十年高考理科数学真题 专题五 平面向量 十三 平面向量的概念与运算及答案

专题五 平面向量
第十三讲 平面向量的概念与运算
2019年
1.（2019全国Ⅱ理3）已知AB u u u r
=(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC u u u r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =
A ．-3
B ．-2
C ．2
D ．3
2.（2019全国Ⅲ理13）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则
cos ,<>=a c ___________.
2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r
A ．3144
AB AC -u u u
r u u u r
B ．1344
AB AC -u u u
r u u u r
C ．3144AB AC +u u u
r u u u r
D ．1344
AB AC +u u u
r u u u r
2．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
4．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．（2016年山东）已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，
1
cos ,3
<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为
A ．4
B ．–4
C ．
9
4
D ．–
94
6．（2016年天津）已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，
连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅u u u r u u u r
的值为
A ．85
-
B ．
81 C ．
4
1 D ．
811
7．（2016年全国II ）已知向量(1,)(3,2)m =-，
=a b ，且()+⊥a b b ，则m = A ．8-
B ．6-
C ．6
D ．8
8．（2016年全国III ）已知向量1(2BA =uu v ,1
),2BC =uu u v 则ABC ∠= A ．30o
B ．45o
C ．60o
D ．120o
9．(2015重庆)若非零向量a ，b 满足=
a ，且()(32)-⊥+a
b a b ，则a 与b 的夹角为 A ．
4π B ．2
π
C ．34π
D ．π
10．（2015陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是
A ．||||||⋅≤a b a b
B ．||||||||--≤a b a b
C ．2
2
()||+=+a b a b D ．2
2
()()+-=-a b a b a b
11．（2015安徽）ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ=u u u r
a ，
2ΑC =+u u u r
a b ，则下列结论正确的是
A ．1=b
B ．⊥a b
C ．1⋅=a b
D ．()4ΒC -⊥u u u r
a b
12．（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB
A ．
B ． AD 21
C ． BC 21
D ．
13．（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+a b |-a b ⋅=a b
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
14．(2014山东)已知向量(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为
6
π
，则实数m =
A ．
B C ．0
D ．
15．（2014安徽）设,a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234,,,x x x x u r u u r u u r u u r 和1234,,,y y y y u u r u u r u u r u u r
均由
2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r
所有可能取值中的最小值
为2
4a ，则a 与b 的夹角为 A ．2
3π B ．
3π C ．6
π
D ．0 16．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是
A ．12(0,0),(1,2)==e e
B ．12(1,2),(5,2)=-=-e e
C ．1
2(3,5),(6,10)==e e D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e
17．（2014浙江）设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 是最小值
为1
A ．若θ确定，则||a 唯一确定
B ．若θ确定，则||b 唯一确定
C ．若||a 确定，则θ唯一确定
D ．若||b 确定，则θ唯一确定
18．（2014重庆）已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ，则实数k =
A ．92-
B ．0
C ．3
D ．15
2
19．（2013福建）在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ，则该四边形的面积为
A ．5
B ．52
C ．5
D ．10
20．（2013浙江）设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足01
4
PB AB =
，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ≥．则
A ．090=∠ABC
B ．090=∠BA
C C ．AC AB =
D ．BC AC =
21．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB u u u r
同方向的单位向量为
A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-
B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-
C ．3455⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
， D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 22．（2013湖北）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB u u u r
在CD u u u r 方向上
的投影为
A B C ． D ． 23．（2013湖南）已知,a b 是单位向量，0⋅a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则c 的最
大值为
A 1
B
C 1
D 2
24．（2013重庆）在平面上，12AB AB ⊥u u u r u u u u r ，121OB OB ==u u u r u u u u r ,12AP AB AB =+u u u r u u u r u u u u r
．若12
OP <u u u r ，
则OA u u u r
的取值范围是
A ．⎛ ⎝⎦
B ． ⎝⎦
C ． ⎝
D ．⎝ 25．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：
①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；
②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；
③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
26．（2012陕西）设向量a =（1,cos θ）与b =（-1,2cos θ）垂直，则cos2θ等于
A ．
2 B ．1
2
C ．0
D ．－1 27．（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量
A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a b
B ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a b
C ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a
D ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b
28．（2011广东）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，
则λ=
A ．
14
B ．
1
2
C ．1
D ．2
29．（2011辽宁）已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0⋅-=a a b ，则=k
A ．12-
B ．6-
C ．6
D ．12
30．（2010辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=u u u r a ，OB =u u u r
b ，则△OAB 的面积
等于
A ．222|||()|-⋅a b a b
B ．222|||()|+⋅a b a b
C ．
2221|||()2|-⋅a b a b D ．2221
|||()2
|+⋅a b a b 31．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“e ”如下：对任意的(,)m n =a ，(,)p q =b ，
令mq np =-e a b ，下面说法错误的是 A ．若a 与b 共线，则0=e a b B ．=e e a b b a
C ．对任意的R λ∈，有()()λλ=e e a b a b
D ．2
2
2
2
()()||||+•=e a b a b a b 二、填空题
32．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若(2)+∥c a b ，
则λ= ．
33．(2017新课标Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b = ． 34．(2017浙江)已知向量a ,b 满足||1=a ,||2=b ,则||||++-a b a b 的最小值是 ，
最大值是 ．
35．(2017山东)已知1e ，2e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60o ，
则实数λ的值是 ．
36．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，1，2，OA
u u u r
与OC u u u r 的夹角为α，且tan 7α=，OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45o
．若OC u u u r =m OA u u u r +n OB
uuu r （m ，n ∈R ），则m n += ．
37．(2016全国I)设向量(,1)m =a ，(1,2)=b ，且222
||||||+=+a b a b ，则m = . 38．(2015江苏)已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），
则m n - 的值为___．
39．（2015湖北）已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r ．
40．(2015新课标Ⅰ)设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ___． 41．（2015浙江）已知12,e e 是空间单位向量，121
2
⋅=
e e ，若空间向量b 满足12⋅=b e ，25
2
⋅=
b e ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)x y x y x y R -+-+=∈≥b e e b e e ，则0x =____，0y =_____，=b _____．
42．（2014新课标Ⅰ）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2
AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r
，则AB u u u r 与
AC u u u r
的夹角为 ． 43．(2014山东)在ABC V 中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uuu r ，当6
A π
=时，ABC V 的面积为 ．
44．（2014安徽）已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量12345,,,,x x x x x u r u u r u u r u u r u u r
和
12345,,,,y y y y y u u r u u r u u r u u r u u r 均由2个a 和3个b 排列而成．记112233S x y x y x y =⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r
4455x y x y +⋅+⋅u u r u u r u u r u u r
，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．
则下列命题正确的是____（写出所有正确命题的编号）． ①S 有5个不同的值． ②若⊥a b 则min S 与||a 无关． ③若∥a b 则min S 与||b 无关． ④若||4||>b a ，则0min >S ．
⑤若||2||=b a ，2
min 8||S =a ，则a 与b 的夹角为
4
π． 45．(2014北京)已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=__．
46．（2014陕西）设2
0π
θ<
<，向量()sin 2cos θθ=，a ，()cos 1θ，b ，若∥a b ，则
=θtan _______．
47．（2014四川）平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，m =+c a b （m R ∈），且c 与a 的夹角
等于c 与b 的夹角，则m =____________．
48．（2013新课标Ⅰ）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60o
，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，
则t =_____．
49．（2013新课标Ⅱ）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ⋅=u u u r u u u r ． 50．（2013山东）已知向量AB u u u r 与AC u u u r 的夹角120o ，且|AB u u u r |=3，|AC u u u r |=2，若
AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，且AP BC ⊥u u u r u u u r
，则实数λ的值为_____．
51．（2013浙江）设1e ，2e 为单位向量，非零向量12x y =+b e e ，,x y ∈R ，若1e ，2e 的
夹角为
6
π
，则||||x b 的最大值等于________．
52．（2013天津）在平行四边形ABCD 中，AD = 1，60BAD ︒
∠=，
E 为CD 的中点．若·1AC BE =u u u r u u u r
， 则AB 的长为 ．
53．（2013北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (λ，μ∈
R )，则
λ
μ
= ．
54．（2013北京）已知向量a ，b 夹角为o
45，且||1=a ，|2|10-=a b ||=b
．
55．（2012湖北）已知向量a =（1，0），b =（1，1），则
（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为____________； （Ⅱ）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为____________。

56．（2012安徽）若平面向量a ，b 满足：23-≤a b ；则⋅a b 的最小值是_____． 57．（2011浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的
平行四边形的面积为
1
2
，则α与β的夹角θ的取值范围是 ．
58．（2011江苏）已知1e ，2e 是夹角为
π3
2
的两个单位向量，122=-a e e ，12k =+b e e ， 若0⋅=a b ，则k 的值为 ．
59．（2011新课标）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量
k a -b 垂直，则k =_____________．
60．（2011安徽）已知向量,a b 满足()()+2⋅-=-6a b a b ，且1=a ，2=b ，则a 与b 的
夹角为 .
