2023-2024学年山东省潍坊市临高一上学期10月月结学情检测数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年山东省潍坊市临高一上册10月月结学情检测数学
模拟试题
一、单选题
1．设集合{}|11A x x =-<≤，{}1,0,1,2,3B =-则()R A B = ð（）
A ．{}1,1,2-
B ．{}
1,2,3C ．{}
1,2,3-D ．{}
1,1,2,3-【正确答案】C
【分析】根据补集、交集的定义计算可得；
【详解】解：因为{}|11A x x =-<≤，所以{|1R A x x =≤-ð或1}x >，因为{}1,0,1,2,3B =-，所以
(){}1,2,3R
A B =- ð，
故选：C
2．设命题p ：R x ∀∈，(x －1)(x +2)>0，则p ⌝为（）
A ．0R x ∃∈，()()00120x x -+>
B ．0R x ∃∈，
001
02x x -≤+C ．R x ∀∈，()()120x x -+≤D ．0R x ∃∈，
001
02
x x -≤+或02x =-【正确答案】D
【分析】根据含有量词命题的否定形式，分析即可得出结果.【详解】p ⌝为0x ∃∈R ，()()00120x x -+≤，等价于0x ∃∈R ，001
02
x x -≤+或02x =-.故选：D
3．下列函数中与函数2y x =是同一函数的是（）
A ．2
u v
=B ．||
y x x =⋅C ．3
x y x
=
D
．4
y =【正确答案】A
逐一判断四个选项中函数的定义域与对应法则是否与2y x =一致，进而得出答案.【详解】函数2y x =的定义域为R
对于A 项，2u v =的定义域为R ，对应法则与2y x =一致，则A 正确；对于B 项，||y x x =⋅的对应法则与2y x =不一致，则B 错误；
对于C 项，3
x y x
=的定义域为{0}x
x ≠∣，则C 错误；
对于D 项，4y =的定义域为{0}x
x ≥∣，则D 错误；故选：A
4．已知x R ∈且0x ≠，则“21x <”是“1
1x
>”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由21x <，0x ≠得10x -<<或01x <<，由
1
1x
>得01x <<，所以“21x <”是“1
1x
>”的必要不充分条件.故选：B ．
5．函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（）
A ．()()f x g x +为奇函数
B ．()()f x g x +为偶函数
C ．()()f x g x 为奇函数
D ．()()f x g x 为偶函数
【正确答案】C
【分析】依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.
【详解】令1()()()F x f x g x =+，则11()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=-+-=-+≠-,且()()11F x F x -≠，
∴1()F x 既不是奇函数，也不是偶函数，故A 、B 错误；
令2()()()F x f x g x =，则22()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=--=-=-,且()()22F x F x -≠，
∴2()F x 是奇函数，不是偶函数，故C 正确、D 错误；
故选：C
6
．已知0,0x y >>且41x y +=，则11
x y
+的最小值为（）
A ．9
B ．7
C ．4
D ．3
【正确答案】A
【分析】根据题意，结合“1”的妙用，即可求解.
【详解】根据题意，得(
)111195445y x y y y x y x x x ⎛⎫+=++=
++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即1
23
x y ==时，等号成立.故选：A.
7．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：
3,110,N*210,10100,N*1.560,100,N*x x x y x x x x x x ≤<∈⎧⎪
=+≤<∈⎨⎪+≥∈⎩
，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为（）
A ．20
B ．25
C ．130
D ．150
【正确答案】B
【分析】根据分段函数解析式分类讨论计算可得；
【详解】解：因为3,110,N*
210,10100,N*1.560,100,N*
x x x y x x x x x x ≤<∈⎧⎪
=+≤<∈⎨⎪+≥∈⎩且60y =，所以110360x x ≤<⎧⎨=⎩或1010021060x x ≤<⎧⎨+=⎩或
1001.56060x x ≤⎧⎨
+=⎩，解110360x x ≤<⎧⎨=⎩得x ∈∅，解1010021060x x ≤<⎧⎨+=⎩得25x =，解1001.56060
x x ≤⎧⎨+=⎩的x ∈∅；所以公司拟录用人数为25人；故选：B
8．已知函数()()f x x ∈R 满足：()1f x +是偶函数，若函数2
23y x x =--与函数()y f x =图象的
交点为()11,x y ，()22,x y ，L ，(),m m x y ，则横坐标之和12m x x x +++= （）
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
【正确答案】B
【分析】根据题意，分析可得两个函数的图象都关于直线1x =对称，则两个函数图象的交点也关于直线1x =对称，据此分析可得答案.
【详解】由()1f x +是偶函数，知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，函数()2
22314y x x x =--=--，其图象也关于直线1x =对称，
所以函数2
23y x x =--与函数()y f x =图象的交点也关于直线1x =对称，当m 为偶数时，其和
为22
m m ⨯
=；当m 为奇数时，其和为1
212m m -⨯+=.故选：B.
