2013-2019高考理科数学分类汇编-第1章 集合与常用逻辑用语

第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集合
题型1 集合的基本概念
题型2 集合间的基本关系
1.（2013江苏4）集合{}1,0,1-共有 个子集.
2.(2013山东理7) 给定两个命题p ，q ，若p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q ⌝的（ ）.
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.（2015重庆理1）已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则（ ）.
A. A B =
B. A B =∅I
C. A B Ø
D. B A Ø
3.解析 集合B 的元素A A ∈∈3,2，但是集合A 的元素B ∉1，所以B 是A 的真子集. 故选D.
4.（2015湖南理2）设A ，B 是两个集合，则“A B A =I ”是“A B ⊆”的（ ）.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.解析 由题意得，A B A A B =⇒⊆I ；反之，A B A B A =⇒⊆I ，故为充要条件. 故选C.
题型3 集合的运算
1. (2013全国新课标卷理1）已知集合(){}
{}21<410123M x x x N =+∈=-R ，，，，，，，则M N =I （ ）.
A. {}012，，
B. {}1012-，，，
C. {}1023-，，，
D. {}0123，，，
2.（2013辽宁理2）已知集合{}40<log <1A x x =，{}2B x x =≤，则A B =I （ ）.
A. ()01，
B. (]02，
C. ()12，
D. (]
12， 3. (2013重庆理1）已知全集{}1234U =，，，，集合{}{}1223A B ==，，，，则()U A B =U ð（ ）.
A. {}134，，
B. {}34，
C. {}3
D. {}4
4. (2013天津理1）已知集合{}||2A x x =∈R „，{}1B x x =∈R ?，则A B =I （ ）.
5. （2013四川理1）设集合{}|20A x x =+=，集合{}2|40B x x =-=，则A B =I （ ）
A.{}2-
B.{}2
C.{}2,2-
D.∅
6. (2013陕西理1）设全集为R ，函数()f x =M ，则M R ð为（ ）.
A. []11-，
B. ()11-，
C. (][)11-∞-+∞U ，，
D. ()()11-∞-+∞U ，，
7．（2013广东理1）设集合{}
2|20,M x x x x =+=∈R ，{}2|20,N x x x x =-=∈R ，则M N =U （ ）.
A ．{}0
B ．{}0,2
C ．{}2,0-
D ．{}2,0,2-
8.（2013湖北理2）已知全集为R ，集合112x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭„，{}
2680B x x x =-+„，
则A I R ðB = （ ）.
A ．{}|0x x „
B ．{}|24x x 剟
C ．{|02x x <„或4}x >
D ．{|02x x <„或4}x …
9.(2013山东理2) 已知集合{}0,1,2A =，则集合{},B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是（ ）.
A. 1
B. 3
C. 5
D. 9
10. (2013重庆理22）对正整数n ，记{}123m I n =L ，，，，，m m m P I k I ⎫=∈∈⎬⎭
，. （1）求集合7P 中元素的个数；
（2）若m P 的子集A 中任意两个元素之和不是．．
整数的平方，则称A 为“稀疏集”.求n 的最大值，使m P 能分成两人上不相交的稀疏集的并.
11.（2014 陕西理1） 已知集合{}0,M x x x =∈R …，{}
21,N x x x =<∈R ，则M N =I （ ）.
A. []0,1
B. [)0,1
C. (]0,1
D. ()0,1
11. 解析 因为()1,1N =-，所以[)0,1M N =I ，故选B.
12.（2014 重庆理11）设全集{}{}{}110,1,2,3,5,8,1,3,5,7,9U n n A B =∈==N 剟，则()U A B =I ð______.
12. 解析 因为{}110U n n =∈N 剟，{}1,2,3,5,8A =，所以{}4,6,7,9,10U A =ð， 又因为{}1,3,5,7,9B =，所以()
{}7,9U A B =I ð.
13.（2014 江苏理 1） 已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B =I ．
13. 解析 由集合的交集定义知{}1,3A B =-I .
14．（2014 浙江理1）设全集{}2U x x =∈N …，集合{}
25A x x =∈N …，则U A =ð（ ）.
A.∅
B. {}2
C. {}5
D. {}2,5
14. 解析 因为{}{}5A x x x x =∈=∈N N 厖3，所以{}{}2232U a A x x =∈<=N „ð，故选B.
15.（2014 新课标2理1）设集合{}0,1,2M =，{}
2320x x x N -+=„，则M N =I （ ）.
A.{}1
B.{}2
C.{}0,1
D. {}1,2
15.解析 由已知得{}12N x x =剟，因为{}
0,1,2M =，所以{}1,2M N =I ，故选D. 16.（2014 新课标1理1）已知集合{}2230A x x x =--…，{}
22B x x =-<„，则A B =I （ ）.
A.[]2,1--
B.[)1,2-
C.[]1,1-
D. [)1,2
16. 解析 由不等式2230x x --…解得3x …或1x -…，因此集合{
1x x -?或}3x …，又集合{}22B x x =-剟，所以{}21A B x x =--I 剟，故选A.