61．（2010陕西）已知向量a =（2，-1），b =（-1，m ），c =（-1,2），若（a +b ）∥c ，
则m = ． 三、解答题
62．（2017江苏）已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈．
（1）若∥a b ，求x 的值；
（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．
专题五 平面向量
第十三讲 平面向量的概念与运算
答案部分 2019年
1．解析：(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r ，则21(3)1t +-=，得3t =，即(1,0)BC =u u u r
，所以
(2,3)(1,0)2AB BC ⋅=⋅=u u u r u u u r
.故选C.
2.解析 2(2)22⋅=⋅-=-⋅=a c a a a b ，
因为2222(2)459==-⋅+=c a a b b ， 所以||3=c ，所以2
cos ,||||3
⋅=
=a c a c a c .
2010-2018年
1．A 【解析】通解 如图所示，
C
B
11111()()22222
=+=+=⨯++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r EB ED DB AD CB AB AC AB AC
3144=-u u u
r u u u r AB AC ．故选A ． 优解 111()222
=-=-=-⨯+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r EB AB AE AB AD AB AB AC
3144
=-u u u
r u u u r AB AC ．故选A ． 2．C 【解析】∵33-=+a b a b ，∴2
2
(3)(3)-=+a b a b ，∴22
69-⋅+=a a b b
2296+⋅+a a b b ，又||||1==a b ，∴0⋅=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ．
3．B 【解析】2
(2)22(1)3⋅-=-⋅=--=a a b a a b ，故选B ．
4．A 【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是
cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=o m n ，
所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而
0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得
“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．
5．B 【解析】由()t ⊥+n m n 可得()0t ⋅+=n m n ，即2
0t ⋅+=m n n ，
所以222
1|cos |3
||t |||<,>|||=-=-=-⋅⋅⨯⨯n n n m n m n m n m n
||4
3
34||3
=-=-⨯=-n m ．故选B ． 6．B 【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22
DE AC b a ==-u u u r u u u r r r
，
33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r ，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，
∴253531
44848
AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ，故选B.
7．D 【解析】由向量的坐标运算得()42m +=-，a b ，
∵()+⊥a b b ，∴()122(2)0m +⋅=--=a b b ， 解得8m =，故选D ．
8．A
【解析】由题意得112222cos 112||||
BA BC ABC BA BC +⋅∠===⨯⋅u u u r u u u r u u
u r u u u r ， 所以30ABC ∠=o
，故选A ．
9．A 【解析】由题意22
()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=r r r r r r r r ，
即223cos 20a a b b θ--=r r r r
，所以2320θ⨯-=，
cos 2θ=
，4
π
θ=，选A ． 10．B 【解析】对于A 选项，设向量a 、b 的夹角为θ，∵||||||cos |||θ⋅=≤|a b a b a b ，
∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a 、b 反向时，||||||||--≥a b a b ，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出2
2
()()+⋅-=-a b a b a b ，故D 选项正确，综上选B ． 11．D 【解析】如图由题意，
(2)2BC AC AB a b a b =-=+-=u u u r u u u r u u u r r r r r ，故||2b =r ，故A 错误；|2|2||2a a ==r r
， 所以||1a =r ，又22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=o u u u r u u u r r r r r r r
，
所以1a b ⋅=-r r ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，
