高中数学 第一章 算法初步 1.1 算法的含义学案 苏教版必修3

1.1 算法的含义
1．通过实例体会算法的思想，了解算法的含义．(重点) 2．能按步骤用自然语言写出简单问题的算法过程．(重点、难点) 3．了解算法的主要特点．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 算法的概念
阅读教材P 5“例1”以上部分及P 6“练习”上面一段，完成下列问题． 1．算法的概念
对于一类问题的机械的和统一的求解方法称为算法． 2．算法的范围
(1)我们过去学习的许多数学公式都是算法，加、减、乘、除运算法则以及多项式的运算法则也是算法．
(2)算法是解决问题的步骤与过程，这个问题不仅仅限于数学问题．
判断正误：
(1)“从济南到巴黎可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达”是算法．( ) (2)“利用公式S ＝1
2ah 计算底为1，高为2的三角形的面积”是算法．( )
(3)“1
2
x >2x ＋4”是算法．( )
【解析】 (1)√.表示了从济南到巴黎的步骤，故是算法． (2)√.表示了求三角形面积的过程，故是算法． (3)×.没有体现出解决问题的过程与步骤，故不是算法． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× 教材整理2 算法的特征
阅读教材P 5～P 6倒数第二段，完成下列问题．
1．有限性：一个算法的步骤是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的． 2．确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行，可以得到确定的结果，
而不是模棱两可．
3．不唯一性：求解某一个问题的算法不一定是唯一的，可以有不同的算法，当然这些算法有繁简之分、优劣之别．
4．普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决．
判断正误：
(1)求解某类问题的算法是唯一的．( )
(2)算法一定在有限个步骤后就能完成．( )
(3)算法执行后必产生确定的结果．( )
【解析】(1)×.由算法的不唯一性，知(1)不正确．
(2)√.由算法的有穷性，知(2)正确．
(3)√.由算法的确定性，知(3)正确．
【答案】(1)×(2)√(3)√
[小组合作型]
(1)下列对算法的理解正确的是________．(填上所有正确说法的序号)
①算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题)；
②算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果；
③算法一般是机械的，有时要进行大量重复计算，它的优点是一种通法；
④任何问题都可以用算法来解决．
(2)给出下列叙述：
①发电子邮件：先打开电子信箱，点击写邮件，输入发送地址，输入信件内容，然后点击发送；
②解一元二次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、求解；
③方程x2－1＝0有两个根；
④求1＋2＋3＋4的值，先算1＋2＝3，再计算3＋3＝6,6＋4＝10，最终结果为10.
其中是算法的是________．(写出所有是算法的叙述的序号)
【精彩点拨】(1)审题→结合算法的特征→得出结论
(2)审题→验证是否符合算法的概念→得出结论
【自主解答】 (1)由于算法要求必须在有限步骤内求解某类问题，所以并不是任何问题都可以用算法解决．例如求1＋12＋13＋14＋…＋1
n
＋…，故④不正确．
(2)算法强调的是解决一类问题的方法和步骤，选项③只陈述了有两个根的事实，没有解决如何求两个根的问题，所以不能看成算法．
【答案】 (1)①②③ (2)①②④
1．判断是不是算法时，关键是正确理解算法的概念，看是否是解决问题的过程与步骤． 2．注意算法的特征：有限性、确定性、不唯一性、普遍性．
[再练一题]
1．给出下列四种叙述，其中是算法的是________．(填序号)
①学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题；
②今天餐厅的饭真好吃； ③这道数学题难做；
④方程2x 2
－x ＋1＝0无实数根．
【解析】 ①是学习数学的一个步骤，所以是算法． 【答案】 ①
已知直线12l 1，l 2，y 轴围成的三角
形的面积．写出解决本题的一个算法．
【精彩点拨】 解此题可按以下思路：
(1)求出l 1，l 2的交点坐标；(2)求l 1，l 2与y 轴的交点的纵坐标，即得到三角形的底；(3)求三角形的高，根据面积公式求面积．
【自主解答】 第一步 解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x －y ＋12＝0，
3x ＋2y －6＝0得l 1，l 2的交点P (－2,6)；
第二步 在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0得y ＝12，从而得到A (0,12)； 第三步 在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0得y ＝3，得到B (0,3)； 第四步 求出△ABP 底边AB 的长|AB |＝12－3＝9； 第五步 求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2； 第六步 代入三角形的面积计算公式S ＝1
2
|AB |·h ；
第七步 输出结果．
设计一个与数学有关的问题的算法，通常按以下步骤：
分析题意，找出解决此题的一般数学方法； 借助有关变量或参数对算法加以表述； 将解决问题的过程划分为若干步骤； 用简练的语言将这个步骤表示出来.
