西北5省自治区2011年中考数学试题分类解析专题(1-12)

西北5省自治区2011年中考数学专题3：方程（组）和不等式（组）
一、选择题
1. （宁夏自治区3分）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x ，十位数字为y ，所列方程组正确的是
A ．⎩⎨⎧x ＋y ＝8，xy ＋18＝yx ．
B ．⎩⎨⎧x ＋y ＝8，x ＋10y ＋18＝10x ＋y ．
C ．⎩⎨⎧x ＋y ＝8，10x ＋y ＋18＝yx ．
D ．⎩⎨⎧x ＋y ＝8，10(x ＋y)＋18＝yx ．
【答案】B 。

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组（数字问题）。

【分析】设这个两位数的个位数字为x ，十位数字为y ，则两位数可表示为10y+x ，对调后的两位数为10x+y ，根据题中的两个数字之和为8及对调后的等量关系可列出方程组
⎩⎨⎧x ＋y ＝8，
x ＋10y ＋18＝10x ＋y ．
故选B 。

2.（甘肃兰州4分）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是
A.
2210x x
+
= B.
20ax bx c ++= C. (1)(2)1x x -+= D.
223250x xy y --=
【答案】C 。

【考点】一元二次方程的定义。

【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；（4）含有一个未知数。

由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案：
A 、2
2
1
0x x +
=不是整式方程，故本选项错误； B 、当a =0时，方程就不是一元二次方程，故本选项错误；
C 、由原方程，得2
30x x +-=，符合一元二次方程的要求，故本选项正确； D 、方程22
3250x xy y --=中含有两个未知数；故本选项错误。

故选C 。

3.（甘肃兰州4分）用配方法解方程x 2
﹣2x ﹣5=0时，原方程应变形为
A 、（x+1）2
=6
B 、（x+2）2=9
C 、（x ﹣1）2
=6
D 、（x ﹣2）2
=9
【答案】C 。

【考点】解一元二次方程的配方法。

【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方。

由原方程移项，得x 2
﹣2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x 2
﹣2x+1=6 ∴（x ﹣1）2
=6。

故选C 。

4.（甘肃兰州4分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为 A. (1)2070x x -= B. (1)2070x x += C. 2(1)2070x x += D. (1)
20702
x x -= 【答案】A 。

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程。

【分析】根据题意得：每人要赠送x ﹣1张相片，有x 个人，∴全班共送：（x ﹣1）x=2070。

故选A 。

5.（青海省3分）关于x 的一元二次方程x 2
+4x+k=0有实数解，则k 的取值范围是 A ． k≥4 B. k≤4 C. k＞4 D . k=4 【答案】B 。

【考点】一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式。

【分析】∵关于x 的一元二次方程x 2
+4x+k=0有实数解，∴b 2
－4ac=42
－4×1×k≥0。

解得，k≤4，故选B 。

6.（青海省3分）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A 的质量m 克的取值范围表示在数轴上为
A B C D
【答案】C 。

【考点】一元一次不等式组的应用，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】根据天平知2＜m ＜3。

不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，
≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。

在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。

故选C 。

7.（新疆乌鲁木齐4分）甲仓库与乙仓库共存粮450 吨、现从甲仓库运出存粮的60％．从乙仓库运出存粮的40％．结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30 吨。

若设甲仓库原来存粮x 吨．乙仓库原来存粮y 吨，则有
A ．450
(160%)(140%)30x y x y +=⎧⎨---=⎩
B ．450
60%40%30x y x y +=⎧⎨-=⎩
C ．450
(140%)(160%)30x y y x +=⎧⎨
---=⎩
D ．450
40%60%30
x y y x +=⎧⎨
-=⎩
【答案】C 。

【考点】二元一次方程组的应用。

【分析】方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程。

本题等量关系为： ①甲仓库存粮数＋乙仓库存粮数＝450 吨 x ＋ y ＝450，
②乙仓库运出40％存粮后的余粮－甲仓库运出60％存粮后的余粮＝30 吨 (140%)y - － (160%)x - ＝30 。

故选C 。

8.（新疆乌鲁木齐4分）关于x 的一元二次方程2
(1)10a x x a -++-=的一个根为0，则实数a 的值为
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．1-或1
【答案】A 。

【考点】一元二次方程的解，一元二次方程的定义。

【分析】把x=0代入方程得：|a|－1=0，∴a=±1。

∵a－1≠0，∴a=－1．故选A 。

9.（新疆自治区、兵团5分）已知：a ＝－a ，则数a 等于 A ．0
B ．－1
C ．1
D ．不确定
【答案】A。

【考点】解一元一次方程。

【分析】因为a=-a，所以a+a=0，即2a=0，则a=0。

故选A。

二、填空题
1.（陕西省3分）一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件原价的8折（即按照原价的80%）销售，售价为120元，则这款羊毛衫的原销售价为▲ ．
【答案】150。