17.（2014 四川理1）已知集合{}220A x x x =--„，集合B 为整数集，则A B =I （ ）.
A ．{}1,0,1,2-
B ．{}2,1,0,1--
C ．{}0,1
D ．{}1,0-
17. 解析 2201
2x x x --⇒-剟?，故集合A 中整数为1-，0，1，2. 所以{}1,0,1,2A B =-I .
18.（2014 山东理2）设集合{}[]{}
12,2,0,2x A x x B y y x =-<==∈，则=B A I （ ）.
A. []0,2
B.()1,3
C.[)1,3
D. ()1,4
18. 解析 {}{}1213A x x x x =-<=-<<，[]{}{}2,0,214x B y y x y y ==∈=剟， 所以{}{}{}131413A B x x y y x x =-<<=<I I 剟?.
评注 本题考查绝对值不等式的解法，指数函数的性质以及集合的运算.本题的易错点是绝对值不等式的求解.
19.（2014 辽宁理1）已知全集U =R ，{}0A x x =„，{}
1B x x =…，则集合()U A B =U ð（ ）.
A ．{}0x x …
B ．{}1x x „
C ．{}01x x 剟
D ．{}
01x x << 19. 解析 { 1 A B x x =U …或}0x „，因此(){}
01U A B x x =<<U ð.故选D.
20.（2014 广东理 1）已知集合{}{}1,0,1,0,1,2,M N =-=则M N =U （ ）.
A ．{}1,0,1- B. {}1,0,1,2- C. {}1,0,2- D. {}0,1
20. 解析 由集合的并集运算可得，{}1,0,1,2M N =-U ，故选C.
21.（2014 北京理 8）有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好”.现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有学生（ ）.
A.2人
B.3人
C.4人
D.5人 21解析 设学生人数为n ，因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况，所以当4n …时，语文成绩至少有两人相同，若此两人数学成绩也相同，与“任意两人成绩不全相同”矛盾；若此两人数学成绩不同，则此两人有一人比另一人成绩好，也不满足
条件，因此：4n <，即3n „.当3n =时，评定结果分别为“优秀，不合格”“合格，合格”“不合格，优秀”，符合题意，故3n =，选B.
22.（2014 大纲理 2）设集合{}2340M x x x =--<，{}05N x x =剟，则M N =I （ ）.
A ．(]04，
B ．[)04，
C ．[)10-，
D ．(]10-，
22. 解析 {}{}234014M x x x x x =--<=-<<，则{}04M N x x =<I „.故选
B.
23.（2014 北京理 1）已知集合{}
{}220,0,1,2A x x x B =-==，则A B =I ( ). A.{}0 B.{}0,1 C.{}0,2 D.{}0,1,2
23.解析 {}0,2A =，{}0,1,2B =，所以{}0,2A B =I .故选C.
24.（2015广东理1）若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=， 则M N =I （ ）.
A ．{}1,4
B ．{}1,4--
C ．{}0
D ．∅
24.解析 因为()(){}
{}4104,1M x x x =++==--，()(){}{}4101,4N x x x =--==，
所以M N =∅I ．故选D ．
25.（2015全国II 理1）已知集合{}2,1,0,2A =--，()(){}
120B x x x =-+<，则
A B =I （ ）
． A.{}1,0- B. {}0,1 C.{}1,0,1- D. {}0,1,2 25.解析 对于B 集合，由已知得，{}21B x x =-<<，用数轴可得{}1,0A B =-I .故选
A.
26.(2015山东理1)已知集合{}
2|430A x x x =-+<，{}|24B x x =<<，则A B =I （ ）．
A.()13，
B. ()14，
C.()23，
D.()24， 26.解析 由题意{}13A x x =<<，而{}24B x x =<<，所以{}
23I A B x x =<<． 故选C ．
27.（2015陕西理1）设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =„，则M N =U （ ）．
A ．[0,1] B.(0,1] C.[0,1) D.(,1]-∞
27.解析 依题意{0,1}M =，{|01}N x x =<„，所以{|01}M N x x =U 剟.故选A ．
28. (2015四川理1)设集合()(){}120A x x x =+-<，集合{}
13B x x =<<，则A B =U
（ ）. A. {}13x x -<< B. {}11x x -<< C. {}12x x << D. {}23x x <<
28.解析 由题意可得，{}12A x x =-<<，则{}13A B x x =-<<U .故选A.
29.（2015天津理1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ， 集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B =I ð（ ）.
A.{}2,5
B.{}3,6
C. {}2,5,6
D.{}2,3,5,6,8
29.解析 {2,5,8}U B =ð，所以{2,5}I U A B =ð.故选A.
30.（2015浙江理1）已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-=<„…，则()P Q =R I ð （ ）．
A.[0,1)
B.(0,2]
C.(1,2)
D.[1,2]
30.解析 依题意{02}P x x x =??或，()0,2R P =ð，所以()R I P Q =ð(1,2)．故选C ．
31.（2015江苏1）已知集合{}1,2,3A =，{}2,4,5B =，则集合A B U 中元素的个数为 ．
31.解析 由并集的运算知识知{}1,2,3,4,5U A B =，故集合A B U 中元素的个数为5．
32.(2016北京理1) 已知集合{}2A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =I （ ）.
