【湘教版】2019年中考数学复习 第3单元函数及其图象第15课时二次函数的图象和性质二

课时训练(十五)二次函数的图象和性质(二)
|夯实基础|
一、选择题
1．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位、那么所得新抛物线的解析式是( )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋3
2．[2017·衡阳模拟]已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m、0)、则代数式m2－m＋2017的值为( ) A．2014 B．2015
C．2016 D．2018
3．[2017·枣庄]已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数、a≠0)、下列结论正确的是( )
A．当a＝1时、函数图象经过点(－1、1)
B．当a＝－2时、函数图象与x轴没有交点
C．若a＜0、函数图象的顶点始终在x轴的下方
D．若a＞0、则当x≥1时、y随x的增大而增大
4．[2017·长郡模拟]抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有交点、则m的取值范围是( )
A．m≤2 B．m＜－2
C．m＞2 D．0＜m≤2
5．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图K15－1、若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根、则m的最大值为( ) A．－3 B．3
C．－6 D．9
K15－1
K15－2
6．若二次函数y＝x2＋mx图象的对称轴是直线x＝2、则关于x的方程x2＋mx＝5的解为( )
A．x1＝1、x2＝5 B．x1＝1、x2＝3
C．x1＝1、x2＝－5 D．x1＝－1、x2＝5
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图K15－2所示、则|a－b＋c|＋|2a＋b|＝( )
A．a＋b B．a－2b
C．a－b D．3a
图K15－3
8．[2016·枣庄]已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)的图象如图K15－3所示、给出以下四个结论：①abc＝0；
②a＋b ＋c>0；③a>b；④4ac－b 2
<0.其中正确的结论有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
9．若二次函数y ＝x 2
＋2x ＋m 的图象与x 轴没有公共点、则m 的取值范围是________．
10．[2016·泰安]将抛物线y ＝2(x －1)2
＋2向左平移3个单位、再向下平移4个单位、那么得到的抛物线的解析式为____________．
图K15－4 11．[2017·株洲]如图K15－4、二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 图象的对称轴在y 轴的右侧、其图象与x 轴交于点A(－1、0)、点C(x 2、0)、且与y 轴交于点B(0、－2)、小强得到以下结论：
①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时、x 2＞5－1.以上结论中、正确的结论序号是________．
三、解答题
12．已知抛物线y ＝(x －m)2
－(x －m)、其中m 是常数．
(1)求证：不论m 为何值、该抛物线与x 轴一定有两个公共点． (2)若该抛物线的对称轴为直线x ＝5
2
.
①求该抛物线所对应的函数表达式；
②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位后、得到的抛物线与x 轴只有一个公共点．
|拓 展 提 升|
13．[2017·邵阳]如图K15－5、顶点为(12、－94
)的抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 过点M(2、0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点A 是抛物线与x 轴的交点(不与点M 重合)、点B 是抛物线与y 轴的交点、点C 是直线y ＝x ＋1上一点(处于x 轴下方)、点D 是反比例函数y ＝k
x
(k>0)图象上一点．若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形、求k 的值．
图K15－5
14．[2017·益阳]如图K15－6①、直线y＝x＋1与抛物线y＝2x2相交于A、B两点、与y轴交于点M、M、N关于x 轴对称、连接AN、BN.
(1)①求A、B的坐标；
②求证：∠ANM＝∠BNM；
(2)如图②、将题中直线y＝x＋1变为y＝kx＋b(b>0)、抛物线y＝2x2变为y＝ax2(a>0)、其他条件不变、那么∠ANM＝∠BNM是否仍然成立？请说明理由．
图K15－6
参考答案
1．C [解析] 将抛物线y ＝x 2
＋2向下平移1个单位、得到抛物线y ＝x 2
＋2－1＝x 2
＋1.
