九年级上册数学 期末试卷测试卷(含答案解析)

九年级上册数学 期末试卷测试卷（含答案解析）
一、选择题
1．已知抛物线221y ax x =+-与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）
A ．100°
B ．72°
C ．64°
D ．36°
3．在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46,44,45,42,48,46,47,46.则这组数据的中位数为（ ）
A ．42
B ．45
C ．46
D ．48
4．如图，////AD BE CF ，直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点
D E F 、、．已知AB =1，BC =3，DE =1.2，则DF 的长为（ ）
A ．3.6
B ．4.8
C ．5
D ．5.2
5．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，它的对称轴为直线1x =，与x 轴交点
的横坐标分别为1x ，2x ，且110x -<<.下列结论中：①0abc <；②223x <<；
③421a b c ++<-；④方程()2200ax bx c a ++-=≠有两个相等的实数根；⑤13a >.其中正确的有（ ）
A．②③⑤B．②③C．②④D．①④⑤
6．已知OA，OB是圆O的半径，点C，D在圆O上，且//
OA BC，若
26
ADC
∠=︒，则B的度数为（）
A．30B．42︒C．46︒D．52︒
7．分别写有数字﹣4，0，﹣1，6，9，2的六张卡片，除数字外其它均相同，从中任抽一张，则抽到偶数的概率是（）
A．1
6
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
8．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（）
A．180°﹣2αB．2αC．90°+αD．90°﹣α
9．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（）
A．摸出黑球的可能性最小B．不可能摸出白球
C．一定能摸出红球D．摸出红球的可能性最大
10．如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
11．下列对于二次函数y＝﹣x2+x图象的描述中，正确的是（）
A．开口向上B．对称轴是y轴
C．有最低点D．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的12．“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材
中的话，判断方程x2﹣2x=1
x
﹣2实数根的情况是（）
A ．有三个实数根
B ．有两个实数根
C ．有一个实数根
D ．无实数根
二、填空题
13．若方程2410x x -+=的两根12,x x ，则122(1)x x x 的值为__________．
14．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为_____．
15．如图是测量河宽的示意图，AE 与BC 相交于点D ，∠B=∠C=90°，测得BD=120m ，DC=60m ，EC=50m ，求得河宽AB=______m ．
16．已知线段4AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么线段
AP =______.（结果保留根号）
17．设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，则1212x x x x ++=______.
18．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C ，则线段A′C 长度的最小值是______．
19．关于x 的方程220kx x --=的一个根为2，则k =______.
20．如图，曲线AB 是顶点为B ，与y 轴交于点A 的抛物线y ＝﹣x 2+4x +2的一部分，曲线
BC 是双曲线k y x
=
的一部分，由点C 开始不断重复“A ﹣B ﹣C ”的过程，形成一组波浪线，点P （2018，m ）与Q （2025，n ）均在该波浪线上，则mn ＝_____．
21．如图，E 是▱ABCD 的BC 边的中点，BD 与AE 相交于F ，则△ABF 与四边形ECDF 的面积之比等于_____．
22．像23x +＝x 这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x +3＝x 2，解得x 1＝3，x 2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x 1＝3时，9＝3满足题意；当x 2＝﹣1时，1＝﹣1不符合题意；所以原方程的解是x ＝3．运用以上经验，则方程x +5x +＝1的解为_____．
23．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x ，则列出方程是______________．
24．二次函数y ＝2x 2﹣4x +4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P ，点N 是其图象上异于点P 的一点，若PM ⊥y 轴，MN ⊥x 轴，则2MN PM
＝_____．
三、解答题
25．现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．
如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64 m 的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3 m 处达到最高，高度为1 m ．
（1）求喷灌出的圆形区域的半径；
（2）在边长为16 m 的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿
化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程） 26．（1）解方程：27100x x -+=
（2）计算：cos60tan 452cos 45︒⨯︒-︒
27．如图，四边形OABC 为矩形，OA =4，OC=5，正比例函数y=2x 的图像交AB 于点D ，连接DC ，动点Q 从D 点出发沿DC 向终点C 运动，动点P 从C 点出发沿CO 向终点O 运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了t s ．
（1）求点D 的坐标；
（2）若PQ ∥OD ，求此时t 的值？
（3）是否存在时刻某个t ，使S △DOP =
52S △PCQ ？若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由；
（4）当t 为何值时，△DPQ 是以DQ 为腰的等腰三角形?
