《走向高考》：2012届高三数学一轮复习阶段性测试题(北师大版) (2)

阶段性测试题二(函数与基本初等函数)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2010·安徽卷)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2
[答案] A
[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，故选A. 2．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )ln x 的定义域是( )
A ．[0,1]
B ．[0,1)
C ．[0,1)∪(1,4]
D ．(0,1)
[答案] D
[解析] 因为f (x )的定义域为[0,2]，所以对g (x )有⎩⎪⎨⎪⎧
0≤2x ≤2
x >0且x ≠1
，故x ∈(0,1)．
3．(2011·沈阳一模)若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )
A ．a ＝－1或3
B ．a ＝－1
C ．a >3或a <－1
D ．－1<a <3
[答案] B
[解析] 若a 2－2a －3≠0，则f (x )为二次函数，定义域和值域都为R 是不可能的． 若a 2－2a －3＝0，即a ＝－1或3； 当a ＝3时，f (x )＝1不合意；
当a ＝－1时，f (x )＝－4x ＋1符合题意．
4．(2011·鞍山模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x (x >0)3x (x ≤0)，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是( ) A ．9 B.1
9 C ．－9
D ．－19
[答案] B
[解析] f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f ⎝⎛⎭⎫log 214＝f (－2)＝3－2＝19
. 5．(2011·上海模拟)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 与函数g (x )＝log 1
2|x |在区间(－∞，0)上的单调性为( ) A ．都是增函数
B ．都是减函数
C ．f (x )是增函数，g (x )是减函数
D ．f (x )是减函数，g (x )是增函数
[答案] D
[解析] f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，0)上为减函数，g (x )＝log 12(－x )在(－∞，0)上为增函数． 6．(2010·天津卷)设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c [答案] D
[解析] 本题考查了以对数为载体，比较实数大小的问题． ∵1>log 54>log 53>0，∴1>log 54>log 53>(log 53)2>0， 而log 45>1，∴c >a >b .
7．(2011·上海二模)已知函数f 1(x )＝a x ，f 2(x )＝x a ，f 3(x )＝log a x (其中a >0，且a ≠1)在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限的图像，其中正确的是( )
[答案] B
[解析] 从选项A 可看出两图像应为f 1(x )＝a x 与f 2(x )＝x a ，由f 1(x )的图像知a >1，由f 2(x )图像知a <0， ∴A 不正确；
对于选项B ，图像应为f 2(x )＝x a 与f 3(x )＝log a x ， 由f 2(x )的图像知a >1，
由f 3(x )的图像知a >1，可能正确．
对于选项C ，表示f 1(x )＝a x 与f 3(x )＝log a x 的图像，
由f 1(x )知a >1， 由f 3(x )知0<a <1， ∴C 选项不正确．
对于选项D ，表示f 2(x )＝x a 与f 1(x )＝a x 两函数的图像，由f 2(x )＝x a 与f 1(x )＝a x 两函数的图像，由f 2(x )的图像知a >1，由f 1(x )的图像知0<a <1，
∴D 选项不正确．
8．(2010·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( ) A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3＋∞) D ．[3，＋∞)
[答案] C
[解析] 因为f (a )＝f (b )，所以|lg a |＝|lg b |，所以a ＝b (舍去)，或b ＝1a ，所以a ＋2b ＝a ＋2a
，
又0<a <b ，所以0<a <1<b ，令g (a )＝a ＋2
a ，由“对勾”函数的性质知函数g (a )在a ∈(0,1)上为减函数，
所以g (a )>g (1)＝1＋2
1
＝3，即a ＋2b 的取值范围是(3，＋∞)．
9．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1
f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝( )
A ．－5
B ．－1
5
C.15 D ．5
[答案] B
[解析] 显然由f (x ＋2)＝1
f (x )⇒f (x ＋4)＝f (x )，说明函数的周期为4，f (f (5))＝f (f (1))＝f (－5)＝f (－1)＝f (3)
＝f (1＋2)＝1f (1)
＝－1
5.