A.{}0,1
B.{}0,1,2
C.{}1,0,1-
D.{}1,0,1,2-
32. C 解析 由已知集合(2,2)A =-，{}1,0,1,2,3B =-，所以A B =I
{}1,0,1-.故选C.
33.（2016全国丙理1）设集合{}(2)(3)0S x x x =--…，{}
0T x x =>，则S T =I （ ）.
A.[]2,3
B.(][),23,-∞+∞U
C.[)3,+∞
D.(][)0,23,+∞U
33. D 解析 由{}{}32,0S
x x x T x x ==>或??，得S T =I {}0<23.x x x 或剠
故选D. 34.（2016全国甲理2）已知集合{123}A =，
,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =U （ ）.
A.{}1
B.{12}，
C.{}0123，，，
D.{10123}-，，，， 35. C 解析 因为()(){}120B x x x x =+-<∈Z ，{}12x x x =-<<∈Z ，，
所以{}01B =，，所以{}0123A B =U ，，，.故选C.
36.（2016山东理2）设集合{|2,}x A y y x ==∈R ，2{|10}B x x =-<，则A B =
U （ ）.
A.(1,1)-
B.(0,1)
C.(1,)-+∞
D.(0,)+∞
36. C 解析 由题意，0,11A B =+∞=-（，）（，），所以A B =U 1+-∞（，）
.故选C. 37.（2016四川理1）设集合{|22}A x x
=-剟，Z 为整数集，则A Z I 中元素的个数是（ ）.
A.3
B.4
C.5
D.6
37.解析 由题意，{2,1,0,1,2}A =--Z I .故其中的元素个数为5.故选C.
38.（2016天津理1）已知集合{1,2,3,4}A =，{|32}B y y x x A ==-∈，，则A B =I （ ）.
A.{1}
B.{4}
C.{1,3}
D.{1,4}
38.D 解析 由题意可得{}1,4,7,10B =，则{}1,4A B =I .故选D.
39.（2016全国乙理1）设集合2
{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）. A.33,2⎛
⎫-- ⎪⎝⎭ B.33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
39.D 解析 由题意可得()1,3A =，3,2B ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，所以3,32A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭
I .故选D. 40.（2016浙江理1）已知集合{}13P x x =∈R ≤≤，{}
24Q x x =∈R ≥，则()P Q =R U ð（ ）.
A.[]2,3
B.(]2,3-
C.[)1,2
D.(,2][1,)-∞-+∞U
40.B 解析 因为{}24Q x x =∈R …，所以{}
24(2,2)Q x x =<=-R ð，所以[](]()(2,2)1,32,3Q P =-=-R U U ð.故选B.
41.（2016江苏1）已知集合{}1,2,3,6A =-，{}23B x x =-<<，则
A B =I .
41.{}1,2- 解析 由交集的运算法则可得{}1,2A B =-I .
42.（2016上海理1）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为 .
42.()2,4 解析 由题意131x -<-<，即24x <<，则解集为()2,4.
43.（2017江苏01）已知集合{}1,2A =，{}
2,3B a a =+，若{}1A B =I ，则实数a 的值为 ．
43.解析 由题意2
33a +…，故由{}1A B =I ，得1a =．故填1． 44.（2017天津理1）设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}|15C x x =∈-R 剟，则()A B C =U I （ ）.
A.{}2
B.{}1,2,4
C.{}1,2,4,6
D.{}|15x x ∈-R 剟
44.解析 因为{1,2,6},{2,4}A B ==，所以{1,2,6}{2,4}{1,2,4,6}A B ==U U ， 从而(){1,2,4,6}[1,5]{1,2,4}A B C =-=U I I .故选B ．
45.(2017北京理1)若集合{}–2<1A x x =<，{}–13B x x x =<>或，则A B =I （ ）. A.{}–2<1x x <- B.{}–2<3x x <
C.{}–1<1x x <
D.{}1<3x x <
45.解析 画出数轴图如图所示，则{}21A B x x =-<<-I .故选A.
46.（2017全国1理1）已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则（ ）. A. {}0A B x x =<I B. A B =R U C. {}
1A B x x =>U D. A B =∅I
3
1-1-2
解析 {}1A x x =<，{}{}310x B x x x =<=<，所以{}0A B x x =<I ，{}1A B x x =<U . 故选A.
47.（2017全国2理2）设集合{}1,2,4A =，{}
240B x x x m =-+=.若1A B =I ，则B =（ ）.
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
47.解析 由题意知1x =是方程240x x m -+=的解，代入解得，所以的解为或，从而.故选C.
48.（2017全国3理1）已知集合A =，，则中元素的个数为（ ）. A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
48.解析 集合表示圆上所有点的集合，表示直线上所有点的集合，如图所示，所以表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即元素的个数为2.故选B.
49.（2017山东理1）设函数的定义域，函数的定义域为，则（ ）.
A. B. C. D.
49.解析 由，解得，所以.由，解得，所以.从而.故选D.