28．如图，已知抛物线y 1＝﹣12x 2+32
x+2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 是抛物线的对称轴，一次函数y 2＝kx+b 经过B 、C 两点，连接AC ．
（1）△ABC 是 三角形；
（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；
（3）结合图象，写出满足y 1＞y 2时，x 的取值范围 ．
29．（1）（学习心得）于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图1，在ABC 中，,90AB AC BAC ∠==,D 是ABC 外一点，且AD AC =,求BDC ∠的度数.若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助A ，则C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=________.
（2）（问题解决）如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=,25BDC ∠=,求BAC ∠的度数.
（3）（问题拓展）如图3，,E F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =.连接交于点，连接CF 交BD 于点G ,连接BE 交于点H ,若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是_______.
30．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元.试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件.设每件商品降价x 元时，日盈利为w 元.据此规律，解决下列问题：
（1）降价后每件商品盈利 元，超市日销售量增加 件（用含x 的代数式表示）； （2）在上述条件不变的情况下，求每件商品降价多少元时，超市的日盈利最大？最大为多少元？
31．⊙O 为△ABC 的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图1，AC=BC ；
（2）如图2，直线l 与⊙O 相切于点P ，且l ∥BC ．
32．某公司研发了一种新产品，成本是200元/件，为了对新产品进行合理定价，公司将该产品按拟定的价格进行销售，调查发现日销量y （件）与单价x （元/件）之间存在一次函数关系y ＝﹣2x +800（200＜x ＜400）．
（1）要使新产品日销售利润达到15000元，则新产品的单价应定为多少元？
（2）为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题目信息可知当y=0时，20a 21x x =+-，此时0<，可以求出a 的取值范围，从而可以确定抛物线顶点坐标的符号，继而可以确定顶点所在的象限.
【详解】
解：∵抛物线2
y a 21x x =+-与x 轴没有交点， ∴2a 210x x +-=时无实数根；
即，24440b ac a =-=+<，
解得，a 1<-，
又∵2y a 21x x =+-的顶点的横坐标为：2102a a -
=->； 纵坐标为：()414
104a a a a
⨯----=<； 故抛物线的顶点在第四象限.
故答案为：D.
【点睛】
本题考查的知识点是抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据抛物线与x 轴无交点得出2a 210x x +-=时无实数根，再利用根的判别式求解a 的取值范围.
2．C
解析：C
【解析】 【分析】
【详解】
试题分析：设AC 和OB 交于点D ，根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数2倍可得：∠O=2∠A=72°，根据∠C=28°可得：∠ODC=80°，则∠ADB=80°，则∠B=180°-∠A-∠ADB=180°-36°-80°=64°，故本题选C ．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据中位数的定义，把8个数据从小到大的顺序依次排列后，求第4，第5位两数的平均数即为本组数据的中位数.
【详解】
解：把数据由小到大排列为：42,44,45,46,46,46,47,48
∴中位数为
4646462
+=. 故答案为：46.
【点睛】 找中位数的时候一定要先排好大小顺序，再根据奇数个数和偶数个数来确定中位数.如果是奇数个，则正中间的数字即为中位数；如果是偶数个，则找中间两个数的平均数为中位数.先将数据按从小到大顺序排列是求中位数的关键.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】
解：////AD BE CF ，
AB DE BC EF ∴=，即1 1.23EF
=， 3.6EF ∴＝，
3.6 1.2
4.8DF EF DE ∴++＝＝＝，
故选B ．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用抛物线开口方向得到a ＜0，利用对称轴位置得到b ＞0，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得c ＜0，则可对①进行判断；根据二次函数的对称性对②③进行判断；利用抛物线与直线y=2的交点个数对④进行判断，利用函数与坐标轴的交点列出不等式即可判断⑤.