10．(2011·海淀模拟)定义在R 上的函数f (x )，如果存在函数g (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数)，使得f (x )≥g (x )对一切实数x 都成立，则称g (x )为函数f (x )的一个承托函数．现有如下命题：
①对给定的函数f (x )，其承托函数可能不存在，也可能有无数个； ②g (x )＝2x 为函数f (x )＝2x 的一个承托函数； ③定义域和值域都是R 的函数f (x )不存在承托函数． 其中正确的命题是( ) A ．① B ．② C ．①③
D ．②③
[答案] A
[解析] 对于①，若f (x )＝sin x ，则g (x )＝B (B <－1)，
就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y ＝tan x ，y ＝lg x 就没有承托函数，∴命题①正确． 对于②，∵当x ＝32时，g ⎝⎛⎭⎫32＝3，f ⎝⎛⎭⎫32＝232＝22＝8，∴f (x )<g (x )， ∴g (x )＝2x 不是f (x )＝2x 的一个承托函数． 对于③如f (x )＝2x ＋3存在一个承托函数y ＝2x ＋1.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(2010·广东卷)函数f (x )＝lg(x －2)的定义域是________． [答案] {x |x >2}
[解析] 由x －2>0得x >2，∴函数f (x )＝lg (x －2)的定义域为{x |x >2}．
12．(2011·九江联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋1，x ≥0
1，x <0
，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是
________．
[答案] (－1，2－1)
[解析] 本题以分段函数为载体，考查函数的单调性及一元二次不等式的解法，求解的关键在于正确利用函数的性质进行等价转化．
由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2
>0
2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧
1－x 2>2x 2x ≥0
，解得－1<x <0或0≤x <2－1，∴所求x 的取值范围为(－1，2－
1)．
13．(2011.4·吉安二模)若函数f (x )＝2－|x －1|
－m 的图像与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是________．
[答案] 0<m ≤1
[解析] 令f (x )＝0，得：m ＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|
， ∵|x －1|≥0，
∴0<⎝⎛⎭⎫12|x －1|≤1，即0<m ≤1.
14．(2011·登封一模)如图，过原点O 的直线与函数y ＝2x 的图像交于A 、B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图像于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是
________．
[答案] (1,2)
[解析] 设c (a,4a )，∴A (a,2a )，B 是(2a,4a )，又O ，A ，B 三点共线 ∴2a a ＝4a
2a ，故4a ＝2×2a ∴2a ＝0(舍去)或2a ＝2即a ＝1. ∴点A 的坐标为(1,2)．
15．设a n ＝log n ＋1(n ＋2) (n ∈N *)，定义使乘积a 1·a 2·…·a k 为整数k (k ∈N *)叫做“理想数”，则区间[1,2012]内的所有“理想数”的和为________．
[答案] 2026
[解析] 由已知a 1·a 2·…·a k ＝log 23·log 34·log 45·…·log (k ＋1)(k ＋2)＝log 23·log 24log 23·…·log 2(k ＋2)log 2(k ＋1)＝log 2(k ＋2)．
又∵a 1·a 2·…·a k 为整数， ∴k ＋2＝2m ，m >1且m ∈N *， ∴k ＝2m －2.
∵2m －2≤2012，∴m 最大可取10.
∴区间[1,2012]内的所有理想的和S ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝2026.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)
(2011·大连模拟)设直线x ＝1是函数f (x )的图像的一条对称轴，对于任意x ∈R ，f (x ＋2)＝－f (x )，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 3.
(1)证明：f (x )是奇函数；
(2)当x ∈[3,7]时，求函数f (x )的解析式．
[解析] (1)证明：∵x ＝1是f (x )的图像的一条对称轴， ∴f (x ＋2)＝f (－x )． 又∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x )＝－f (x ＋2)＝－f (－x )， 即f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )是奇函数．
(2)解：∵f (x ＋2)＝－f (x )，
∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 若x ∈[3,5]，则(x －4)∈[－1,1]， ∴f (x －4)＝(x －4)3.
又∵f (x －4)＝f (x )，∴f (x )＝(x －4)3，x ∈[3,5]．
若x ∈(5,7]，则(x －4)∈(1,3]，f (x －4)＝f (x )． 由x ＝1是f (x )的图像的一条对称轴可知 f [2－(x －4)]＝f (x －4)
且2－(x －4)＝(6－x )∈[－1,1]， 故f (x )＝f (x －4)＝f (6－x ) ＝(6－x )3＝－(x －6)3.
综上可知，f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
(x －4)3，3≤x ≤5，－(x －6)3
，5<x ≤7. 17．(本小题满分12分)
(2011.4·杭州二模)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；
(2)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图像恒在y ＝2x ＋m 的图像上方，试确定实数m 的范围． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 由f (0)＝1得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，
∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1，
∴f (x )＝x 2－x ＋1.