50.(2017浙江理1)已知集合
{}11P x x =-<<，{}02Q x x =<<，那么P Q =
U （ ）.
A.()1,2-
B.()01，
C.()1,0-
D.()1,2
50.解析 P Q U 是取,P Q 集合的所有元素，即12x -<<.故选A ． 3m =2430x x -+=1x =3x ={}13B =，{}22(,)1x y x y +={
}(,)B x y y x ==A B I A 221x y +=B y x =A B I A B
I
y =A ()ln 1y x =-B A B =I ()1,2(]1,2()2,1-[)2,1-240x -…22x -剟
[]22A =-，10x ->1x <(),1B =-∞{}{}{}=|22|1|21A B x x x x x x -<=-<I I 剟?
51.（2018全国2卷理科2）已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+∈∈Z Z}≤，则A 中元素的个数为（ ）.
A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
51. 解析 由题知，集合A 中的元素是圆223x y +=及其内部的整数点，有()0,1，()0,1-，()1,0，()1,0-，()1,1，()1,1-，()1,1-，()1,1--，()0,0，共9个.故选A.
52.（2018全国III 卷理科1）已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，
，，则A B =I （ ）. A ．{}0 B ．{}1 C ．{}12， D ．{}012，
， 52. 解析 {}|1A x x =≥，{}012B =，
，，所以A B =I {}12，.故选C. 53.（2018全国I 卷理科2）已知集合{}2|20A x x x =-->，则A =R ð
A ．{}|12x x -<<
B ．{}|12x x -≤≤
C ．{}{}|1|2x x x x <->U
D ．{}{}|1|2x x x x -U ≤≥ 53.解析 解不等式220x x -->，得1x <-或2x >，所以{}12A x x =-R ð剟
.故选B. 54.（2018江苏1）已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =I ▲ ．
54.解析 {1,8}A B =I .
55.（2018北京理1）已知集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B =-，则A B =I ( ).
（A ）{}0,1
（B ）{}1,0,1- （C ）{}2,0,1,2-
（D ）{}1,0,1,2-
55.解析 因为 {}{}
222A x x x x =<=-<< {}2,0,1,2B =-
则{}0,1A B =I .故选A. 56.（2018北京理20）设n 为正整数，集合(){}{}
12,,,0,1,1,2,n k A t t t t k n αα==∈=L L .对于集合A 中的任意元素()12,,n x x x α=L 和()12,,n y y y β=L ，记 ()()()()111122221,2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ⎡⎤=+--++--+++--⎣
⎦L . （1）当3n =时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求(),M αα和(),M αβ的值；
（2）当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α，β，当α，β相同时，(),M αβ是奇数，当α，β不同时，(),M αβ是偶数.求集合B 中元素个数的最大值；
（3）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，(),0M αβ=.写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由.
56.解析（1）因为()110α=，
，，()011β=，，， 所以()()()(),11|11|11|11|00|0012|2M αα=⎡+--++--++--⎤=⎣
⎦， ()()()(),10|10|11|11|01|0112|1M αβ=⎡+--++--++--⎤=⎣
⎦． （2）设()1234x x x x B α=∈，，，，则()1234,M x x x x αα=+++．
由题意知{}123401x x x x ∈，，，，
，且(),M αα为奇数， 所以1234x x x x ，，，中1的个数为1或3．
所以()()()()()()()(){}10000100001000010111101111011110B ⊆，，，,，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，，. 将上述集合中的元素分成如下四组：
()1000，
，，，()1110，，，；()0100，，，，()1101，，，；()0010，，，，()1011，，，；()0001，，，，()0111，，，. 经验证，对于每组中两个元素α，β，均有(),1M αβ=.
所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．
所以集合B 中元素的个数不超过4.
又集合()()()(){}1000010000100001，，，,，，，，，，，，，，，满足条件，
所以集合B 中元素个数的最大值为4.
（3）设()(){1212121 10,k n n k k S x x x x x x A x x x x -=⋯⋯∈===⋯==，，，，，，，，
()}12k n =⋯，
，，， (){}112120n n n S x x x x x x +=⋯==⋯==，，，，
则121
n A S S S +=⋯U U U ． 对于()121k S k n =⋯-，
，，中的不同元素α，β，经验证，(),1M αβ…. 所以()121k S k n =⋯-，
，，中的两个元素不可能同时是集合B 的元素． 所以B 中元素的个数不超过1n +.
取()12e k n k x x x S =⋯∈，，
，且()10121k n x x k n +=⋯===⋯-，，，. 令{}1211e e e n n n B S S -+=⋯U U ，，
，，则集合B 的元素个数为1n +，且满足条件. 故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．
57.（2018天津1）设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()A B =
R I ð( ). (A) {01}x x <≤ (B) {01}x x << (C) {12}x x ≤< (D) {02}x x <<
57.解析 由题意可得：{}1B x x =<R ð，
结合交集的定义可得：(){01}A B x =<<R I ð.故选B
58.（2018浙江1）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则（ ）.