且AD BC ⊥u u u r u u u r ，所以()
4C a b +⊥B u u u r r
r ，故选D ．
12．A 【解析】111()()()222
EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r ．
13．A 【解析】由2
()10+=a b ①，2
()6-=a b ②，①-②得1⋅=a b ．
14．B
【解析】由题意得
cos 26π==
，两边平方化简得18=，
解得m =
15．B 【解析】设11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r
，若S 的表达式中有0个a b ⋅r r ，
则2222S a b =+r r ,记为1S ,若S 的表达式中有2个a b ⋅r r ,则22222S a b a b =++⋅r r r r
, 记为2S ，若S 的表达式中有4个a b ⋅r r ，则4S a b =⋅r r ，记为3S ，又||2||b a =r r
，
所以222
132242()0S S a b a b a b -=+-⋅=->r r r r r r ， 222
122()0S S a b a b a b -=+-⋅=->r r r r r r ，
223()0S S a b -=->r r ，∴321S S S <<，故min 34S S a b ==⋅r r
，设,a b r r 的夹角为θ，
则22min
48||cos 4||S a b a a θ=⋅==r r r r ，即1cos 2θ=，又[0,]θπ∈，所以3
πθ=．
16．B 【解析】对于A ，C ，D ，都有1e ∥2e ，所以只有B 成立．
17．B 【解析】由于2222||2t t t +=++g
b a b a b a ，令222()2f t t t =++g b a b a ， 而t 是任意实数，所以可得()f t 的最小值为
222222222222
4(2)44cos 4sin 1444
θθ
--===a b ab a b a b b a a ， 即2
2
||sin 1θ=b ，则知若θ确定，则||b 唯一确定． 18．C 【解析】∵23(23,6)k -=--a b ，(23)-⊥a b c ，
所以(23)-⋅a b c =2(23)60k --=。

解得3k =，选C
19．C 【解析】 因为022)4(1=⨯+-⨯=⋅，所以⊥，所以四边形的面积
为
52
2)4(212|
|||2222=+-⋅+=⋅BD AC ，故选C ．
20．D 【解析】由题意，设||4AB =u u u r ，则0||1P B =u u u r
，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，
在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得，
||||(||(1))||PB PC PH PB PB a PB ⋅==-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，0000||||P B PC P H P B a ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r
，
于是00PB PC P B PC ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
≥恒成立，相当于
(||(1))||PB a PB a -+-u u u r u u u r ≥恒成立， 整理得2||(1)||PB a PB a -++u u u r u u u r ≥0恒成立，只需22
(1)4(1)0a a a ∆=+-=-≤
即可，于是1a =，因此我们得到2HB =，即H 是AB 的中点， 故△ABC 是等腰三角形，所以AC BC =．
P 0
P H C
B
A
21．A 【解析】(3,4)AB =-u u u r ,所以||5AB =u u u r ,这样同方向的单位向量是134(,)555
AB =-u u u r ．
22．A 【解析】=（2,1），CD =（5,5），则向量在向量CD 方向上的射影为
22
32
5515255)5,5()1,2(cos 2
2=⨯+⨯=
+⋅=
=
θ 23．C 【解析】建立平面直角坐标系，令向量,a b 的坐标()()1,0,0,1==a b ，又设
(),x y =c ，代入1--=c a b
1=，
又c 的最大值为圆()()2
2
111x y -+-=上的动点到原点的距离的最大值，
即圆心(1，1)1．
24．D 【解析】因为1AB u u u r ⊥2AB u u u u r ，所以可以A 为原点，分别以1AB u u u r ，2AB u u u u r
所在直线
为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )，
则AP u u u r ＝1AB u u u r ＋2AB u u u u r
＝(a ，b )，即P (a ，b )． 由|1OB u u u r |＝|2OB u u u u r
|＝1，得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1.
所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2≥0.
由|OP uuu r |＜12，得(x －a )2＋(y －b )2＜14
，
即0≤1－x 2＋1－y 2＜1
4
.
所以
7
4
＜x 2＋y 2≤2，即2<≤
所以|OA u u u r |的取值范围是2⎛ ⎝，故选D ．
25．B 【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须
=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前
还强调过，不懂学生做得如何.
