江苏省南京市金陵中学 2017-2018 学年第二学期期末考试高二数学试题(解析版)

金陵中学2017-2018学年度第二学期期末考试
高二数学试卷
数学I
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上.
1. 设集合,,则____________.
【答案】{2,4,6,8}
【解析】分析：
详解：因为,,表示A集合和B集合“加”起来的元素，重复的元素只写一个，所以
点睛：在求集合并集时要注意集合的互异性.
2. 已知复数,其中是虚数单位,则的值是____________.
【答案】5
【解析】分析：先将复数z右边化为形式，然后根据复数模的公式计算
详解：因为
所以=5
点睛：复数计算时要把复数化为形式，以防止出错.
3. 某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么的值为____________.
【答案】120
【解析】分析：根据分层抽样的原则先算出总体中女学生的比例，再根据抽取到女学生的人数计算样本容量n
详解：因为共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人
所以女学生占的比例为
女学生中抽取的人数为50人
所以
所以n=120
点睛：分层抽样的实质为按比例抽，所以在计算时要算出各层所占比例再乘以样本容量即为该层所抽取的个数.
4. 如图是一算法的伪代码,则输出值为____________.
【答案】4
【解析】分析：按照循环体执行，直到跳出循环
详解：第一次循环后：S=7，n=6；
第二次循环后：S=13，n=5；
第三次循环后：S=18，n=4；
不成立，结束循环
所以输出值为4
点睛：程序题目在分析的时候一定要注意结束条件，逐次执行程序即可.
5. 如图,在长方体中,,,则三棱锥的体积为____________.
【答案】3
【解析】分析：等体积转化
详解：根据题目条件，在长方体中,
=
=3
所以三棱锥的体积为3
点睛：在求解三棱锥体积问题时，如果所求椎体高不好确定时，往往要通过等体积转化，找到合适的高所对应的椎体进行计算，体现了数学中的转化与化归思想，要深刻体会.
6. 在平面直角坐标系中,若双曲线的一条渐近线方程为,则实数的值为____________. 【答案】
【解析】分析：双曲线的焦点在x轴上，所以其渐近线方程为，根据条件，所以的值为
详解：因为双曲线的焦点在x轴上，
所以其渐近线方程为，
又因为该双曲线一条渐近线方程为,
即
所以的值为
点睛：双曲线渐近线方程：当焦点在x轴上时为，当焦点在y轴上时为.
7. 设各项均为正数的等比数列的前项和为，若,则数列的通项公式为____________. 【答案】
【解析】分析：根据基本量直接计算
详解：因为数列为等比数列，
所以解得：
所以
点睛：在等比数列问题中的未知量为首项和公比，求解这两个未知量需要两个方程，所以如果已知条件可以构造出来两个方程，则一定可以解出首项和公比，进而可以解决其他问题，因此基本量求解是这类问题的基本解法.
8. 将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,则“”的概率是____________.
【答案】
【解析】分析：骰子连续抛掷2次共有36种结果，满足的有6种
详解：一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,
则共有种结果，
满足共有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)6种
则”的概率是
点睛：古典概型概率要准确求出总的事件个数和基本事件个数，然后根据概率公式
求解.
9. 若实数满足条件则的取值范围为____________.
【答案】
【解析】分析：根据满足条件画出可行域，然后分析的最值
详解：满足条件即，画出可行域：
根据可行域可知，目标函数在A点处取得最小值，在C点处取得最大值
，
所以的取值范围为
点睛：点睛：线性规划要能够准确画出可行域，尤其是判断每一个不等式代表的是直线的左侧还是右侧时不能出错，常用带点方法判断比较准确。

10. 在平面直角坐标系中,已知,,两曲线与在区间上交点为.若两曲线在点处的切线与轴分别相交于两点,则线段的为____________.
【答案】
【解析】分析：求出点坐标，然后分别求出和在A处切线方程，即可求出两点坐标
详解：由可得，
所以
又因为所以
所以在A点处切线方程为：
令解得，
所以
又因为所以
所以在A点处切线方程为：
令解得，
所以
所以线段BC的长度为
点睛：熟练记忆导函数公式是解导数题的前提条件，导数的几何意义是在曲线上某一点处的导数就等于该点处切线斜率，是解决曲线切线的关键，要灵活掌握.
11. 如图,在平面四边形中,是对角线的中点,且，. 若,则的值为
____________.
【答案】36
【解析】分析：利用极化恒等式可快速解决此题
详解：如图，O为BC中点，(1) (2)
把(1)式和(2)式两边平方相减得：该结论称为极化恒等式
所以在本题中运用上述结论可轻松解题，
所以
所以
点睛：极化恒等式是解决向量数量积问题的又一个方法，尤其在一些动点问题中运用恰当可对解题思路大大简化，要注意应用.