A ．
B ．{1，3}
C ．{2，4，5}
D ．{1，2，3，4，5}
58.C 59.(2019全国Ⅰ理)已知集合}2
42{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N I = A ．}{43x x -<<
B ．}42{x x -<<-
C ．}
{22x x -<< D ．}{23x x << 59.解析：依题意可得，2426023{|}{|}{}
|M x x N x x x x x =-=--=-＜＜，＜＜＜， 所以2|}2{M N x x =-I ＜＜． 故选C ．
60.(2019全国Ⅱ理)设集合A ={|2-5+6>0}，B ={ |-1<0}，则A ∩B =
A ．(-∞，1)
B ．(-2，1)
C ．(-3，-1)
D ．(3，+∞) 60.解析：由{}2560(,2)(3,)A x x x =-+>=-∞+∞U ，{}
10(,1)A x x =-<=-∞，则(,1)A B =-∞I .故选A.
61.(2019全国Ⅲ理)已知集合2
{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =I
A ．{}1,0,1-
B ．{}0,1
C ．{}1,1-
D ．{}0,1,2 61.解析 因为{}1,0,1,2A =-，2{|1}{|1
1}B x x x x ==-剟?，
所以{}1,0,1A B =-I ．故选A ． 62.（2019江苏）已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I .
62.解析 因为{}1,0,1,6A =-，{}|0,B x x x =>∈R ，
所以{}{}{}1,0,1,6|0,1,6A B x x x =->∈=R I I .
=U A ð∅
63.（2019浙江）已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B I ð=
A ．{}1-
B ．{}0,1?
C ．{}1,2,3-
D ．{}1,0,1,3-
63.解析：{1,3}U A =-ð，{1}U A B =-I ð
.故选A ． 64.(2019天津理1)设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R „，则()A C B =I U
A.{}2
B.{}2,3
C.{}1,2,3-
D.{}1,2,3,4
64.解析 设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}
13C x x =∈<R „， 则{}1,2A C =I . 又{}2,3,4B =， 所以{}{}{}{}1,22,3,41,2,3,4A C B ==I U U .
故选D.
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
题型4 四种命题及真假关系
1. (2013重庆理2）命题“对任意x ∈R ，都有20x ≥”的否定为（ ）.
A. 对任意x ∈R ，都有2<0x
B. 不存在x ∈R ，都有2<0x
C. 存在0x ∈R ，都有200x ≥
D. 存在0x ∈R ，使得20<0x 2. (2013天津理4）已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原的12， 则其体积缩小到原的18
； ②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等；
③直线10x y ++=与圆2212
x y +=
相切． 其中真命题的序号是（ ）.
A ．①②③
B ．①②
C ．①③
D ．②③
3．（2013四川理4）设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ）
A.:,2p x A x B ⌝∃∈∉
B.:,2p x A x B ⌝∀∉∉
C.:,2p x A x B ⌝∃∉∈
D.:,2p x A x B ⌝∃∈∈
4. (2013陕西理3）设，a b 为向量，则 “a b ⋅=a b ” 是 “∥a b ” 的（ ）.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.（2013湖北理3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）.
A ．()p ⌝∨()q ⌝
B ．p ∨()q ⌝
C ．()p ⌝∧q ⌝ D.p q ∨
6. (2013安徽理4）“0a ≤”是“函数()()1f x ax x =-在区间()0+∞，内单调递增”的（ ）.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7.(2013山东理7) 给定两个命题p ，q ，若p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q ⌝的（ ）.
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. (2013福建理2) 已知集合{}a A ,1=，{}3,2,1=B ，则
”“3=a 是”“B A ⊆的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
9.（2014 重庆理 6）已知命题 :p 对x ∀∈R ，总有20x >；:q “1x >”是“2x >”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）.
A. p q ∧
B. p q ⌝∧⌝
C. p q ⌝∧
D. p q ∧⌝
9.解析 p 为真命题，q 为假命题，故p ⌝为假命题，q ⌝为真命题.从而p q ∧为假，p q ⌝∧⌝为假，p q ⌝∧为假，p q ∧⌝为真.故选D.
10.（2014 浙江理 2）已知i 是虚数单位， ,a b ∈R ，则“1a b ==”是
“()2
i 2i a b +=”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
10.解析 当1a b ==时，有()21i 2i +=，即充分性成立.当()2
i 2i a b +=时，有22
2i 2i a b ab -+=，得220,1,a b ab ⎧-=⎨=⎩解得1a b ==或1a b ==-，即必要性不成立，故选
A.
评注 本题考查复数的运算，复数相等的概念，充分条件与必要条件的判定，属于容易题.
11.（2014 新课标1理9）不等式组124
x y x y +⎧⎨-⎩…„的解集记为D .有下面四个命题： 1p ：(),x y D ∀∈，22x y +-…；2p ：(),x y D ∃∈，22x y +…
； 3p ：(),x y D ∀∈，23x y +„； 4p ：(),x y D ∃∈，21x y +-„.
其中真命题是（ ）.
