2013-2014学年高一数学上学期期末调研测试试题(含解析)及答案(新人教A版第51套).doc

江苏省扬州市 2013-2014 学年高一数学上学期期末调研测试试题（含
解析）新人教 A 版
一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 . 请把答案填写在答题卡相印位置
上.）
1. 已知全集U1,2,3,4,5,6 , A 3,4,5 ，则 C U A.
4. 平面直角坐标系xOy中，60 角的终边上有一点P (m,3) ，则实数 m 的值
为.
【答案】 1
【解析】
7. 函数
f (
x
) log ( 1)（a 0 且 a 1 ）的图象必经过定点P，则点P的坐标a
x
为.
【答案】（ 2,0 ）
【解析】
试题分析：求函数过定点问题可有两个思路，一是几何方法，从函数图像出发，找出定点，
因为对数函数 y log a x 过定点 (1,0) ，所以 f (x) log a ( x 1) 过定点（2,0），这是因为函数y log a x向右平移一个单位就得到 f (x) log a ( x 1)，二是代数方法，从函数解析式出发，
研究什么点的取值与 a 无关，由 log 1 0 知当 x 1 取 ，即 x 取 2 时， y 恒等于 0 ，即点（ 2,0 ）
a 1
恒在函数
f ( x) lo
g a ( x 1) 上.
考点：函数过定点问题，函数图像变换
.
8. 已知 | a | 2 ， |b | 1 ，若 a, b 的夹角为 60 ，则 | a 2b |
.
10. 如右图，平行四边形
ABCD 中， E 是边 BC 上一点， G 为 AC 与 DE 的交点，且
AG 3GC ，若 AB a ， AD b ，则用 a,b 表示 BG
.
D
G
C
E
A
B
【答案】
1 3
a
b
4
4
【解析】
11. 若x ( , 1] ，不等式(m m 2
)
x
成立，则实数 m 的取值范围
2 1 恒0
为.
13. 已知ABC 中，边上的中线长为，若动点
P
满足
BP
1
cos 2 BC sin 2 BA BC AO 2 2
(R) ，则( PB PC) PA的最小值是. 【答案】 2
【解析】
14. 已知定义在(0, ) 上的函数 f (x) 为单调函数，且 f ( x) f ( f ( x) 2
) 2 ，则 f (1) x
.
二、解答题（本大题共 6 小题，共计90 分 . 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）
15.（本题满分 14 分）
已知 sin 5
是第一象限角．，且
5
（1）求cos 的值；
sin( 3
)
（2）求tan( ) 2 的值 .
cos( )
【答案】（ 1）2
5 ；（2）3.
5 2
【解析】
16.（本分 14 分）
已知 a 1,1 ， b2,3 ，当k何，
（1）ka 2b 与 2a 4b 垂直？
（2）ka 2b 与 2a 4b 平行？平行它是同向是反向？
【答案】（ 1）
21
k
；（） k 1
,
方向相反
.
4 2
【解析】
（2）由( ka 2b) (2 a 4b) ，得6( k 6) 10(k 4) 4k 4 0 ，解得： k 1，⋯
12 分
此 ka 2b (3,5) 1
( 6, 10)
1
(2 a 4b) ，所以它方向相反．⋯⋯⋯⋯14 分2 2
考点：向量平行与垂直关系.
17.（本题满分 15 分）
已知函数 f ( x) Asin( x) （其中A0,0,| |）的部分图象如图所示．
2
（1）求函数 y f ( x) 的解析式；
（2）求函数 y f ( x) 的单调增区间；
（3）求方程f (x) 0的解集．
考点：根据图像求三角函数解析式，求三角函数增区间，求三角函数零点
.
18. （本题满分 15 分）
已知函数 f ( x)
1 x
且 a 1) 的图象经过点 P( 4
log a
(a 0 , 2) ．
1 x
5
（1）求函数 y f ( x) 的解析式；
（2）设 g( x)
1 x
，用函数单调性的定义证明：函数
y
g( x) 在区间 ( 1,1)上单调递
1
x
减；
（3）解不等式：
f (t 2 2t 2)
0 ．
【答案】（ 1） a 3 ，（ 2）详见解析， （ 3） 1 t 1
3 或 1 3 t 3 .