(2)由题意得x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立．即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立． 设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，其图像的对称轴为直线x ＝32，
∴g (x )在[－1,1]上递减．
即只需g (1)>0，即12－3×1＋1－m >0， 解得m <－1.
18．(本小题满分12分)
(2011·蚌埠模拟)定义在(－1,1)上的函数f (x )，对任意x ，y ∈(－1,1)都有f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 1＋xy ；
且当x ∈(－1,0)时，f (x )>0.
(1)判断f (x )在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数f (x )在(0,1)上的单调性，并说明理由．
[解析] (1)令x ＝y ＝0⇒f (0)＝0，令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝0⇒f (－x )＝－f (x )⇒f (x )在(－1,1)上是奇函数．
(2)设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2，而－1<x 1－x 2<0,0<x 1x 2
<1⇒－1<x 1－x 21－x 1x 2<0
⇒f ⎝
⎛⎭
⎪
⎫x 1－x 21－x 1x 2>0.
即当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )在(0,1)上单调递减． 19．(本小题满分12分)
(2011·桂林调研)函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数； (2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.
[分析] 欲证f (x )为增函数，即证x 2>x 1时，f (x 2)>f (x 1)．由已知x >0时，f (x )>1，∴x 2－x 1>0时，f (x 2－
x 1)>1，再结合条件．f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，有f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1)
＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0. [解析] (1)证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1. f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)－1>0，
∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )是R 上的增函数． (2)解：f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.
∴不等式即为f (3m 2－m －2)<f (2)． ∵f (x )是增函数，
于是有3m 2－m －2<2，解得－1<m <43.
因此不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1，43. 20．(本小题满分13分)
(2011.3·江西修水一模)某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产品，每年可售出该产品1000吨，若将该产品每吨的价格上涨x %，则每年的销售数量将减少mx %，其中m 为正常数．
(1)当m ＝1
2
时，该产品每吨的价格上涨百分之几，可使销售的总金额最大？
(2)如果涨价能使销售总金额增加，求m 的取值范围． [解析] (1)由题设，当价格上涨x %时，销售总金额为： y ＝10(1＋x %)(1－mx %)×1000⎝⎛⎭⎫0<x <100m . 即y ＝－mx 2＋100(1－m )x ＋10000 当m ＝12时，y ＝1
2[－(x －50)2＋22500]，
当x ＝50时，y max ＝11250.
即该产品每吨的价格上涨50%时，销售总金额最大． (2)由(1)y ＝－mx 2＋100(1－m )x ＋10000⎝
⎛⎭⎫0<x <100
m ， 如果上涨价格能使销售总金额增加，则有x >0时，y >10×1000， 即x >0时，－mx 2＋100(1－m )x ＋10000>10000， ∴－mx ＋100(1－m )>0，注意到m >0 ∴
100(1－m )m >x ，∴100(1－m )
m
>0，∴0<m <1， ∴m 的取值范围是(0,1)． 21．(本小题满分14分)
(2011·汉沽调研)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x, 恒有f (x )－x ≥0，并且当x ∈(0,2)时，f (x )≤⎝⎛
⎭⎫x ＋122.
(1)求f (1)的值； (2)证明：a >0，c >0；
(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (x ∈R )是单调函数，求证：m ≤0或m ≥1. [解析] (1)解：∵对x ∈R ，f (x )－x ≥0恒成立， 当x ＝1时，f (1)≥1， 又∵1∈(0,2)，
由已知得f (1)≤(1＋12)2
＝1，
∴1≤f (1)≤1.∴f (1)＝1.
(2)证明：∵f (1)＝1，∴a ＋b ＋c ＝1. 又∵a －b ＋c ＝0，∴b ＝12.∴a ＋c ＝1
2.
∵f (x )－x ≥0对x ∈R 恒成立，
∴ax 2－1
2
x ＋c ≥0对x ∈R 恒成立．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，
Δ≤0.∴⎩⎪
⎨⎪⎧
a >0，
ac ≥116
.
∴c >0，故a >0，c >0.
(3)证明：∵a ＋c ＝12，ac ≥116
，
由a >0，c >0及a ＋c ≥2ac ，得ac ≤1
16，
∴ac ＝116，当且仅当a ＝c ＝1
4时，取“＝”．
∴f (x )＝14x 2＋12x ＋14.
∴g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2＋(12－m )x ＋1
4 ＝1
4[x 2＋(2－4m )x ＋1]． ∵g (x )在[－1,1]上是单调函数， ∴2m －1≤－1或2m －1≥1. ∴m ≤0或m >1.。