结论点睛：如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2
a b
x +=
；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(
,0)2
a b
+.二、多选题
9．下列说法正确的有（）
A ．若a b >，则22ac bc >
B ．若
22
a b c c >，则a b >C ．若a b >，则
11a b
<D ．若a b >，则33
a b >【正确答案】BD
根据不等式的基本性质和举反例法一一判断即可．【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错；对于B ，若
22
a b c c
>，则0c ≠，则2
0c >，则2222a b c c c c ⋅>⋅，化简得a b >，故B 对；对于C ，若a b >，取2a =，1b =-，则
111
12a b
=>=-，故C 错；对于D ，若a b >，则根据幂函数3y x =在R 上单调递增，得33a b >，故D 对；故选：BD ．
10．命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（）
A ．8a ≥
B ．9
a ≥C ．10
a ≥D ．11
a ≥【正确答案】CD
把命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题，转化为2a x ≥在[]1,3x ∈上恒成立，求得9a ≥，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题，即20x a -≤在[]1,3x ∈上恒成立，即2a x ≥在[]1,3x ∈上恒成立，
又由22
()39man x ==，即9a ≥，
结合选项，命题为真命题的一个充分不必要条件为C 、D.故选：CD.
充分、必要条件求解参数的取值范围问题的方法及注意点：
1、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合间关系列出关于参数的不等式（组）求解；
2、要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解得现象.11．已知函数()2
2,1
3,1x x f x x x +<⎧=⎨-+≥⎩
，关于函数()f x 的结论正确的是（）
A ．()f x 的最大值为3
B ．()02
f =C ．若()1f x =-，则2
x =D ．()2f x <的解集为()(),01,-∞⋃+∞【正确答案】BD
【分析】根据分段函数的性质直接判断.
【详解】函数()22,1
3,1x x f x x x +<⎧=⎨-+≥⎩
，在(),1-∞上单调递增，在()1,+¥
上单调递减，故函数在1
x =时取最大值为()1132f =-+=，A 选项错误；()0022f =+=，B 选项正确；
当1x <时，()21f x x =+=-，解得3x =-，当1x >时，()2
31f x x =-+=-，解得2x =，C 选项
错误；
当1x <时，()22f x x =+<，解得0x <，当1x >时，()2
32f x x =-+<，解得1x >，D 选项正确；
故选：BD.
12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为
1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩
是有理数是无理数，关于函数D()x 有以下四个命题，其中真命题是（）
A ．,D(D())1x R x ∀∈=
B ．,,D()D()D()x y R x y x y ∃∈+=+
C ．函数D()x 是偶函数
D ．函数D()x 是奇函数
【正确答案】ABC
根据自变量x 是有理数和无理数进行讨论，可判定A 、C 、D ，举特例根据
x =x B 即可得到答案.
【详解】对于A 中，若自变量x 是有理数，则[]()(1)1D D x D ==，若自变量x 是无理数，则[]()(0)1D D x D ==，所以A 是真命题；
当
x =是无理数，y =x y +=则D()0,D()D()000x y x y +=+=+=，满足D()D()D()x y x y +=+，所以B 正确；对于C ，当x 为有理数时，则x -为有理数，则()()1D x D x -==．
当x 为无理数时，则x -为无理数，则()()0D x D x -==．
故当x R ∈时，()()D x D x -=，∴函数为偶函数，所以C 是真命题；
对于D 中，若自变量x 是有理数，则x -也是有理数，可得()()112D x D x +-=+=，所以D()x 不是奇函数，D 不正确.所以D 是假命题；故选：ABC.三、填空题
13．已知函数()2135f x x -=-，若()04f x =，则0x =________.【正确答案】5
先利用换元法求解出原函数的解析式，然后利用()04f x =得出0x 的值.【详解】令21t x =-，则12
t x +=
，3337
()5222t f t t +=-=-.因为()04f x =，所以03742
2
x -=，解得05x =.故5
求解复合函数()f ax b +的解析式时，只需用换元法，令ax b t +=，用含t 的式子表示出x 然后代入原函数解析式便可得出()f x 的解析式.
14．已知函数2()(2)1f x x a x =+++（[,]x a b ∈）是偶函数，则实数b =_____.【正确答案】2
【分析】因为函数()f x （[,]x a b ∈）是偶函数，则其对称轴为y 轴，且0a b +=，再由二次函数的对称轴构建方程即可求得答案.
【详解】因为函数2()(2)1f x x a x =+++（[,]x a b ∈）是偶函数，则其对称轴为y 轴，且0a b +=又因为该二次函数的对称轴为2
2
a x +=-，所以2a =-，故2
b =.故2
本题考查由函数的奇偶性求参数的值，属于基础题.15．函数()()229
22
x x f x x x -+=>-的最小值是___________.