12. 若对满足的任意正实数,都有,则实数的取值范围为____________.
【答案】
【解析】分析：正实数满足，可求得，由可求得恒成立，利用双钩函数性质可求得a的取值范围.
详解：因为，又因为正实数满足
解得：
由可求得
根据双钩函数性质可知，当时有最小值
所以的取值范围为
点睛：（1）基本不等式是每年高考中必考的考点，要熟练掌握；（2）恒成立问题要注意首选方法是分离参数，将参数分离后让不等式的另一边构造为一个新函数，从而解决新函数的最值是这类问题的基本解题思路.
13. 在平面直角坐标系中,记椭圆的左右焦点分别为，若该椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是____________.
【答案】
【解析】分析：椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，要注意分情况讨论
详解：椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，
设P在第一象限，，当时，
，
即，解得
又因为，所以
当时，
，
即且
解得：
综上或
点睛：圆锥曲线中离心率范围问题是一个难点，在分析时要根据条件找到a和c之间的不等关系，有时可能要利用基本不等式、正余弦定理等其他知识综合分析.
14. 对于任意的实数,记为中的最小值.设函数，，函数,若在恰有一个零点,则实数的取值范围是____________.
【答案】或
【解析】分析：函数可以看做由函数向上或向下平移得到，在同一个坐标系中画出和
图象即可分析出来
详解：如图，设，
所以函数可以看做由函数向上或向下平移得到
其中在上当有最小值
所以要使得,若在恰有一个零点,
满足或
所以或
点睛：函数问题是高考中的热点，也是难点，函数零点问题在选择题或者填空题中往往要数形结合分析比较容易，要能够根据函数变化熟练画出常见函数图象，对于不常见简单函数图象要能够利用导数分析出其图象，数形结合分析.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程.
15. 在平面直角坐标系中,设向量,.
(1)当时,求的值；
(2)若，且.求的值.
【答案】（1）；（2）．
【解析】分析：(1)直接带入即可(2)利用向量数量积打开后再利用二倍角公式变形化同名详解：(1)当时，，，
所以.
(2)
，
若.则，
即.
因为，所以，
所以，
所以
.
点睛：三角函数跟向量的综合是高考当中的热点问题，常常需要利用二倍角公式的逆用对得到的函数关系式进行化简，最终化简为的形式.
16. 如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面平面,,点在棱上,,点是
棱的中点,求证：
(1)平面;
(2)平面.
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】分析：(1)，所以点是棱的中点，所以，所以，所以平面. (2)先证明平面所以，又因为，所以平面.
详解：证明：(1)因为在中,，
所以点是棱的中点.
又点是棱的中点,
所以是的中位线,
所以.
因为底面是矩形,
以,
所以.
又平面,平面,所以平面.
(2)因为平面平面,平面，
平面平面，
所以平面.
又平面,所以.
因为,, ,平面,平面,
所以平面.
点睛：线面垂直的判定和性质定理的应用是高考一直以来的一个热点，把握该知识点的关键在于判定定理和性质定理要熟练掌握理解，见到面面垂直一般都要想到其性质定理，这是解题的关键.
17. 如图,在一个水平面内,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄和供电站恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且位于河流的两岸,村庄侧的河岸所在直线恰经过的中点.现欲在河岸上之间取一点,分别修建电缆和,.设,记电缆总长度为 (单位:千米).
(1)求的解析式；
(2)当为多大时,电缆的总长度最小,并求出最小值.
【答案】（1），；（2）当时,最小值为.
【解析】分析：易得，，，，. (2)求导
，令,得，故当，，递减，当,,递
增，当时,
详解：(1)易得垂直平分，
则，，，
于是，
因为在之间,所以，
故，.
(2)，，
令,得，
故当，，递减,
当,,递增,
所以,当时,.
答:当时,最小值为.
点睛：此题为三角函数的实际应用题，解题时要注意分析题目中的条件，常常跟正余弦定理，三角函数比值关系等几何关系结合在一起考查，不难，但是综合性强；第二问求最值如果不能转化为三角函数求得最值，那就通过导数来分析.
18. 如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且过点.设为椭圆的右焦点,
为椭圆上关于原点对称的两点,连结并延长,分别交椭圆于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线的斜率分别为,是否存在实数,使得?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在,使得.
详解：(1)设椭圆的方程为，，
由题意知
解得所以椭圆的方程为.
(2)设,则,,又,
所以直线的方程为.
由消去，得
.
因为是该方程的一个解,所以点的横坐标.
又点在直线上，
所以，从而点的坐标为(
同理,点的坐标为(，
所以，
即存在,使得.
