高中数学新教材必修一第一章导学案

集合与常用逻辑用语
第1课时集合的含义
学习目标核心素养
1.通过实例了解集合的含义．(难点)
2．掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)1.通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养．
2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养.
自主预习
1．元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？
提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．
(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．
2．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.
3．常见的数集及表示符号
数集非负整数集(自然数集) 正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N
＋Z Q R
1．下列给出的对象中，能构成集合的是( )
A ．一切很大的数
B ．好心人
C ．漂亮的小女孩
D ．清华大学2019年入学的全体学生
2．用“book ”中的字母构成的集合中元素个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．用“∈”或“∉”填空： 21_______N ；－3________Z ；________Q ；0________N *；________R . 4．已知集合M 有两个元素3和a ＋1，且4∈M ，则实数a ＝________.
集合的基本概念
【例1】 考察下列每组对象，能构成集合的是( )
①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数； ④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．
A ．③④
B ．②③④
C ．②③
D ．②④
判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；
(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；
(3)方程(x －1)2(x ＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．
元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R ；②∉Q ；③0∈N *；④|－5|∉N *.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(2)已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，那么a 为( )
A ．2
B ．2或4
C ．4
D ．0
判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.
2．集合A 中的元素x 满足x -36∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． 集合中元素的特性及应用
[探究问题]
1．若集合A 中含有两个元素a ，b ，则a ，b 满足什么关系？
2．若1∈A ，则元素1与集合A 中的元素a ，b 存在怎样的关系？
【例3】 已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a ∈A ，求实数a 的值．
1．(变条件)本例若去掉条件“a ∈A ”，其他条件不变，求实数a 的取值范围．
2．(变条件)已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值．
1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．
2．本题在解方程求得a 的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．
提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．
1．判断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合．
2．集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．
3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．
1．思考辨析
(1)接近于0的数可以组成集合．()
(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．()
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．()
2．已知集合A由x<1的数构成，则有()
A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A
3．下列各组对象不能构成一个集合的是()
A．不超过20的非负实数B．方程x2－9＝0在实数范围内的解
C.的近似值的全体D．某校身高超过170厘米的同学的全体
4．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
第2课时集合的表示
学习目标核心素养
1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点)
2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)1.通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养．
2．借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算的素养.
自主预习
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．思考：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？
提示：(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.(2){x|x<5，x∈R}．
1．方程x2＝4的解集用列举法表示为()
A．{(－2,2)} B．{－2,2} C．{－2} D．{2}
2．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是()
A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1} C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1} 3．用描述法表示不等式4x－5<7的解集为________．
用列举法表示集合
【例1】用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来.
提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{(2，3)，(5，－1)}.
1．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素组成的集合A ；
(2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解组成的集合M ；
(3)方程组x －y ＝12x ＋y ＝8，
的解组成的集合B ；
(4)15的正约数组成的集合N .
用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)比1大又比10小的实数组成的集合；
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．
描述法表示集合的2个步骤
2.用描述法表示下列集合：
(1)函数y ＝－2x 2＋x 图象上的所有点组成的集合；
(2)不等式2x －3<5的解组成的集合；
(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．
集合表示方法的综合应用
[探究问题]
下面三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们各自的含义是什么？(2)它们是不是相同的集合？
【例3】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
1．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．
2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．
1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．
1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法．
2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么.
1．思考辨析
(1){1}＝1.() (2){(1,2)}＝{x＝1，y＝2}．()
(3){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}．() (4){x|x2＝1}＝{－1,1}．()
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是()
A．{x|－3<x<11，x∈Z} B．{x|－3<x<11}
C．{x|－3<x<11，x＝2k} D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}
3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是()
A．{1，－2}B．{x＝1，y＝－2} C．{(－2,1)} D．{(1，－2)} 4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，试用列举法表示集合A .