【正确答案】8
【分析】通过分离常数，利用基本不等式求最小值.【详解】因为2x >，所以20x ->，
所以()()
2292992228222x x x x f x x x x x -+-+===-++≥=---，
当且仅当9
22
x x -=-，即5x =时等号成立.
所以函数()f x 的最小值是8.故答案为.8四、双空题
16．对于任意的实数12,x x ，{}12min ,x x 表示12,x x 中较小的那个数，若()2
2f x x =-，()g x x =，则
集合()(){}x f x g x ==_______；()(){}min ,f x g x 的最大值是_______.【正确答案】
{}
2,1-1
【分析】作出函数()(),f x g x 的图象，解出方程22x x -=可得()(){}{}2,1x f x g x ==-，由图可得()(){}222,2min ,,212,1x x f x g x x x x x ⎧-<-⎪
=-≤≤⎨⎪->⎩
，然后可得其最大值.
【详解】函数()(),f x g x
的图象如下，
令()()f x g x =，即22x x -=解得2x =-或1
x =则集合()(){}{}
2,1x f x g x ==-由题意及图象得()(){}222,2min ,,21
2,1x x f x g x x x x x ⎧-<-⎪
=-≤≤⎨⎪->⎩
由图象知，当1x =时，()(){}min ,f x g x 最大，最大值是1.故{}2,1-，1五、解答题
17．已知集合()
{
}
22
240A x x ax a =-+-≤，{}16B x x =≤≤．
（1）当1a =时，求A B ⋃，R A B ð；
（2）从①A B B ⋃=；②“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件；③R A B ⋂=∅ð这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．问题：若
，求实数a 的取值范围．
【正确答案】（1）{}16A B x x ⋃=-≤≤，{}11R A B x x ⋂=-≤<ð；（2）条件选择见解析，[]3,4．
【分析】（1）求出集合,A B ,即得解；
（2）任意选择一个条件，解不等式组2126a a -≥⎧⎨+≤⎩
即得解.
【详解】（1）当1a =时，集合{}{}2213A x a x a x x =-≤≤+=-≤≤，{}16B x x =≤≤，所以{}16A B x x ⋃=-≤≤，{|1R B x x =<ð或6}x >，所以{}11R A B x x ⋂=-≤<ð．
（2）若选择①A B B ⋃=，则A B ⊆，因为{}22A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅，
所以21
26a a -≥⎧⎨+≤⎩
，解得34a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]3,4．
若选择②，“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B Ü，
因为{}22A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅，所以2126a a -≥⎧⎨+≤⎩
，解得34a ≤≤，
所以实数a 的取值范围是[]3,4．
若选择③，R A B ⋂=∅ð，因为{}22A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅，
又{|1R B x x =<ð或6}x >，所以21
26
a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得34a ≤≤，
所以实数a 的取值范围是[]3,4．
18．已知不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >．(1)求a ，b ；
(2)解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc -++<．【正确答案】(1)1a =，2b =(2)答案见解析
【分析】（1）根据不等式的解集，结合根与系数的关系列出方程即可得到结果.（2）由题意得到不等式对应的方程的两根，然后根据两根的大小讨论即可得到结果.【详解】（1）因为不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以11x =与2x b =是方程2320ax x -+=的两个实数根，且1b >．
由根与系数的关系，得3121b a
b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩
，解得12a b =⎧⎨=⎩；
（2）原不等式化为：2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<，
①当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<，②当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<③当2c =时，不等式的解集为∅．
19．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当时0x <时，2()21f x x x =+-（1）求()f x 解析式
（2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）
【正确答案】（1）2221,0()0,021,0x x x f x x x x x ⎧+-<⎪
==⎨⎪-++>⎩；（2）图见详解，单调区间为：单调递增区间为：(1,0)-，
(0,1)，单调递减区间为：(,1)-∞，(1,)+∞.
【分析】（1）根据奇函数的性质，当0x =时，(0)0f =，当0x >时，2()()21f x f x x x =--=-++，即可得解；
（2）根据二次函数的图像与性质，直接画图像，并求出单调性.【详解】（1）当0x =时，(0)0f =，
当0x >时，0x -<，2()()21f x f x x x =--=-++，所以2221,0
()0,021,0x x x f x x x x x ⎧+-<⎪
==⎨⎪-++>⎩
，
（2）()f x
的图像为：
单调递增区间为：(1,0)-，(0,1)，
单调递减区间为：(,1)-∞，(1,)+∞.
20．已知二次函数()y f x =满足：①(0)3f =；②当=1x -时，函数()f x 取得最小值2.