【详解】
∵抛物线开口向下，
∴a ＜0，
∵对称轴为直线1x =
∴b=-2a ＞0
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，
∴c ＜-1，
∴abc ＞0，所以①错误；
∵110x -<<，对称轴为直线1x = ∴1212
x x +=故223x <<，②正确； ∵对称轴x=1，∴当x=0，x=2时，y 值相等，
故当x=0时，y=c ＜0，
∴当x=2时，y=421a b c ++<-，③正确；
如图，作y=2，与二次函数有两个交点，
故方程()2
200ax bx c a ++-=≠有两个不相等的实数根，故④错误； ∵当x=-1时，y=a-b+c=3a+c ＞0，
当x=0时，y=c ＜-1
∴3a ＞1， 故13
a >
，⑤正确； 故选A.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置． 当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．也考查了二次函数的性质．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接OC ，根据圆周角定理求出∠AOC ，再根据平行得到∠OCB ，利用圆内等腰三角形即可求解.
【详解】
连接CO ，
∵26ADC ∠=︒
∴∠AOC=252ADC ∠=︒
∵//OA BC
∴∠OCB=∠AOC=52︒
∵OC=BO ， ∴B =∠OCB=52︒
故选D.
【点睛】
此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆的基本性质及圆周角定理的内容.
7．D
解析：D
【解析】
根据概率公式直接计算即可．
【详解】
解：在这6张卡片中，偶数有4张，
所以抽到偶数的概率是4
6
＝
2
3
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了随机事件的概率，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，灵活利用概率公式是解题的关键.
8．D
解析：D
【解析】
连接OC，则有∠BOC=2∠A=2α，
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，
∴2∠OBC+2α=180°，
∴∠OBC=90°-α，
故选D.
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据概率公式先分别求出摸出黑球、白球和红球的概率，再进行比较，即可得出答案．
【详解】
解：∵不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，共有23个球，
∴摸出黑球的概率是2 23
，
摸出白球的概率是1 23
，
摸出红球的概率是20 23
，
∵1
23
＜
2
23
＜
20
23
，
∴从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性最大；
【点睛】
本题考查了可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接AO、BO、CO，根据中心角度数＝360°÷边数n，分别计算出∠AOC、∠BOC的度数，根据角的和差则有∠AOB＝30°，根据边数n＝360°÷中心角度数即可求解．
【详解】
连接AO、BO、CO，
∵AC是⊙O内接正四边形的一边，
∴∠AOC＝360°÷4＝90°，
∵BC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∴n＝360°÷30°＝12；
故选：D．
【点睛】
本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵二次函数y＝﹣x2+x＝﹣(x
1
2
)2+
1
4
，
∴a＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A错误；
对称轴是直线x＝1
2
，故选项B错误；
当x＝1
2
时取得最大值
1
4
，该函数有最高点，故选项C错误；
在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．
12．C
解析：C
【解析】
试题分析：由得，，即是判断函数与函数的图象的交点情况.
因为函数与函数的图象只有一个交点
所以方程只有一个实数根
故选C.
考点：函数的图象
点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意.