1.2集合间的基本关系
学习目标核心素养
1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点) 2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)
3．在具体情境中，了解空集的含义．(难点)1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．
2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养.
自主预习
1．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．
2．子集、真子集、集合相等的相关概念
思考1：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？
(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？
提示：(1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；
而“⊆”表示集合与集合之间的关系．
3．空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
(2)规定：空集是任何集合的子集．
思考2：{0}与∅相同吗？
提示：不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.
4．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；
②若A B，B C，则A C.
(3)若A⊆B，A≠B，则A B.
1．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是()
A．N∈M B．N∉M C．N⊇M D．N⊆M
2．下列四个集合中，是空集的为()
A．{0} B．{x|x>8，且x<5} C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}
3．集合{0,1}的子集有________个．
4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C.
集合间关系的判断
【例1】判断下列各组中集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x 是正方形}；
(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}．
判断集合关系的方法.
(1)观察法：一一列举观察.
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.
提醒：若A⊆B和A B同时成立，则A B更能准确表达集合A，B之间的关系.
1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()
子集、真子集的个数问题
【例2】已知集合M满足：{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．
1．求集合子集、真子集个数的3个步骤
2．与子集、真子集个数有关的4个结论
假设集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集的个数有2n个．
(2)A的非空子集的个数有2n－1个．
(3)A的真子集的个数有2n－1个．
(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．
由集合间的关系求参数
[探究问题]
集合A＝{x|1<x<b}中一定含有元素吗？当A中含有元素时，试用数轴表示其所包含的元素．
【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．
1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围．
2．若本例条件“B A”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围．
1．利用集合的关系求参数问题
(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．
(2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．2．数学素养的建立
通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题．
1．A⊆B隐含着A＝B和A B两种关系．
2．求集合的子集时，可按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；
②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
1．思考辨析
(1)空集中只有元素0，而无其余元素．() (2)任何一个集合都有子集．()
(3)若A＝B，则A⊆B或B⊆A.() (4)空集是任何集合的真子集．()
2．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是()
A．16B．8 C．7 D．4
3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.
4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A B，求a的取值范围；
(2)若B⊆A，求a的取值范围．
1.3集合的基本运算
第1课时并集与交集
学习目标核心素养
1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(重点、难点)
2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会图1.借助Venn图培养直观想象素养．
2．通过集合并集、交集的运
示对理解抽象概念的作用．(难点)算提升数学运算素养.
自主预习
1．并集
思考：(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？
(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？
提示：(1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x ∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示．
(2)不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．
2．交集
3．并集与交集的运算性质
并集的运算性质交集的运算性质
A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A
A∪A＝A A∩A＝A
A∪∅＝A A∩∅＝∅
1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝________，M∩N＝________.
2．若集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝________.
3．满足{1}∪B＝{1,2}的集合B可能等于________．
并集概念及其应用
【例1】(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()
A．{0}B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}
(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝()
A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5}
C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}
求集合并集的两种基本方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.
1．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5} ，则A∪B＝________.
交集概念及其应用
【例2】(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于() A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()
A．5B．4 C．3D．2
1．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为：
(1)定义法，(2)数形结合法．
2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝() A．{0,2}B．{1,2} C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}
3．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()
A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1
[探究问题]
1．设A，B是两个集合，若A∩B＝A，A∪B＝B，则集合A与B具有什么关系？
2．若A∩B＝A∪B，则集合A，B间存在怎样的关系？
【例3】已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．
1．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．
2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值．
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分．特
别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B ＝∅.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．
1．思考辨析
(1)集合A∪B中的元素个数就是集合A和集合B中的所有元素的个数和．()
(2)当集合A与集合B没有公共元素时，集合A与集合B就没有交集. ()
(3)若A∪B＝A∪C，则B＝C.() (4)A∩B⊆A∪B.()
2．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()
A．{0,1}B．{0} C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3} 3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B＝() A．{1} B．{2} C．{－1,2} D．{1,2,3}
4．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C .