(1)求()f x 的解析式；
(2)记()()1,[1,2]g x f x mx x =+-∈-.
①若()g x 是定义域上的单调函数，求在m 的取值范围；
②记()g x 的最小值为()h m ，求方程()1h m =的解集.
【正确答案】(1)()()2
12
f x x =++(2)①(][),60,-∞-+∞ ；②{}
0,4-【分析】（1）依题意设()()212f x a x =++，()0a >，再根据(0)3f =，代入求出a ，即可求出函数解析式；
（2）①首先求出()g x 的解析式，求出函数的对称轴，函数在区间单调，则对称轴不在区间内，即可得到不等式，解得即可；
②根据对称轴与区间的位置分类讨论，求出函数的最小值，即可得到()h m 的解析式，再分类讨论计算可得；
【详解】（1）解：依题意设()()2
12f x a x =++，()0a >，又(0)3f =，所以()()200123f a =++=，解得1a =，所以()()2
12f x x =++；（2）解：①因为()()1,[1,2]g x f x mx x =+-∈-，所以()2()22,[1,2]g x x m x x =+++∈-，对称轴为
22m x +=-，开口向上，所以212m +-≤-或222
m +-≥，解得0m ≥或6m ≤-，即(][),60,m ∈-∞-+∞ ；
②因为()2()22,[1,2]g x x m x x =+++∈-，对称轴为22
m x +=-，开口向上，当212
m +-≤-，即0m ≥时()()min 11g x g m =-=-；当2122m +-<-<，即60m -<<时()2min 24424m m m g x g +--⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
；当222
m +-≥，即6m ≤-时()()min 2210g x g m ==+；
所以2210,644(),6041,0
m m m m h m m m m +≤-⎧⎪--⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎩，所以()h m
的图象如下所示：
因为()1h m =，所以2
441460m m m ⎧--=⎪⎨⎪-<<⎩
或110m m -=⎧⎨≥⎩或21016m m +=⎧⎨≤-⎩解得4m =-或0
m =即()1h m =的解集为{}
0,4-21．某跨国公司决定将某种智能产品在中国市场投放，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为()
G x 万元，22403,025()300090007025x x G x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩
．(1)写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式（利润=销售收入－成本）；
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．
【正确答案】(1)2316030,0259000102970,25x x x S x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩
；(2)当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.
【分析】（1）根据利润=销售收入-成本，即可得解；
（2）分025x <和25x >两种情况，分别根据二次函数的性质和基本不等式，求出对应的S 的最大
值，再比较大小，即可得解．
【详解】（1）当025x <≤时，年利润2(2403)3080316030S x x x x x =---=-+-，
当25x >时，2300090009000703080102970S x x x x x x ⎛⎫=+---=--+ ⎪⎝
⎭，∴年利润2316030,0259000102970,25x x x S x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩
；（2）当025x <≤时，2
2806310316030333S x x x ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭，所以S 在(0,25]上单调递增，所以232516025302095S =-⨯+⨯-=；
当25x >
时，9000900010297029701029702370S x x x x ⎛⎫=--
+=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当900010x x
=，即30x =时，等号成立，此时max 2370S =，因为23702095>，所以max 30,2370x S ==，
故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.
22．已知函数24()3f x x x a =-++，()52g x mx m
=+-(1)若方程()0f x =在[1,1]-上有实数根，求实数a 的取值范围；
(2)当0a =时，若对任意的1[1,4]x ∈总存在2[1,4]x ∈使12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围.
【正确答案】(1)[8,0]
-(2)(,3][6,)
-∞-⋃+∞【分析】（1）方程有实数根等价于243x x a -=--在[1,1]-上有实数根，求出2()4h x x x =-值域即可得出；
（2）题目等价于函数()y f x =的值域为函数()y g x =的值域的子集，分别求出即可得出.
【详解】（1）方程()0f x =在[1,1]-上有实数根，即243x x a -=--在[1,1]-上有实数根，即函数2()4h x x x =-的图像与直线3y a =--在[1,1]-上有交点，
()h x 在[1,1]-单调递减，所以()()min max (1)3,(1)5h x h h x h ==-=-=，
所以335a -≤--≤，解得80a -≤≤，
故所求实数a 的取值范围是[80]-，
.（2）若对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈使12()()f x g x =成立，
只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =的值域的子集.
2()43f x x x =-+，
1[14]x ∈，的值域为[13]-，，下求()52g x mx m =+-的值域.
当0m =时，()5g x =为常数，不符合题意舍去；
当0m >时，需(4)3(1)1g g ≥⎧⎨≤-⎩
，解得6m ≥，当0m <时，需(1)3(4)1
g g ≥⎧⎨≤-⎩，解得3m ≤-，综上，m 的取值范围为(,3][6,)-∞-⋃+∞。