二、填空题
13．5
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系求出，代入即可求解．
【详解】
∵是方程的两根
∴=-=4，==1
∴===4+1=5，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是
解析：5
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系求出12x x +，12x x ⋅代入即可求解．
【详解】
∵12,x x 是方程2410x x -+=的两根
∴12x x +=-b a =4，12x x ⋅=c a
=1 ∴122(1)x x x =1122x x x x ++=1212x x x x ++=4+1=5，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知12x x +=-b a ，12x x ⋅=c a
的运用． 14．【解析】
试题分析：先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
由平均数的公式得：（1+2+3+4+5）÷5=3，
∴方差=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4
解析：【解析】
试题分析：先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案． 由平均数的公式得：（1+2+3+4+5）÷5=3，
∴方差=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]÷5=2．
考点：方差．
15．100
【解析】
【分析】
由两角对应相等可得△BAD ∽△CED ，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB 的长．
【详解】
解：∵∠ADB=∠EDC ，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD ∽△E
解析：100
【解析】
【分析】
由两角对应相等可得△BAD ∽△CED ，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB 的
长．
【详解】
解：∵∠ADB=∠EDC ，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD ∽△ECD ， ∴AB BD EC CD
=， 即BD EC AB CD ⨯=
， 解得：AB=
1205060
⨯ =100（米）． 故答案为100．
【点睛】 本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
16．【解析】
【分析】
根据黄金比值为计算即可.
【详解】
解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ）
∴
故答案为：.
【点睛】
本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.
解析：2
【解析】
【分析】
计算即可. 【详解】
解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ）
∴AP 2AB ==
故答案为：2.
【点睛】
本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.
17．－5.
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】
∵，是关于的一元二次方程的两根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果，是方
解析：－5.
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】
∵1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，
∴12121
4x x x x +=-=-，， ∴()1212145x x x x ++=-+-=-，
故答案为：5-．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果1x ，2x 是方程2
0x px q ++=的两根，那么12x x p +=﹣，12x x q =． 18．【解析】
【分析】
【详解】
解：如图所示：∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即A′在MC 上时， 过点M 作MF ⊥DC 于点F ，
∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 为AD 中点，
∴2
解析：2
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图所示：∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即A′在MC 上时，
过点M 作MF ⊥DC 于点F ，
∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 为AD 中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=1
MD=1，
2
∴FM=DM×cos30°=3，
∴2227
=+=，
MC FM CF
∴A′C=MC﹣MA′=272
-．
-．
故答案为272
【点评】
此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．19．1
【解析】
【分析】
方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．
【详解】
把x＝2代入方程得：4k−2−2＝0，解得k＝1
故
解析：1
【解析】
【分析】
方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．
【详解】
把x＝2代入方程得：4k−2−2＝0，解得k＝1
故答案为:1．
【点睛】
本题主要考查了方程的根的定义，是一个基础的题目．
20．24
【解析】
【详解】
点B是抛物线y=﹣x2+4x+2的顶点，
∴点B的坐标为（2，6），
2018÷6=336…2，故点P离x轴的距离与点B离x轴的距离相同，∴点P的坐标为（2018，6），
解析：24
【解析】
【详解】
点B是抛物线y=﹣x2+4x+2的顶点，
∴点B的坐标为（2，6），
2018÷6=336…2，故点P离x轴的距离与点B离x轴的距离相同，
∴点P的坐标为（2018，6），
∴m＝6；
点B（2，6）在
k
y
x
=的图象上，
∴k＝6；
即
12
y
x
=，
2025÷6=337…3，故点Q离x轴的距离与当x＝3时，函数
12
y
x
=的函数值相等，
又x＝3时，12
4
3
y==，
∴点Q的坐标为（2025，4），
即n＝4，
∴mn=6424.