点睛：椭圆和抛物线的结合也是高考一直以来的一个热点，设而不求思想是圆锥曲线题目的考查核心，韦达定理就是该思想的体现，所以在圆锥曲线中要把所求的问题转化出来韦达定理，整体带入是解题的关键.
19. 设数列的前项的和为,且满足,对,都有 (其中常数),数列满足
.
(1)求证:数列是等比数列；
(2)若,求的值；
(3)若,使得,记,求数列的前项的和.
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】分析：(1)因为两式相减，时所以数列是等比数列
(2) (3)
.所以显然分类讨论即可
详解：(1)证明:因为,都有，
所以两式相减得,
即，
当时，
所以，
又因为,所以，
所以数列是常数列,，
所以是以2为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)得.
所以.
(3)由(1)得.
.
因为，
所以当时,，
当时，.
因此数列的前项的和
.
点睛：数列问题中出现一般都要用这个原理解题，但要注意验证时是否满足；等比数列常常跟对数运算结合在一起，很好的考查了数列的综合分析问题能力，因此在计算时要熟练掌握对数相关运算公式.
20. 在平面直角坐标系中,已知函数的图像与直线相切,其中是自然对数的底数.
(1)求实数的值；
(2)设函数在区间内有两个极值点.
①求实数的取值范围；
②设函数的极大值和极小值的差为,求实数的取值范围 .
【答案】（1）2；（2）①；（2）.
【解析】分析：(1)直接利用导数的几何意义即可求得c值(2)函数在区间
内有两个极值点，则在区间内有两个不同跟即可；的极大值和极小值的差为进行化简分析；
详解：(1)设直线与函数相切于点，
函数在点处的切线方程为:，，
把代入上式得.
所以,实数的值为.
(2)①由(1)知,
设函数在区间内有两个极值点，
令,
则,设,
因为,故只需,所以,.
②因为,所以，
由,得,且.
.
设,,令，
，
(在上单调递减,从而，
所以,实数的取值范围是.
点睛：导数问题一直是高考中的必考考点，也是难点，函数在某区间有两个极值点，说明该函数的导函数在该区间内有两个解，在此类问题中经常跟二次函数结合在一起考查，所以要熟练掌握二次函数根的分布.
高二数学Ⅱ(附加题)
21. 已知矩阵，.
(1)求；
(2)在平面直角坐标系中,求直线在对应的变换作用下所得直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：(1)直接根据逆矩阵公式计算即可(2) 由，即解得，即.
详解：(1)由题知，所以，
根据逆矩阵公式,得.
(2)设由上的任意一点在作用下得到上对应点.
由，即解得，
因为,所以，
即.
即直线的方程为.
点睛：(1)逆矩阵计算公式是解第一问关键，要会掌握其运算公式(2)一直线在对应的变换作用下所得直线的方程计算不难，不要算错一般都可以解决.
22. 在直角坐标系中,以原点为极点,以轴的非负半轴为极轴,取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标
系.设曲线的参数方程为,(为参数,),直线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)求曲线上的点到直线的最大距离.
【答案】（1）.；（2）时，.
（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值．
试题解析：⑴由得，
∴
由得
⑵在上任取一点，则点到直线的距离为
≤3．7分∴当－1，即时，. 10分
考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，2.点到直线距离公式.
23. 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是.
(1)求的值；
(2)设该运动员投篮命中次数为,求的概率分布及数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为．
【解析】分析：(1)设事件:“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件:“前两次投篮均不中”,
所以,(2)的所有可能值为,计算其对应概率即可.
详解：(1)设事件:“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件:“前两次投篮均不中”,
依题意,，
解得.
(2)依题意,的所有可能值为,
且,
，
，
故.
的概率分布列为:
数学期望.
点睛：利用对立事件计算概率是概率问题中长用的方法，所以出现“至多”“至少”等其他关键字眼时要注意利用对立事件的思路解题，往往能够简化计算.
24. 如图,已知正四棱柱的底面边长为2,侧棱长为3,,垂足为,交于点.
(1)求证:⊥平面;
(2)记直线与平面所成的角,求的值.
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】分析：此题建系比较容易，所以两问都用建系处理，以为坐标原点,分别以直线所在直线为轴,
轴,轴，分别写出坐标，设，利用解得所以，所以平面；(2)计算
平面法向量，所以即可解题
详解：(1)如图,以为坐标原点,分别以直线所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系，
易得,设,则，
因为,所以，
解得,即,
又,,
所以,所以,
且，所以，
又，所以平面.
(2)，，，
设平面的一个法向量，
则即
令，则，即，
.
点睛：空间向量是解决立体几何问题很好的方法，也是高考每年的必考考点，所以在遇到此类问题时要注意合理的建立坐标系，建系的原则要尽量使得更多的点落在坐标轴上，这样方便计算.。