[再练一题]
2．设计一个算法，求底面边长为42，侧棱长为5的正四棱锥的体积. 【解】 第一步 取a ＝42，l ＝5； 第二步 计算R ＝2·a
2；
第三步 计算h ＝l 2
－R 2
； 第四步 计算S ＝a 2； 第五步 计算V ＝1
3Sh ；
第六步 输出运算结果．
[探究共研型]
探究1 在计算S
【提示】 不能用算法来求解．因为算法的设计要求步骤是可行的，并且在有限步之内就能完成任务，而这一求和是无限求和，故无法设计算法求解．
探究2 已知直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，能否设计一个求该三角形周长的算法？如何设计？
【提示】 能设计一个算法来求三角形的周长．具体如下：第一步：计算斜边c ＝a 2＋b 2
；第二步：计算周长l ＝a ＋b ＋c ；第三步：输出l .
某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计算方法是：3人或3人以下的
住房，每月收取5元；
超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费．
【精彩点拨】 设出变量→转化为分段函数问题→ 根据设计算法的规则求解→答案
【自主解答】 设某户有x 人，根据题意，应收取的卫生费y 是x 的分段函数，
即y ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
5， x ≤3，1.2x ＋1.4， x >3.
算法如下：
第一步 输入人数x ； 第二步 如果x ≤3，则y ＝5， 如果x >3，则y ＝1.2x ＋1.4； 第三步 输出应收卫生费y .
解决用设计算法的方法解决应用性问题时，首先应建立起相应模型，然后根据模型完成算法，解题时要注意每步需用简练的语言来表述.
[再练一题] 3．给出下列算法： 第一步 输入x 的值；
第二步 当x >4时，计算y ＝x ＋2；否则执行下一步； 第三步 计算y ＝4－x ； 第四步 输出y .
当输入x ＝0时，输出y ＝________.
【解析】 由于x ＝0>4不成立，故y ＝4－x ＝2. 【答案】 2
1．下列不是算法的是________．(填上所有正确的序号)
①解方程2x －6＝0的过程是移项和系数化为1； ②从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机； ③解方程2x 2
＋x －1＝0；
④利用公式S ＝πr 2
计算半径为3的圆的面积．
【解析】 ①②④中给出了解决问题的过程与步骤，是算法；③中没有给出解方程的步骤，故不是算法．
【答案】 ③
2．计算下列各式中S 的值，能设计算法求解的是________．(填上所有正确的序号) ①S ＝12＋14＋18＋ (12100)
②S ＝12＋14＋18＋…＋1
2
100＋…；
③S ＝12＋14＋18＋…＋12
n (n ≥1且n ∈N *
)．
【解析】 因为算法的步骤是有限的，所以②不能设计算法求解． 【答案】 ①③
3．已知直角三角形两直角边长为a ，b ，求斜边长c 的一个算法分下列三步： ①计算c ＝a 2
＋b 2；
②输入直角三角形两直角边长a ，b 的值； ③输出斜边长c 的值．
其中正确的顺序是________．(填序号)
【解析】 算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算．
【答案】 ②①③
4．写出解方程2x ＋3＝0的一个算法过程．
第一步 ______________________________________________________； 第二步 ______________________________________________________. 【答案】 将常数项3移到方程右边得2x ＝－3 在方程两边同时除以2，得x ＝－32
5．某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c ＝
⎩⎪⎨⎪⎧
0.53ω， ω≤50，50×0.53＋ω－
， ω＞50.
其中ω(单位：kg)为行李的重量，如何设计计算费用c (单位：元)的算法． 【解】 算法步骤如下：
第一步输入行李的重量ω；
第二步如果ω≤50，那么c＝0.53ω；
如果ω＞50，那么c＝50×0.53＋(ω－50)×0.85；第三步输出运费c.。