⨯=
故答案为24．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及二次函数的图象与性质．本题是一道找规律问题．找到点P、Q在A﹣B﹣C段上的对应点是解题的关键．
21．【解析】
【分析】
△ABF和△ABE等高，先判断出，进而算出，△ABF和
△ AFD等高，得，由，即可解出．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵E是▱
解析：2 5
【解析】
△ABF 和△ABE 等高，先判断出23
ABF ABE S AF S AE ∆∆==，进而算出6ABCD ABF S S ∆=，△ABF 和 △ AFD 等高，得2ADF ABF S DF S BF
∆∆==，由5=2
ABE ADF ABF ECDF S S S S S ∆∆∆=--四边形平行四边形ABCD ，即可解出． 【详解】
解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，
又∵E 是▱ABCD 的BC 边的中点， ∴12
BE EF BF BE AD AF DF BC ====， ∵△ABE 和△ABF 同高， ∴23
ABF ABE S AF S AE ∆==， ∴S △ABE ＝32
S △ABF ， 设▱ABCD 中，BC 边上的高为h ， ∵S △ABE ＝
12×BE ×h ，S ▱ABCD ＝BC ×h ＝2×BE ×h ， ∴S ▱ABCD ＝4S △ABE ＝4×
32
S △ABF ＝6S △ABF ， ∵△ABF 与△ADF 等高， ∴2ADF ABF S DF S BF ∆∆==， ∴S △ADF ＝2S △ABF ，
∴S 四边形ECDF ＝S ▱ABCD ﹣S △ABE ﹣S △ADF ＝
52S △ABF ， ∴25
ABF
ECDF S S ∆=四边形， 故答案为：
25
． 【点睛】 本题考查了相似三角的面积类题型，运用了线段成比例求面积之间的比值，灵活运用线段比是解决本题的关键．
22．x ＝﹣1
【解析】
根据等式的性质将x移到等号右边，再平方，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．
【详解】
解：将x移到等号右边得到：＝1﹣x，
两边平方，得
x+5＝1﹣2x
解析：x＝﹣1
【解析】
【分析】
根据等式的性质将x移到等号右边，再平方，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．
【详解】
解：将x1﹣x，
两边平方，得
x+5＝1﹣2x+x2，
解得x1＝4，x2＝﹣1，
检验：x＝4时，＝5，左边≠右边，∴x＝4不是原方程的解，
当x＝﹣1时，﹣1+2＝1，左边＝右边，∴x＝﹣1是原方程的解，
∴原方程的解是x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
【点睛】
本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，注意观察方程的结构特点，把无理方程转化成一元二次方程的形式进行解答，需要同学们仔细掌握．
23．=31.5
【解析】
【分析】
根据题意，第一次降价后的售价为，第二次降价后的售价为，据此列方程得解．
【详解】
根据题意，得：
=31.5
故答案为：=31.5．
【点睛】
本题考查一元二次方程的
解析：()2
561x -=31.5
【解析】
【分析】
根据题意，第一次降价后的售价为()561x -，第二次降价后的售价为()2561x -，据此列方程得解．
【详解】
根据题意，得：
()2
561x -=31.5
故答案为：()2561x -=31.5．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键是理解第二次降价是以第一次降价后的售价为单位“1”的． 24．【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式可得到点P 的坐标，然后设出点M 、点N 的坐标，然后计算即可解答本题．
【详解】
解：∵二次函数y ＝2x2﹣4x+4＝2（x ﹣1）2+2，
∴点P 的坐标为（1
解析：【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式可得到点P 的坐标，然后设出点M 、点N 的坐标，然后计算2
MN PM 即可解答本题． 【详解】
解：∵二次函数y ＝2x 2﹣4x +4＝2（x ﹣1）2+2，
∴点P 的坐标为（1，2），
设点M 的坐标为（a ，2），则点N 的坐标为（a ，2a 2﹣4a +4）， ∴2MN PM ＝()222442(1)a a a -+--＝()22222212422121
a a a a a a a a -+-+=-+-+＝2， 故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何的问题，解题的关键是求出点P 左边，设出点M 、点N 的坐标，表达出2MN PM
． 三、解答题
25．（1）8m ；（2）不可以，水管高度调整到0.7m ，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意设最远的抛物线形水柱的解析式为2(3)1y a x =-+，然后将（0,0.64）代入
解析式求得a 的值，然后求解析式y=0时，x 的值，从而求得半径；（2）利用圆与圆的位置关系结合正方形，作出三个等圆覆盖正方形的图形，然后利用勾股定理求得圆的半径，从而使问题得解.
