD 边的中点，
① △AEM 的周长＝cm；
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解在 Rt△ABC 中，∵AB＝2，BC＝2，
又 EP 公用，∴△PB′E≌△PBE，
∴ tan∠ACB＝，
∴ PB′=PB. ∴点 P 即是符合要求的点.
∴∠ACB＝30°.
∵ B′P//CB， ∴∠B′PE=∠BEP=∠B′EP，
∵ △ABC≌△AB′C，
∴ B′E=B′P， ∴ BE=B′E=B′P=PB.
∴ ∠ACB′＝∠ACB＝30°. ∴∠ECD＝30°.
∴四边形 B′EBP 是菱形.
在 Rt△CDE 中，DE＝CDtan∠ECD＝2×＝．
∵ AD＝4，AB′=AB=5，∴DB′=3，CB′=2.
∴ S△ACE＝S△ACD－S△CDE＝×AD×CD－×CD×DE
设 BE=x，则 EB′=x， CE=4-x.
说明这道题由问题 1〔2〕改变而来，问题 1〔2〕题中，翻折后点 A′
问题 4 如图 4，△ABC 沿直线 DE 折叠，若 DE//BC，使点 A 的对应点 A′
在△ABC 的内部，而这道题点 A′在△ABC 的外部，因此证题思路完全一 落在 BC 边上的高 AF 上，已知 BC＝8，AF＝6．
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∴ AG∶DE＝AF∶BC＝6∶8，∴ AG＝x，
解由折叠知∠BFE＝∠B′FE，又∵ A′E//B′F，
∴ y＝DEAG＝x2.
∴ ∠A′ED＋∠DEF＋∠B′FE＝180°．
〔2〕 ①当 0＜x≤4 时，
若设∠BFE＝α，则 40°+α+α＝180°．
△A′DE 与△ABC 重叠部分就是△A′DE，
1. 〔2021 年江苏宿迁〕如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8，将其沿
〔2〕 随着落点 M 在 AD 边上取遍全部的位置〔点 M 不与 A，D 重合〕，
EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为 ．
△PDM 的周长是否发生改变？请说明理由．
2. 〔2021 年江苏扬州〕如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，
轴的轴对称图形，其中△DEF 是等腰三角形，△A′DE≌△CDF．
的距离与到点 B 的距离相等，则此相等距离为．
问题 7 如图 8，将矩形 ABCD 沿直线 AC 折叠，AB＝2，BC＝2，求重叠
解过 B′作 B′P⊥CD 交 AE 于 P.连接 BP.
部分△ACE 的面积．
由翻折知，EB′=EB，∠B′EP=∠BEP，
∵ ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠B＋∠C＝360°，∠1＋∠2＝∠B＋∠C， ∴ ∠3＋∠4＝360°－2〔∠B＋∠C〕. ∵ ∠B＋∠C＝180°－∠A， ∴ ∠3＋∠4＝2∠A． 方法二：连结 AA′， ∵ ∠3＝∠DAA′＋∠AA′D，∠4＝∠EAA′＋∠AA′E， ∴ ∠3＋∠4＝∠DAA′＋∠AA′D＋∠EAA′＋∠AA′E＝∠DAE＋∠ DA′E＝2∠DAE． 〔3〕 ∵∠3＋∠4＝2∠A，∠3＝∠4， ∴ ∠3＝∠A. ∴ AE//A′D. 同理：AD//A′E. ∴四边形 ADA′E 是平行四边形． 〔4〕 ∵AA′平分∠BAC， ∴ ∠DAA′＝∠EAA′. ∵ DA＝DA′， ∴ ∠DA′A＝∠DAA′， ∴ ∠DA′A＝∠EAA′， ∴ DA′//AE.同理 AD//EA′.