A. 2p ，3p
B. 1p ，4p
C. 1p ，2p
D. 1p ，3p
11.解析 不等式组1,24
x y x y +⎧⎨-⎩…„表示的平面区域D 如图阴影区域所示.设2z x y =+，作出基本直线0l ：20x y +=，经平移可知直线l ：2z x y =+经过点()2,1A -时z 取得最小值0，无最大值.对于命题1p ：由于z 的最小值为0，
所以(),x y D ∀∈，20x y +…恒成立，故22x y +-…恒成立，因此命题为真命题；由于，故，，因此命题为真命题；由于的最小值为，无最大值，故命题和错误，故选B.
12.（2014 天津理7）设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ）.
A.充要不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充要也不必要条件
12.解析 先证“a b >” ⇒“a a b b >”.若0a b >…，则22a b >，即a a b b >；若0a b >…，则0a a b b >…；若0a b >>，则22a b <，即a a b b ->-，从而a a b b >. 再证“a a b b >” ⇒“a b >”.若a ，0b …，则由a a b b >，得22a b >，故a b >；
若a ，0b „，则由a a b b >，得22a b ->-，即22a b <，故a b >；若0a …，0b <，则a b >.而0a <，0b …时，a a b b >不成立.
1p (),20x y Dx y ∀∈+…(),x y D ∃∈22x y +…2p 2z x y =+03p 4
p 2y =0x-2y=4
综上，“a b >”是“a a b b >”的充要条件.
13.（2014 陕西理8）原命题为若12,z z 互为共轭复数，则“12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）.
A. 真，假，真
B. 假，假，真
C. 真，真，假
D. 假，假，假
13.解析 先证原命题为真；当1z ，2z 互为共轭复数时，设()1i ,z a b a b =+∈R ，则
2i z a b =-，则12z z ==题为假：取11z =，2i z =，满足12z z =，但是1z ，2z 不是互为共轭复数，所以其逆命
题为假，故其否命题也为假. 故选B.
14.（2014 山东理4）用反证法证明命题“设,a b ∈R ，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是（ ）.
A.方程02=++b ax x 没有实根
B.方程02=++b ax x 至多有一个实根
C.方程02=++b ax x 至多有两个实根
D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根
14.解析 因为“方程20x ax b ++=至少有一个实根”等价于“方程20x ax b ++=的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是方程20x ax b ++=没有实根.
15.（2014 辽宁理5）设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0⋅=a b ，0⋅=b c ，则0⋅=a c ；命题q ：若//a b ，//b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）.
A ．p q ∨
B ．p q ∧
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()p q ∨⌝
15.解析 由题意知命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以p q ∨为真命题. 故选A.
16.（2014 湖南理 5）已知命题:p 若x y >，则x y -<-；命题:q 若x y <，则22x y >.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∨⌝；④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）.
A.①③
B.①④
C.②③
D. ②④
16.解析 由不等式性质知：命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而⌝p 为假命题，⌝q 为真命题.故p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，()p q ∧⌝为真命题，()p q ⌝∨为假命题.
故选C.
评注 本题考查命题及简单逻辑联结词、不等式的性质，简单命题和复合命题真假的判断，考查逻辑推理能力.
17.（2017山东理3）已知命题:p ，；命题若a ＞b ，则
0x ∀>()ln 10x +>:q
，下列命题为真命题的是（ ）.
A. B. C. D.
17.解析 由011x x >⇒+>，所以恒成立，故为真命题；
令，，验证可知，命题为假.故选B.
18.（2018上海14）已知a ∈R ，则“1a >”是“
11a <”的（ ）. （A ）充分非必要条件
（B ）必要非充分条件
（C ）充要条件
（D ）既非充分又非必要条件
18.解析 111a a >⇒<，充分性成立；若11a <，即10a a
-<，解得1a >或0a <，因此必要性不成立.故选A. 19.（2018北京理8）设集合(){},1,4,2A x y x y ax y x ay =-+>-厔
，则( ). （A ）对任意实数a ，()2,1A ∈ （B ）对任意实数a ，()2,1A ∉
（C ）当且仅当0a <时，()2,1A ∉
（D ）当且仅当32a „时，()2,1A ∉ 19.解析 若()2,1A ∈，则32a >
且0a ≥，即若()2,1A ∈，则32a >， 此命题的逆否命题为：若32
a „
，则有()2,1A ∉，故选D.
题型5 充分条件、必要条件、充要条件的判断
1.（2014 湖北理 3） 设U 为全集，,A B 是集合，则“存在集合C 使得
,U A C B C ⊆⊆ð是“A B C =I ”的（ ）.
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
1.解析 由韦恩图易知充分性成立.反之，A B =∅I 时，不妨取U C B =ð，此时A C ⊆.必要性成立. 故选C.
2.（2014 福建理 6）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则
22a b >p q ∧p q ∧⌝p q ⌝∧p q ⌝∧⌝ln(1)0x +>p 1a =2b =-q
“1k =”是“ABC △的面积为12
”的（ ）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件
2.解析 当1k =时，:1l y x =+，由题意不妨令()1,0A -，()0,1B ， 则111122
AOB S =⨯⨯=△，所以充分性成立；当1k =-时，:1l y x =-+，也有12
AOB S =△，所以必要性不成立. 3.（2014 安徽理 2）“0x <”是“()ln 10x +<”的（ ）.