【详解】
解：（1）由题意，设最远的抛物线形水柱的解析式为2(3)1y a x =-+，将（0,0.64）代入解析式，得910.64a += 解得：125
a =- ∴最远的抛物线形水柱的解析式为21(3)125y x =-
-+ 当y=0时，21(3)1025
x --+= 解得：128;2x x ==-
所以喷灌出的圆形区域的半径为8m ；
（2）如图，三个等圆覆盖正方形
设圆的半径MN=NB=ME=DE=r ，则2r 2r
∴在Rt△AMN 中，22216)(162)r r r -+-=（
2(162)2560r r -++=
解得：8828221r =+-（其中882+822116+->，舍去）
∴88282218.5r =+-≈
设最远的抛物线形水柱的解析式为2(3)1y a x =-+，将（8.5,0）代入
25.51=0a +
解得: 4=121a -
∴24(3)1121
y x =--+ 当x=0时，y=850.7121
≈ ∴水管高度约为0.7m 时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式，根据题意设抛物线为顶点式是本题的解题关键.
26．（1）∴x 1＝2，x 2＝5；（2）12
-
【解析】
【分析】
（1）用因式分解法解一元二次方程；
（2）先将特殊角三角形函数值代入，然后进行实数的混合运算．
【详解】
解：（1）27100x x -+= (2)(5)0x x --=
∴x 1＝2，x 2＝5
（2）cos60tan 4545︒⨯︒-︒
1
122
=⨯ 12
=-． 【点睛】
本题考查解一元二次方程，特殊角三角函数值的混合运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．
27．（1）D （2，4）；（2）52
t =；（3）存在，t 的值为2 ；（4）当15t =或22511t =或3256
t =时，△DPQ 是一个以DQ 为腰的等腰三角形 【解析】
【分析】
（1）由题意得出点D 的纵坐标为4，求出y=2x 中y=4时x 的值即可得；
（2）由PQ ∥OD 证△CPQ ∽△COD ，得CQ CP CD CO
=，即555t t -=，解之可得； （3）分别过点Q 、D 作QE ⊥OC ，DF ⊥OC 交OC 与点E 、F ，对于直线y=2x ，令y=4求出x
的值，确定出D 坐标，进而求出BD ，BC 的长，利用勾股定理求出CD 的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形CQE 与三角形CDF 相似，由相似得比例表示出QE ，由底PC ，高QE 表示出三角形PQC 面积，再表示出三角形ODP 面积，依据S △DOP =
52
S △PCQ 列出关于t 的方程，解之可得；
（4）由三角形CQE 与三角形CDF 相似，利用相似得比例表示出CE ，PE ，进而利用勾股定理表示出PQ 2，DP 2，以及DQ ，分两种情况考虑：①当DQ=DP ；②当DQ=PQ ，求出t 的值即可．
【详解】
解：（1）∵OA =4
∴把4y =代入2y x =得2x =
∴D （2，4）．
（2）在矩形OABC 中，OA =4，OC=5
∴AB =OC =5，BC =OA =4
∴BD =3，DC =5
由题意知：DQ =PC =t
∴OP =CQ =5-t
∵PQ ∥OD
∴
CQ CP CD CO = ∴555
t t -= ∴52
t = ． （3）分别过点Q 、D 作QE ⊥OC ， DF ⊥OC 交OC 与点E 、F
则DF =OA =4
∴DF ∥QE
∴△CQE ∽△CDF
∴QE CQ DF CD = ∴545QE t -= ∴455t QE -=
（） ∵ S △DOP =52
S △PCQ ∴151********t t =t （）（）--⨯⨯⨯ ∴12t =，25t =
当t =5时，点P 与点O 重合，不构成三角形，应舍去
∴t 的值为2．
（4）∵△CQE ∽△CDF
∴QE CQ DF CD
= ∴4(5)5
QE t =- 38(5)355
PE t t t =--=- ∴222216(5)816(3)16252555
t PQ t t t -=+-=-+ 2224(3)DP t =+-
2DQ t =
①当DQ PQ =时，221616255t t t =
-+， 解之得：1225511
t ,t == ②当DQ DP =时，2224(3)t t +-=
解之得：256
t = 答：当15t =或22511t =
或3256t =时，△DPQ 是一个以DQ 为腰的等腰三角形． 【点睛】
此题属于一次函数的综合问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解本题的关键．
28．（1）直角;（2）P （
32，54
）;（3）0＜x ＜4. 【解析】
【分析】 （
1）求出点A 、B 、C 的坐标分别为：（-1，0）、（4，0）、（0，2），则AB 2=25，AC 2=5，BC 2=20，即可求解；
（2）点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，则直线BC 与对称轴的交点即为点P ，即可求解；
（3）由图象可得：y 1＞y 2时，x 的取值范围为：0＜x ＜4．
【详解】
解：（1）当x=0时，