【考点】一元一次方程的应用（销售问题）。

【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。

设这款羊毛衫的原销售价为x元，本题等量关系为：
原价的80%=销售价
80%x = 120。

解之，得x=150。

2.（宁夏自治区3分）在一次社会实践活动中，某班可筹集到的活动经费最多900元．此次活动租车需300元，每个学生活动期间所需经费15元，则参加这次活动的学生人数最多为▲ ．
【答案】40人。

【考点】一元一次不等式的应用。

【分析】设参加这次活动的学生人数为x人，则15x≤900﹣300，解得x≤40。

故参加这次活动的学生人数最多为40人。

3.（宁夏自治区3分）某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元．根据题意可列方程为▲ ．
【答案】36（1﹣m%）2=25。

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程（增长率问题）。

【分析】第一次降价后的价格为36×（1﹣m%），第二次降价后的价格为36×（1﹣m%）×（1﹣m%）=36×（1﹣m%）2，∴列的方程为36（1﹣m%）2=25。

4.（甘肃天水4分）如图（1），在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为x m，从图（2）的思考方式出发列出的方程是▲ ．
【答案】（32﹣2x）（20﹣x）=570。

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程（几何问题）。

【分析】设宽为xm，从图（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程：（32﹣2x）（20﹣x）=570。

5.（甘肃天水4分）如图，点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4与2x2
3x5
+
-
，且点
A、B到原点的距离相等．则x= ▲ ．
【答案】2.2。

【考点】实数与数轴，解分式方程。

【分析】根据实数与数轴的性质，结合数轴得出2x2
4
3x5
+
=
-
，解之，x=2.2，检验：把x=2.2
代入3x﹣5≠0，
∴分式方程的解为：x=2.2。

6.（甘肃兰州4分）关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是▲ ．
【答案】x1=﹣4，x2=﹣1。

【考点】一元二次方程的解与二次函数的关系，平移变化的规律。

【分析】由一元二次方程的解与二次函数的关系，关于x的方程a（x+m）2+b=0的解可以看成二次函数y=a（x+m）2+b的图象与x轴交点的横坐标，
同样a（x+m+2）2+b=0的解可以看成二次函数y=a（x+m+2）2+b的图象与x轴交点的横坐标。

y=a（x+m+2）2+b的图象可以由y=a（x+m）2+b的图象向左平移2个单位得到，根据平移变化的规律：左右平移只改变点的横坐标，左减右加。

上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。

由y=a（x+m）2+b的图象与x轴交点的横坐标x1=﹣2，x2=1，可得出y=a（x+m+2）2+b 的图象与x轴交点的横坐标x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1。

∴方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣4，x2=﹣1。

7.（青海省2分）某种药品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价后的百分率是 ▲ . 【答案】20%。

【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）。

【分析】设每次降价的百分率为x ，第一次降价后价格变为()1001x -元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为()()()2
1001x 1x 1001x --=-元，从而列出方程
()2
1001x 64-=， 解得x 1=1.8，x 2=0.2。

因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2=20%。

8.（青海省2分）如图，△ABC 是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，
要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是 ▲ mm. 【答案】48
【考点】一元一次方程的应用（几何问题），正方形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】如图，设正方形零件的边长为x mm ，
则EF=x ，BC=120，AD=80，AP=80－x 。

易证，△AEF∽△ABC，∴EF AP BC AD =，即x 80x
12080
-=。

解得，x=48。

∴这个正方形零件的边长是48mm 。

9.（青海西宁2分）关于x 的方程5x ＋x －3x ＝0的解为_ ▲ ．
【答案】x ＝－2。

【考点】解分式方程。

【分析】观察可得最简公分母是x ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解：
方程的两边同乘x ，得5＋x －3＝0，解得x ＝－2。

检验：把x ＝－2代入x≠0。

∴原方程的解为：x ＝－2。

10.（新疆乌鲁木齐4分）按如下程序进行运算：
并规定，程序运行到“结果是否大于65”为一次运算，且运算进行4次才停止。

则可输入的整数x 的个数是 ▲ 【答案】3。

【考点】一元一次不等式的整数解。

【分析】根据程序可以列出不等式组，即可确定x 的整数值，从而求解：
根据题意，得(){}
()2222x 111165 222x 11165><⎧⎡--⎤--⎪⎣⎦
⎨⎡
--⎤-⎪⎣⎦⎩，解得：5＜x ＜9。