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.（2015陕西）“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）．
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要
4.解析 当sin cos αα=时，
()()22cos2cos sin cos sin cos sin 0ααααααα=-=+-=，
即sin cos cos20ααα=⇒=；
当cos20α=时，所以cos sin 0αα+=或cos sin 0αα-=.即cos20α=不能推出sin cos αα=.故选A.
5.（2015重庆理4）“1x >”是“12
og ()l 20x +<”的（ ）.
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
5.解析 因为1>x ，所以32>+x ．故选B ．
6.（2015天津理4）设x ∈R ，则“21x -< ”是“2
20x x +->”的（ ）. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.解析
2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<，2202x x x +->⇔<-或1x >， 所以“21x -<” 是“220x x +->”的充分不必要条件.故选A.
7.（2015安徽理3）设:1<<2p x ，:21x q >，则p 是q 成立的（ ）.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.解析 由0212x >=得0x >，所以p q ⇒，但q p ⇒/，所以
p 是q 的充分不必要条
件．故选A ．
8.（2015陕西理6）“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）．
A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要
8.解析 当sin cos αα=时， ()()22cos2cos sin cos sin cos sin 0ααααααα=-=+-=，
即sin cos cos20ααα=⇒=；
当cos20α=时，有()()cos sin cos sin 0αααα+-=，所以cos sin 0αα+=或 cos sin 0αα-=.即cos20α=不能推出sin cos αα=.故选A.
9.（2015北京理4）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，“//m β”是“//αβ”的（ ）.
A. 充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
9.解析 根据面面平行的性质，若两个面平行，则一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行；根据面面平行的判定，若一个平面的两条相交直线分别平行另一个平面.才能推出面面平行，所以“//m β”是“//αβ”的必要不充分条件.故选B.
10.（2015福建理7）若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“//l α”的（ ）.
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10.解析 若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α”的必要不充分条件．故选B ．
11.（2015湖北理5）设12,,,n a a a ∈R L ，3n …
. 若p ：12,,,n a a a L 成等比数列； q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ，则（ ）
． A. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
B ．
p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C ．
p 是q 的充分必要条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
11.解析 由柯西不等式知
22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++++++L L L …
， 当且仅当存在常数K 使得1(1)i i a Ka i +=…时取等号，若12,,,n a a a L 成等比数列存在常数 1
=K q （q 为公比）使得1(1)i i a Ka i +=…，即p q ⇒，i =0a 时1(1)i i a Ka i +=…，
此时12,,,n a a a L 不成等比数列，即q 不能推出p .故选A.
12.（2016山东理6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.A 解析 由直线a 和直线b 相交，可知平面αβ,有公共点，所以平面α和平面β相交.反过，如果平面α和平面β相交，直线a 和直线b 不一定相交，可能与两平面的交线都平行.故选A.
13.（2016上海理15）设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的（ ）.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
13.A 解析 由题意2
11a a >⇔>或1a <-，因此211a a >⇒>，211a a >⇒>.
故选A. 14.（2016四川理7）设p ：实数x ，y 满足22(1)+(1)2x y --„；q ：实数x ，y 满足
111y x y x y -⎧⎪-⎨⎪⎩
……„，则p 是q 的（ ）.
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
14.A 解析 画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC △在命题p 中不等式表示的圆盘内所以q p Ü.故选A.
15.（2017天津理4）设，则“ππ1212θ-
<”是“”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15.解析
.但，，不满足，所以“”是“”的充分不必要条件.故选A. 16.(2017北京理6)设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ）.
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
16.解析 若，使，即两向量方向相反，夹角为，则.若
，也可能夹角为，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A.
17.(2017浙江理6)已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的（ ）.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
17.解析 46111466151021S S a d a d a d +=+++=+，5121020S a d =+. 当0d >时，有4652S S S +>，当4652S S S +>时，有0d >．故选C ．
18.（2018北京理6）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“⊥a b ”的( ). （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
18.解析 充分性：|3||3|-=+a b a b ，
θ∈R 1
sin 2
θ<ππ10sin 121262θθθπ-
<⇔<<⇒<0θ=1
sin 2
θ<ππ1212θ-
<ππ1212θ-<1sin 2
θ<m n λλ=m n 0<⋅m n 0λ∃<λ=m n 180o 0⋅<m n 0⋅<m n (90,180⎤⎦o
o
2222||69||9||6||-⋅+=+⋅+a a b b a a b b ，
又||||1==a b ，可得0⋅=a b ，故⊥a b . 必要性：⊥a b ，故0⋅=a b ，
所以2222||69||9||6||-⋅+=+⋅+a a b b a a b b ， 所以33-=+a b a b ．故选C. 19.（2018天津4）设R x ∈，则“11
||22
x -<”是“31x <”的（ ）. (A)充分而不必要条件 (B)必要而不重复条件 (C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件 19.解析 绝对值不等式11111
||0122222
x x x -<⇔-<-<⇔<< ， 由3
11x x <⇔< . 据此可知11
||22
x -
<是31x <的充分而不必要条件. 故选A. 20.（2019全国Ⅱ理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线
D ．α，β垂直于同一平面
20.解析：对于A ，α内有无数条直线与β平行，则α与β相交或βα∥，排除； 对于B ，α内有两条相交直线与β平行，则βα∥；
对于C ，α，β平行于同一条直线，则α与β相交或βα∥，排除； 对于D ，α，β垂直于同一平面，则α与β相交或βα∥，排除． 故选B ．
21.（2019北京理7）设点A ,B ,C 不共线，则“与
的夹角是锐角”是“AB AC BC +>uu u r uuu r uu u r
”
的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
AC BC AB AC AB AC +>⇔+>-u r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r
220AB AC AB AC AB AC ⇔+>-⇔⋅>⇔uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r
“AB uu u r 与AC uuu r 的夹角为锐角”.
