微元法在高中物理中的运用及技巧简说

微元法在高中物理中的运用及技巧简说
微积分在高中要求不是很高，但它的思想可以说贯穿了整个高中物理。

比如瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势、匀变速直线运动位移公式、重力做功的特点等都用到了微元法的思想，学会这种研究问题的方法可以丰富我们处理问题的手段，拓展我们的思维，特别是在解决高层面物理问题时，常常起到事半功倍的效果。

微元法，即在处理问题时，从事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问题的方法。

微元法基本思想内涵可以概括为两个重要方面：一是“无限分割”（取微元）；二是“逼近”（对微元作“低细节”描述）。

用微元法解决问题的特点是“大处着眼，小处着手”，具体说即是对事物作整体客观观察后，必须取出该事物的某一小单元，即微元进行分析，通过微元构造“低细节”的物理描述，最终解决整体问题。

所以微元法解决问题的两要诀就是取微元与对微元作“低细节”描述。

如何取微元呢？主要有这么几种：对整体对象进行无限分割得到“线元”、“面元”、“体元”、“角元”等；也可以分割一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；还可以对各种物理量进行分割，得到诸如“元电荷”、“元功”、“元电流”等相应的元物理量；这些微元都是通过无限分割得到的，要多么小就有多么小的“无穷小量”，解决整体问题就要从它们入手。

对微元作“低细节”描述，即通过对微元性质作合理近似描述，在微元是无穷小量的前提下，通过求取极限，达到向精确描述的逼近。

关于逼近有这么常见的几种逼近：①“直”向“曲”的逼近。

例如质量为m的物体由A沿曲线运动到B时，计算重力做的功。

我们将曲线AB细分成n段小弧，任意一段元弧可以近似地看成一段直线，则重力做的元功为Wi=mglicosθ＝mgHi，在无限分割下，即n→∞的条件下，WG=ΣWi＝mgH；②平均值向瞬时值的逼近。

例如瞬时速度的求解，设某时刻t至邻近一时间点t’长度为△x，则物体在时间△t内平均速度为■=■，当△t→０时，该时间元的平均速度即时刻的瞬时速度。

③常量向变量的逼近。

例如由v-t图推导匀变速直线运动位移时间关系时，任意时间间隔△t内Vi≠Vi＋１，当△t→０时，Vi＝Vi＋１，位移元Ｘi＝Vi △t，所以Ｘ＝ΣＸi梯形的面积。

了解了取微元和逼近，那么微元法该如何使用呢？微元法解决问题的一般思维与操作程序有这么三个过程：首先决定是否试用微元法；然后选择适当的微元；最后对微元作物理及数学处理。

在中学物理中下列情景往往可考虑用微元法求解：
（1）整体对称问题：即讨论的问题属于整体内部的一种对称联系，这时可对整体作均匀细分，取其中任何一微元作“隔离体”加以研究，这样就将整体内部关系转化为微元与其余部分的相互关系，以便应用反映事物相互联系的物理规律求解。

例1、如图所示，质量为M的均质圆环半径为R，圆心在O点，另有一大小可以不计、质量为m的物体B放在位于环心O且垂直于环面得光滑导轨上，物体与环心相距为d。

则整个圆环与物体之间的万有引力大小为多少？
如图将圆环细分，每一份就是一个质量元，其中任一质量元△M当n→∞可以看成质点处理，可以计算出该质量元与m之间的万有引力Fi=■，由环的对称性可知△M’与△M的万有引力产生的竖直方向的分量相互平衡，故整个圆环与物体之间的万有引力为F=ΣFi水平=Σ■cosθ。

（2）暂态问题：即问题所述情景属事物变化全景中的某特殊场景。

这时，需选取一与该状态逼近的相邻状态，从而获得一元过程，对该微元过程运用相应的物理规律求解。

例2、如图一，长为L、质量均匀为M的链条套在一表面光滑，顶角为n 的圆锥上，当链条在圆锥上静止时，链条中的张力是多少？
任取链条上一小微元段，其所对圆心角为△θ=■（n→∞），其质量△M＝■，分析其受力如图（2）：重力△Mg，圆锥面支持力FNi及小链元两端所受链条其余部分拉力的合力Fi，由图（3）可知Fi=2Tsin■，△θ很小时，sinθ≈θ，Fi=T■，由链元平衡，得T■=■cot■，T=■cot■。

（3）变量问题：即问题所处物理情景涉及的物理量是变化的，诸如变力、变质量、变位置、变化的场、变化的过程等等。

这类问题需要在对整体作无穷细分后，选取某特定微元作研究对象，将对微元的处理结果进一步推广到一般微元，最终得解。

例3、如图所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直与导轨平面。

现给金属杆一个水平向右的初速度V0，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？
杆在整个运动过程中速度是变化的，设某一时刻速度为Vi，则此时Fi=■，得ai=■=■，取速度变化元△Vi=ai△t=■，Σ△Vi＝Σ■，得V０＝■dmax，所以dmax ＝■。

从上面几个例题分析可知微元法基本遵循这样的解题过程：首先分割取微元逼近，然后找出规律求解计算。

在采用微元法之后，微元的选择是否“适当”将直接影响问题解决的成败与难易。

因为取微元是对整体对象做无限分割，这里“适当”包含两层含义：①微元必须保留着作为整体成员所具备的本质特征。

因而可对其运用规律，又能作为无穷小量发挥其特别功能，从而可以对其进行“低细节”描述。

②被分割的整体对象是什么，应该视具体问题定夺，以使问题能在初等数学范畴内解决。

选取微元后，如何对微元作正确的“低细节”描述这才是难点之处，但也是微元法精彩之处。

近几年江苏高考模拟题中微元法的思想已经有所体现，
此类应用题一般难度都比较大，因为在解决此类物理问题时，都需要对研究对象作物理及数学的处理以求得结论，这对学生的能力要求非常高。

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