（2）设 x 1 、x 2 为 ( 1,1) 上的任意两个值， 且 x 1 x 2 ，则 x 1 1 0, x 2 1 0, x 2 x 1 0
1 x 1 1 x
2 2( x 2 x 1 ) ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
g(x 1) g(x 2 )
1 x
2 (1 x 1 )(1
1 x 1
x 2 )
g(x 1 ) g( x 2 ) 0 ， g(x 1 ) g( x 2 ) g( x)
1 x
在区 ( 1,1) 上 减． ⋯⋯
1 x
8分
方法（二）：
1 (t
2 2t 2)
1 (t
2 2t 2)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
log
3
1
(t 2 2t 2) 0
0 1 (t 2 2t 2)
1
由
1
(t 2 2t 2) 1
得： t 2 2t 2 0或 t 2 2t
2 1 ；由
1 (t
2 2t
2)
0 得：
1 (t
2 2t 2)
1 (t
2 2t
2)
1 t
2 2t
2 1，
0 t 2 2t 2 1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分
1 t 1 3或1 3 t 3 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分
考点：函数解析式，函数 性定 ，解不等式
.
19. （本 分 16 分）
我国加入 WTO 后，根据达成的 ，若干年内某 品关税与市 供 量 P 的关系允 近似
的 足： y P( x)
2(1 kt)( x b)
2
（其中 t 关税的税率， 且 t
[0, 1
) ， x 市 价格， b 、
2
k 正常数），当 t
1
的市 供 量曲 如 ：
8
（ 1）根据 象求 b 、 k 的 ；
11 x
（ 2）若市 需求量
2
．当 P Q 的市 价格称 市 平
Q ，它近似 足 Q( x) 2
衡价格． 使市 平衡价格控制在不低于
9 元，求税率 t 的最小 ．
(1 6 t )( x 5)2
11
x
2
x
（2）当 P
Q ， 2
2
，即 (1 6t )( x 5) 11
8
2
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
分
11
x 1 22 x 1
17
1
化 得： 1
6t
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10
分
(x 5)2 2 ( x 5)2
2 [
2
]
(x 5)
x 5
令 m
1 9) ，
1
( x m (0, ] ，
x
5
(0, 1
4
1 f (m)
17m
2
m, m ] ， 称 m
4
34
f (x)max
f ( 1
)
4 1 6t
1 13
2 16
19 ．
192
13
1
6t 取 到 最 大 ：
1 13 ， 所 以 ， 当 m
， 1
2 ， 即
16
4 16
， 解 得 ： t 19 ， 即 税 率 的 最 小
192
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
15 分
答：税率 t 的最小
19
．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分
192
考点：函数解析式，函数最
.
20. （本 分 16 分）
已知函数 f ( x) x | 2a x | 2x ， a
R ．
（1）若 a
0 ，判断函数 y f ( x) 的奇偶性，并加以 明；
（2）若函数
f (x) 在 R 上是增函数，求 数 a 的取 范 ；
（3）若存在 数 a2,2 , 使得关于 x 的方程 f ( x) tf (2 a) 0 有三个不相等的 数根，
求 数 t 的取 范 ．
【答案】（ 1）奇函数，（ 2）
1 a 1， (3)
9
1 t
8
③当 a 1 时，即2a a 1 a 1 ，∴ y f ( x) 在 ( , 2a) 上单调增，在(2 a, a 1) 上单调减，在(a 1, ) 上单调增，
∴当 f (a 1) tf (2 a) f (2 a) 时，关于x的方程 f ( x) tf (2a) 有三个不相等的实数根；
即 ( a 1)2 t 4a 4a ，∵a 1 ∴ 1 t 1
(a 1 2) ，设 g(a)
1
(a 1 2)
4 a 4 a
∵存在 a 2,2 , 使得关于 x 的方程 f ( x) tf (2 a) 有三个不相等的实数根，。