2．D [解析] ∵抛物线y ＝x 2－x －1与x 轴的一个交点为(m 、0)、∴m 2
－m －1＝0、
∴m 2－m ＝1、∴m 2
－m ＋2017＝1＋2017＝2018
3．D [解析] 将a ＝1代入原函数解析式、令x ＝－1求出y 值、由此得出A 选项不符合题意；B.将a ＝－2代入原函数解析式、令y ＝0、根据根的判别式Δ＝8＞0、可得出当a ＝－2时、函数图象与x 轴有两个不同的交点、即B 选项不符合题意；C.利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标、令其纵坐标小于零、可得出a 的取值范围、由此可得出C 选项不符合题意；D.利用配方法找出二次函数图象的对称轴、结合二次函数的性质、即可得出D 选项符合题意．
4．A [解析] 由题意可知：Δ＝4－4(m －1)≥0、∴m ≤2、故选A. 5．B [解析] ∵抛物线的开口向上、顶点的纵坐标为－3、
∴a ＞0、－b 24a
＝－3、即b 2
＝12a.
∵关于x 的一元二次方程ax 2
＋bx ＋m ＝0有实数根、
∴Δ＝b 2
－4am≥0、即12a －4am≥0、 即12－4m≥0、解得m≤3、 ∴m 的最大值为3.
6．D [解析] ∵二次函数y ＝x 2＋mx 图象的对称轴是直线x ＝2、∴－m 2
＝2、解得m ＝－4、∴关于x 的方程x 2
＋mx
＝5可化为x 2
－4x －5＝0、即(x ＋1)(x －5)＝0、解得x 1＝－1、x 2＝5.
7．D [解析] 根据二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象可知、a ＞0、又抛物线过坐标原点、∴c ＝0.∵抛物线的对称
轴为直线x ＝－b 2a 、∴0＜－b
2a
＜1、解得－2a ＜b ＜0、∴|a －b ＋c|＝a －b 、|2a ＋b|＝2a ＋b 、∴|a －b ＋c|＋|2a ＋b|
＝a －b ＋2a ＋b ＝3a.
8．C [解析] 由图可知、图象经过原点、则c ＝0、 ∴abc ＝0、结论①正确；
当x ＝1时、对应的图象上的点在第四象限、∴a ＋b ＋c<0、结论②错误；
∵－b 2a ＝－3
2
、∴b ＝3a 、∵a<0、∴b<0、∴a>b 、结论③正确；
抛物线与x 轴有两个交点、则b 2－4ac>0、∴4ac －b 2
<0、结论④正确．故答案为C.
9．m ＞1 [解析] 根据抛物线y ＝x 2＋2x ＋m 与x 轴没有公共点可知、方程x 2
＋2x ＋m ＝0没有实数根、
∴判别式Δ＝22
－4×1×m＜0、∴m ＞1.
10．y ＝2(x ＋2)2
－2
11．①④ [解析] 由图象可知抛物线开口向上、∴a ＞0、由抛物线经过A(－1、0)、B(0、－2)、对称轴在y 轴
的右侧可得：⎩⎪⎨
⎪⎧a －b ＋c ＝0，
c ＝－2，
－b
2a
>0，由此可得：a －b ＝2、b ＜0.故a ＝2＋b ＜2、综合可知0＜a ＜2；将a ＝b ＋2代入0＜a ＜2
中得：0＜b ＋2＜2、可得－2＜b ＜0；
当|a|＝|b|时、因为a ＞0、b ＜0、故有a ＝－b.又a －b ＝2、可得a ＝1、b ＝－1.
故原函数为y ＝x 2－x －2、当y ＝0时、即有x 2
－x －2＝0、解得x 1＝－1、x 2＝2、 x 2＝2＞5－1.故答案为：①④.
12．解：(1)证明：y ＝(x －m)2－(x －m)＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2
＋m 、
∵Δ＝(2m ＋1)2－4(m 2
＋m)＝1>0、
∴不论m 为何值、该抛物线与x 轴一定有两个公共点．
(2)①∵x＝－－（2m ＋1）2＝5
2
、∴m ＝2、
∴抛物线所对应的函数表达式为y ＝x 2
－5x ＋6.
②设抛物线沿y 轴向上平移k 个单位后、得到的抛物线与x 轴只有一个公共点、则平移后抛物线所对应的函数表
达式为y ＝x 2
－5x ＋6＋k.