26．C 【解析】22
,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴⋅=∴-+=∴=-=r r r r Q 正确的是
C ．
27．C 【解析】 2
2
2
2
||||||||2||||2||||||+=-⇒++=-+a b a b a ab b a a b b ，则
||||0=-≠ab a b ，所以,a b 不垂直，A 不正确，同理B 也不正确； ||||=-ab a b ，则cos ,1>=-<a b ，所以,a b 共线，故存在实数λ，
使得λ=b a ，C 正确；若=b a ，则1λ=，此时||2|0||||+=≠=-a b a |a b ， 所以D 不正确．
28．B 【解析】(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=
12
29．D 【解析】 ∵2(5,2)k -=-a b ，由(2)0⋅-=a a b ，得(2,1)(5,2)0k ⋅-=，
∴1020k +-=，解得12k =． 30．C 【解析】 三角形的面积S=
1
2
||sin ,<>a ||b a b ，而
=
11
||||||||sin ,22
a b a b a b =<>． 31．B 【解析】若a 与b 共线，则有==0mq np -e a b ，故A 正确；
因为pn qm =-e b a ，而=mq np -e a b ，所以有≠e e a b b a ， 故选项B 错误，故选B ． 32．
1
2
【解析】2(4,2)+a b =，因为(1,)λ=c ，且(2)+∥c a b ，
所以124λ⨯=，即12
λ=
． 33
．222|2|||4||4441421cos 6012+=++=+⨯+⨯⨯⨯=o
a b a b ab ，
∴|2|+=a b
34．
4,,a b r r
的夹角为θ，由余弦定理有：
a b -==r r
，
a b +==r r
则：
a b a b ++-=r r r r
令y =
[]21016,20y =+，
据此可得：
(
)
()
max
min
4a b a b
a b a b
++-==++-==r r r r
r r r r
，
即a b a b ++-r r r r
的最小值是
4，最大值是
35．
3
【解析】221212112122)()λλλ-⋅+=⋅-⋅-=e e e e e e e
e ，
12||2-===e
，
12||λ+===e e
∴2cos60λ==
o ，解得：3
λ=
． 36．3【解析】由tan 7
α=可得sin 10
α
=
，cos 10α=，由OC u u u r =m OA u u u r +n OB uuu r
得22OC OA mOA nOB OA
OC OB mOB OA nOB
⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r
，即cos(45)45cos(45)m n m n ααα⎧=++⎪=++o o
o
cos 45)()(1cos(45))m n αα+=+++o o
所以3102102
m n ++===
所以3m n +=．
37．－3【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-
38．9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r
，
所以OA OB •=u u u r u u u r
93||||)(222===•+=+•．
39．1【解析】由题意()ln(())==-=-f x x x f x x x ，
+=
x ，解得1a =．
40．1 2 由题意可令01023x y =++b e e e ，其中3,1,2i i ⊥=e e ，
由12⋅=b e 得0022y x +
=，由252⋅=b e ，得005
22
x y +=，解得01x =，02y =
∴||==b
41．2-【解析】由2
2
2
||||||+=+a b a b 得⊥a b ，则20m +=，所以2m =-．
42．90o
【解析】由1()2
AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r
，得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，
所以AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为90o
．
43．1
6【解析】∵cos AB AC AB AC A ⋅=⋅uu u r uuu r uu u r uuu r ，∴由cos tan AB AC A A ⋅=uu u r uuu r ，
得23AB AC ⋅=uu u r uuu r ，故ABC V 的面积为11||||sin 266
AB AC π=u u u r u u u r ．
44．②④【解析】S 有下列三种情况：
22222
1S a a b b b =++++r r r r r ， 222
2S a a b a b b b =+⋅+⋅++r r r r r r r ， 2
3S a b a b a b a b b =⋅+⋅+⋅+⋅+r r r r r r r r r
∵2222
12232()||0S S S S a b a b a b a b -=-=+-⋅=-=-≥r r r r r r r r ，
∴min 3S S =，
若a b ⊥r r ，则2
min 3S S b ==r ，与||a r 无关，②正确； 若a b r r P ，则2min 34S S a b b ==⋅+r r r ，与||b r 有关，③错误；
若||4||b a >r r ，则2222
min 34||||cos ||4||||||||||0S S a b b a b b b b θ==⋅+≥-⋅+>-+=r r r r r r r r ，
④正确；
若2min ||2||,8||b a S a ==r r r ,则2222min 348||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=r r r r r r
∴1cos 2θ=
， ∴3
π
θ=，⑤错误． 45
||1=a ，∴可令(cos ,sin )θθ=a ，∵0λ+=a b ，
∴cos 20sin 10λθλθ+=⎧⎨+=⎩，即2cos 1
sin θλθλ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，解得2
5λ=
得||λ= 46．
12
【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cos θθ=，∴2
2sin cos cos θθθ=， ∵(0,)2πθ∈，∴1
tan 2θ=．
47．2【解析1】(4,22)c m m =++r