y 1＝0+0+2=2，
当y=0时，
﹣
12x 2+32
x+2=0， 解得
x 1=-1，x 2=4， ∴点A 、B 、C 的坐标分别为：(﹣1，0)、(4，0)、(0，2)，
则AB 2＝25，AC 2＝5，BC 2＝20，
故AB 2＝AC 2+BC 2，
故答案为：直角；
（2）将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx+b 得：
400k b b +=⎧⎨=⎩
， 解得
122
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的表达式为：y ＝﹣
12x+2， 抛物线的对称轴为直线：x ＝32
， 点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，则直线BC 与对称轴的交点即为点P ，
当x ＝32时，y ＝12-×32+2＝54
，
故点P(3
2
，
5
4
)；
（3）由图象可得：y1＞y2时，x的取值范围为：0＜x＜4，
故答案为：0＜x＜4．
【点睛】
本题考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，轴对称最短的性质，勾股定理及其逆定理，以及利用图像解不等式等知识，本题难度不大．
29．（1）45；（2）25°；（3）51
【解析】
【分析】
（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半可得OH＝1
2
AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角
形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【详解】
（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝1
2
∠BAC＝45°，
故答案是：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°；
（3）在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
AB CD
BAD CDA
AE DF
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
AD CD
ADG CDG
DG DG
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH＋∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1＋∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°−90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝
1
2
AB＝1，
在Rt△AOD中，OD2222
125
AO AD
++=
根据三角形的三边关系，OH＋DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD−OH5．
【点睛】
本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
30．（1）(30-x);10x；（2）每件商品降价10元时，商场日盈利最大，最大值是4000元.【解析】
【分析】
（1）降价后的盈利等于原来每件的盈利减去降低的钱数；件降价1元，超市平均每天可多售出10件，则降价x元，超市平均每天可多售出10x件；
（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=利润w，化为一般式后，再配方可得出结论．
【详解】
解：（1）降价后每件商品盈利(30-x)元；，超市日销售量增加10x件；
（2）设每件商品降价x元时，利润为w元
根据题意得：w=(30-x)(100+10x)= -10x2+200x+3000=-10(x-10)2+4000
∵-10<0，∴w有最大值，
当x=10时，商场日盈利最大，最大值是4000元；
答：每件商品降价10元时，商场日盈利最大，最大值是4000元．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的实际应用，根据题意找出等量关系式列出利润w关于x的二次函数解析式是解题的关键．
31．（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，弧AC=弧BC，根据垂径定理的推理得CD 垂直平分AB，所以CD将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC 分成面积相等的两部分．
试题解析：（1）如图1，直径CD为所求；
（2）如图2，弦AD为所求．
考点：1．作图—复杂作图；2．三角形的外接圆与外心；3．切线的性质；4．作图题．32．（1）要使新产品日销售利润达到15000元，则新产品的单价应定为250元或350
元；（2）为使公司日销售获得最大利润，该产品的单价应定为300元．
【解析】
【分析】
（1）根据“总利润=每件的利润×销量”列出一元二次方程即可求出结论；。