第2课时补集
学习目标核心素养
1.了解全集的含义及其符号表示．(易混点) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)
3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)1.通过补集的运算培养数学运算素养．
2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学
抽象素养.
自主预习
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
思考：全集一定是实数集R吗？
提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
2．补集
文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A
符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}
图形语言
1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U A＝{2}，则A＝()
A．{0}B．{1} C．∅D．{0,1}
2．设全集为U，M＝{0,2,4}，∁U M＝{6}，则U等于()
A．{0,2,4,6} B．{0,2,4} C．{6} D．∅
3．若集合A＝{x|x>1}，则∁R A＝________.
补集的运算
【例1】(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________；
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________.
求集合的补集的方法
(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.
(2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集.
(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.
1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，则∁A B等于()
A．{2,4}B．{0,1,3,5} C．{1,3,5,6} D．{x∈N*|x≤6}
(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁U A＝______.
集合交、并、补集的综合运算
【例2】设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R B，∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.
解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.
2．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.
与补集有关的参数值的求解
[探究问题]
1．若A，B是全集U的子集，且(∁U A)∩B＝∅，则集合A，B存在怎样的关
系？
2．若A，B是全集U的子集，且(∁U A)∪B＝U，则集合A，B存在怎样的关系？
【例3】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．
1．(变条件)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U A)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
2．(变条件)将本例中条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U B)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
由集合的补集求解参数的方法
(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解.
(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.
1．求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的．
2．补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.
1．思考辨析
(1)全集一定含有任何元素．() (2)集合∁R A＝∁Q A.()
(3)一个集合的补集一定含有元素．()
2．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()
A．{1,2,4}B．{2,3,4} C．{0,2,3,4} D．{0,2,4}
3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()
A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4} C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
4．已知全集U＝{2,0,3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，∁U P＝{－1}，求实数a的值．
1.4充分条件与必要条件
1.4.1充分条件与必要条件1.4.2 充要条件
学习目标核心素养
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充
要条件的意义．(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.
自主预习
1．充分条件与必要条件
命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q
条件关系p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
同？
(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；
④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
提示：(1)相同，都是p⇒q.(2)等价．
2．充要条件
(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q 的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．下列语句是命题的是()
A．梯形是四边形B．作直线AB C．x是整数D．今天会下雪吗2．“同位角相等”是“两直线平行”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件
3．使x>3成立的一个充分条件是()
A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2
4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
充分条件、必要条件的判断
【例1】指出下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．
(3)p：a＞b，q：ac＞bc.
定义法判断充分条件、必要条件
(1)确定谁是条件，谁是结论
(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件
(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
充分条件、必要条件、充要条件的应用
[探究问题]
1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？
2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？
【例2】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
2．若本例题改为：已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x ∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
(1)化简p，q两命题；
(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系；
(3)利用集合间的关系建立不等式；
(4)求解参数范围.
充要条件的探求与证明
【例3】试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c ＝0.
充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．
1．思考辨析
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()
(2)q不是p的必要条件时，“p q”成立．()
(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．()
2．“x>0”是“x≠0”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．4．已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p 是q的充分条件，求实数a的取值范围．
1.5全称量词与存在量词
1.5.1全称量词与存在量词
1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定
学习目标核心素养
1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词
与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义.
2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．(重点、难点)
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点) 1.通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养.
2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养.
自主预习
1．全称量词与全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．
2．存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．
思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．
3．含有一个量词的命题的否定﹁
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；
存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
1．下列命题中全称量词命题的个数是()
①任意一个自然数都是正整数；②有的菱形是正方形；
③三角形的内角和是180°.
A．0B．1C．2D．3
2．下列全称量词命题为真命题的是()
A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5
3．下列命题中的假命题是()
A．∀x∈R，|x|≥0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，x＋2019<1 D．∃x∈R,2x＞2
4．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则其否定是()。