∵抛物线y ＝x 2
－5x ＋6＋k 与x 轴只有一个公共点、
∴Δ＝52
－4(6＋k)＝0、∴k ＝14
、
即把该抛物线沿y 轴向上平移1
4
个单位后、得到的抛物线与x 轴只有一个公共点．
13．解：(1)依题意可设抛物线为y ＝a(x －12)2－94、将M(2、0)代入可得a ＝1、则抛物线的解析式为y ＝(x －12)
2
－94
＝x 2
－x －2. (2)当y ＝0时、x 2
－x －2＝0、
解得x 1＝－1、x 2＝2、所以A(－1、0)、 当x ＝0时、y ＝－2、所以B(0、－2)． 在Rt △OAB 中、OA ＝1、OB ＝2、∴AB ＝ 5.
设直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为点G 、易求G(0、1)、 ∴Rt △AOG 为等腰直角三角形、∴∠AGO ＝45°. ∵点C 在直线y ＝x ＋1上且在x 轴下方、而k>0、
∴y ＝k
x
的图象位于第一、三象限、故点D 只能在第一、三象限、因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：
①此菱形以AB 为边且AC 也为边、如图①所示、过点D 作DN⊥y 轴于点N 、 在Rt △BDN 中、∵∠DBN ＝∠AGO＝45°、
∴DN ＝BN ＝52
＝10
2、
∴D(－102、－10
2
－2)、 ∵点D 在y ＝k
x 的图象上、
∴k ＝－
102·(－102－2)＝52
＋10.
②此菱形以AB 为对角线、如图②所示、作AB 的垂直平分线CD 交直线y ＝x ＋1于点C 、交y ＝k
x
的图象于点D.再分
别过点D 、B 作DE⊥x 轴于点F 、BE ⊥y 轴、DE 与
在Rt △BDE 中、同①可证∠AGO＝∠DBO＝∠BDE＝45BE ＝DE. 可设点D 的坐标为(x 、x －2)．
∵BE 2＋DE 2＝BD 2
、∴BD ＝2BE ＝2x. ∵四边形ACBD 是菱形、∴AD ＝BD ＝2x.
∴在Rt △ADF 中、AD 2＝AF 2＋DF 2、即(2x)2＝(x ＋1)2＋(x －2)2
、解得x ＝52
、
∴点D 的坐标为(52、12)、∵点D 在y ＝k x (k>0)的图象上、∴k ＝5
4
.
综上所述、k 的值为52＋10或5
4.
14．解：(1)①联立⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x 2
，化简得2x 2
＝x ＋1、解得：x ＝－12或x ＝1. 当x ＝－12时、y ＝1
2
；当x ＝1时、y ＝2.
∴A 、B 两点的坐标分别为(－12、1
2
)、(1、2)．
②证明：如图①、过A 作AC⊥y 轴于C 、过B 作BD⊥y 轴于
D.
由①及已知有A(－12、1
2
)、
B(1、2)、OM ＝ON ＝1、
∴tan ∠ANM ＝AC CN ＝121＋12
＝1
3
、
tan ∠BNM ＝BD DN ＝11＋2＝1
3
、
∴tan ∠ANM ＝tan ∠BNM 、∴∠ANM ＝∠BNM. (2)∠ANM＝∠BNM 成立．
①当k ＝0时、△ABN 是关于y 轴对称的轴对称图形、 ∴∠ANM ＝∠BNM.
②当k≠0时、根据题意得：OM ＝ON ＝b 、
设A(x 1、ax 12)、B(x 2、ax 22
)． 如图②、过A 作AE⊥y 轴于E 、
过B 作BF⊥y 轴于F.
联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝ax 2
，消y 得ax 2
＝kx ＋b 、 即ax 2
－kx －b ＝0、
∴x 1＋x 2＝k a 、x 1x 2＝－b
a
.
∵NF BF －NE AE ＝b ＋ax 22x 2－b ＋ax 12
－x 1
＝bx 1＋ax 1x 22＋bx 2＋ax 2x 12
x 1x 2
＝（x 1＋x 2）（ax 1x 2＋b ）x 1x 2
＝k a [a·（－b
a ）＋b]－
b a
＝0.
∴NF BF ＝NE AE
. 又∵∠AEN＝∠BFN＝90°、 ∴Rt △AEN∽Rt △BFN 、 ∴∠ANM ＝∠BNM.。