∴x 的整数值是：6，7，8。

共有3个。

11.（新疆自治区、兵团5分）方程2x ＋1
1－x ＝4的解为_ ▲ ．
【答案】1x 2
=。

【考点】解分式方程。

【分析】
()2x 1142x 141x x 1x 2
+=+==⇒-⇒-，检验合适。

∴方程2x ＋1
1－x ＝4的解为
1
x 2
=。

12.（新疆自治区、兵团5分）若关于x 的一元二次方程x 2
＋2x ＋a ＝0有实数根，则a 的取值范围是_ ▲ ．
【答案】a 1≤。

【考点】一元二次方程根的判别式。

【分析】∵关于x 的一元二次方程有实根，∴△=2
44a 0-≥，解之得a≤1。

三、解答题
1. （陕西省5分）解分式方程：
4x 3
1x 22x
-=
--． 【答案】解：去分母，得4x －（x －2）=－3，
去括号，得4x －x ＋2=－3， 移项，得4x －x=－2－3， 合并，得3x=－5，
化系数为1，得x=53
-。

检验：当x=53
-时，x －2≠0， ∴原方程的解为x=53
-。

【考点】解分式方程。

【分析】观察两个分母可知，公分母为x －2，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验． 2.（宁夏自治区3分）解方程 x x －1 －1＝ 3 x ＋2 ．
【答案】解：原方程两边同乘（x ﹣1）（x+2），
得x （x+2）﹣（x ﹣1）（x+2）=3（x ﹣1）， 展开、整理得﹣2x=﹣5， 解得x=2.5。

检验：当x=2.5时，（x ﹣1）（x+2）≠0。

∴原方程的解为：x=2.5。

【考点】解分式方程。

【分析】观察可得最简公分母是（x ﹣1）（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解。

3.（宁夏自治区6分）解不等式组⎩⎨⎧ 7－x
3
－x≤1，8－ x ＋2
2＞3．．
【答案】解：由第一个不等式得，x≥1，
由第一个不等式得，x ＜8， 故此不等式组的解集为：1≤x＜8。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这
些解集
的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。

4.（青海西宁10分）国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1
日起商
品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价
必须重
新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房都
持币观
望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的
均价开 盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案发
供选择：
① 打9.8折销售；② 不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问 哪种方案更优惠？
【答案】解：（1）设平均每次下调的百分率为x ，根据题意得：
500(1－x)2
＝4050，
解此方程得：x 1＝110，x 2＝19
10（不符合题意，舍去）
∴x＝10%
答：平均每次下调的百分率为10% （2）方案一：100×4050×98%＝396900（元），
方案二：100×4050－1.5×100×12×2＝401400（元） 。

∴方案一优惠
【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【分析】（1）关系式为：原价×（1-降低率）2=现在的价格，把相关数值代入后求得合适
的解即可。

（2）①费用为：总房价× 9.810；②费用为：总房价－2×12×1.5×平米数，把相关数值
代入后求出解，比较即可。

5.（新疆乌鲁木齐8分）解方程：
131122
x x =+-- 【答案】解：原方程两边同乘()21x -，得()2321x =+-，
解得12
x =。

检验：当1
2
x =时，()21x -）≠0，
∴原方程的解为1
2
x =。

【考点】解分式方程。

【分析】观察可得最简公分母是()21x -，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解。

6.（新疆自治区、兵团6分）解不等式组593(1)31
1122
x x x x -<-⎧⎪
⎨-≤-⎪⎩，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】解：由①得 3x < ，由②得 1x ≥
∴13x ≤<。

在数轴上表示解集为：
123
-1
-2x O
【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。

不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，
≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。

在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。

7.（新疆自治区、兵团10分）某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销
售量p （个）与每个书包销售价x （元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；
定价为37元时，每天销售26个．问：如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售 单价应定为多少元？
【答案】解：设p kx b =+，则30352637k b
k b
=+⎧⎨
=+⎩，解得：2100k b =-=，。

∴2100p x =-+。

若书包定价为x 元，则有(30)200x p -=，∴(30)(2100)200x x --+=。

解得1240x x ==。

新世纪教育网 精品资料版权所有@新世纪教育网
答：书包的销售单价应定为40元。

【考点】一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式。

【分析】根据题意找出销售价和销售量的关系，然后根据利润200元列方程求解，设此时书包的单价是
x元。

新世纪教育网 精品资料版权所有@新世纪教育网。