所以“AB uu u r 与AC uuu
r AC +>u r uuu r uu r 22.（2019天津理3）设x ∈R ，则“2
50x x -<”是“|1|1x -<”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11-<，得02x <<， 因为05x <<不能推出02x <<， 但02x <<可以推出05x <<，
所以05x <<是02x <<的必要不充分条件， 即0x <<11-<的必要不充分条件. 故选B ．
题型6 充分条件、必要条件中的含参问题
1.（2014 四川理 15）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈.现有如下命题：
①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =”
； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；
③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则
()()f x g x B +∉；
④若函数()()2ln 21
x
f x a x x =++
+()2,x a >-∈R 有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号）
1. 解析 依题意可直接判定①正确；令()(]()
2,1x f x x =∈-∞，显然存在正数2，使得
()f x 的值域(][]0,22,2⊆-，但()f x 无最小值，②错误；假设()()f x g x B +∈，则
存在正数M ，使得当x 在其公共定义域内取值时，有()()f x g x M +„， 则()()f x M g x -„，又因为()g x B ∈，则存在正数1M ，使()[]
11,g x M M ∈-，
所以()1g x M -„，即()1M g x M M -+„，所以()1f x M M +„，与()f x A ∈矛盾，③正确；当0a =时，()211,122x f x x ⎡⎤=
∈-⎢⎥+⎣⎦
，即()f x B ∈，当0a ≠时，因为()ln 2y a x =+的值域为(),-∞+∞，而
211,122x x ⎡⎤
∈-⎢⎥+⎣⎦
，此时()f x 无最大值，故0a =，④正确.
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型7 判断含逻辑联结词的命题的真假
1.（2015浙江理6）设,A B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-U I ，其中
()card A 表示有限集A 中的元素个数，
命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C +„． 下列判断正确的是（ ）．
A. 命题①和命题②都成立
B. 命题①和命题②都不成立
C. 命题①成立，命题②不成立
D. 命题①不成立，命题②成立 1.解析 (,)d A B 实际表示的是只在A 中或只在B 中的元素个数.
对命题①，当A B ≠时，至少有1个元素只在A 中或只在B 中，所以(,)0d A B >；
对命题②，如图所示，记图中的各个区域内的元素个数是()1,2,...,7i S i =且0i S …
， 所以1245(,)d A C S S S S =+++，
1346(,),d A B S S S S =+++2356(,)d B C S S S S =+++，
所以123456(,)(,)22d A C d B C S S S S S S +=+++++…
1245(,)S S S S d A C +++=，所以命题②也成立.
综上所述，故选A.
题型8 全（特）称命题
1.（2015全国I 理3）设命题:p n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（ ）. A ．n ∀∈N ，22n n > B ．n ∃∈N ，22n n „ C ．n ∀∈N ，22n n „ D ．n ∃∈N ，22n n =
1.解析 存在的否定是任意，大于的否定是小于等于，所以:N p n ⌝∀∈，22n n „． 故选C ．
2.（2015浙江理4）命题“**
,()f n n ∀∈∈N N 且()f n n „的否定形式是（ ）． A. **,()f n n ∀∈∈N N 且()f n n > B. **
,()f n n ∀∈∈N N 或()f n n >
C. **00,()f n n ∃∈∈N N 且00()f n n >
D. **
00,()f n n ∃∈∈N N 或00()f n n >
2.解析 命题的否定，要将“∀”改为“∃”，所以原命题的否定形式为
**00,()f n n ∃∈∈N N 或00()f n n >.故选D ．
3.（2016浙江理4）命题“*
x n ∀∈∃∈R N ，，使得2
n x ≥”的否定形式是（ ）. A.*
x n ∀∈∃∈R N ，，使得2
n x < B.*
x n ∀∈∀∈R N ，，使得2
n x < C.*
x n ∃∈∃∈R N ，，使得2
n x < D.*
x n ∃∈∀∈R N ，，使得2
n x <
3.D 解析 命题的否定，先否定量词，在否定结论.∀的否定是∃，∃的否定是∀，
2n x …的否定是2n x <.故原命题的否定形式为*x n ∃∈∀∈R N ，，使得2n x <.故选D.
题型9 根据命题真假求参数的范围——暂无。