因为cos ,||||c a c a c a ⋅=⋅r r r r r
r ，cos ,||||c b c b c b ⋅=⋅r r r r r r ，所以||||||||
c a c b
c a c b ⋅⋅=⋅⋅r r r r
r r r r ， 又||2||b a =r r
，所以2c a c b ⋅=⋅r r r r
即2[(4)2(22)]4(4)2(22)m m m m +++=+++2m ⇒=
【解析2】由几何意义知c r 为以ma r ，b r
为邻边的菱形的对角线向量，
又||2||b a =r r
，故2m =
48．2【解析】g b c =[(1)]t t •+-b a b =2
(1)t t •+-a b b =
112t t +-=1
12t -=0,解得t =2. 49．2【解析】在正方形中，12
AE AD DC =+u u u r u u u r u u u r ,BD BA AD AD DC =+=-u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r ,
所以222
2111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．
50．712
【解析】向量AB u u u v 与AC u u u v 的夹角为120o
，且||3,||2,AB AC ==u u u v u u u v 所以
1cos1203232
AB AC AB AC ⋅=⋅=-⨯⨯=-o
u u u v u u u v u u u v u u u v ．由AP BC ⊥u u u v u u u v 得，
0AP BC ⋅=u u u v u u u v ，即()()0AP BC AB AC AC AB λ⋅=+⋅-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，
所以22(1)0AC AB AB AC λλ-+-⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ,即493(1)0λλ---=,解得712
λ=．
51．2
【解析】
||||x ==
=
b
==
||
||
x b 的最大值为2． 52．
1
2
【解析】因为E 为CD 的中点，所以1122BE BC CE AD DC AD AB =+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．
AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r
，因为·
1AC BE =u u u r u u u r ， 所以22111·()()1222
AC BE AD AB AD AB AD AB AB AD =-⋅+=-+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
即2111cos60122AB AB -+=o u u u r u u u r ，所以211024AB AB -+=u u u
r u u u r ，解得12
AB =u u u r ．
53．4【解析】 如图建立坐标系，
则()1,1a =-r ，()6,2b =r ，()1,3c =-r
由c a b λμ=+r r r ，可得1
2,2
λμ=-=-，∴4λμ=
54．
b =r
222(2)1044cos 4510a b a b b b ︒
-=⇔-=⇔+-=r r r r r r
b ⇔=r
55．
（Ⅰ）1010⎛ ⎝⎭
（Ⅱ）5- 【解析】（Ⅰ）由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为
(),x y c =，则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y >
，解得10x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故
⎝⎭c =．即与2+a b
同向的单位向量的坐标为1010⎛ ⎝⎭
．
（Ⅱ）由()()1,0,1,1a =b =，得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ，
则()
32,11,0cos 35
θ--=
==--g g b a a b a a
．
56．9
8
-【解析】2223494a b a b a b -≤⇔+≤+r r r r r r g
2294449448
a b a b a b a b a b a b +≥≥-⇒+≥-⇔≥-r r r r r r r r r r r r g g g g
57．5[,]66
ππ【解析】如图，向量α与β在单位圆O 内，因|α|=1，|β|≤1，
且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为1
2
，故以向量α，β为边的
三角形的面积为1
4
，故β的终点在如图的线段AB 上（α∥AB ，
且圆心O 到AB 的距离为12），因此夹角θ的取值范围为5[,]66
ππ
．
58．
54
【解析】由题意知1212(2)()0k ⋅=-+=a b e e e e ,即22
112122220k k +--=e e e e e e ， 即22cos 2cos 2033k k ππ+--=，化简可求得54
k =． 59．1【解析】向量a +b 与向量k a -b 垂直，∴()()0k +⋅=a b a -b ，
化简得(1)(1)0k -⋅⋅+=a b ，易知0⋅≠a b ，故1k =． 60．
3
π【解析】设a 与b 的夹角为θ，由题意有()()22
+2⋅-=+⋅-2a b a b a a b b
cos θ=-7+2=-6，所以1cos 2θ=
，因此0θπ≤≤，所以3
πθ=． 61．－1【解析】(1,1),()//12(1)(1)0m m +=-+⨯--⨯-=由得a b a a c ，
所以m =－1．
62．【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，∥a b ，
所以3sin x x =．
若cos 0x =，则sin 0x =，与2
2
sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．
于是tan 3
x =-
． 又[0,]x π∈，所以56
x π=
．
（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6
f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为[0,]x π∈，所以ππ7π[,]666
x +
∈，
从而π1cos()6x -≤+≤
. 于是，当ππ
66x +
=，即0x =时，()f x 取到最大值3；
当π6x +=π，即5π6
x =时，()f x 取到最小值-。