自动控制原理5课件简化版

自动控制原理
主要内容
第一章 自动控制原理导论
第二章 自动控制系统的数学模型 第三章 自动控制系统的时域分析
第四章 自动控制系统的复数域分析——根轨迹法 第五章 自动控制系统的频率域分析——频率响应法
第一章 自动控制原理导论 1.1 自动控制概念
在没有人直接参与的情况下，通过控制器使被控对象或过程按照预定的规律运行。

能够实现自动控制任务的系统称为自动控制系统。

1.2 自动控制的基本方式 1. 开环控制系统
在没有反馈的情况下,利用执行机构直接控制受控对象的控制系统.
例：直流电动机转速开环控制系统
简单；不准确（希望1000r/min ，实际950r/min ）。

2. 闭环控制系统——引入负反馈
对输出进行测量,将此测量信号反馈,并与预期的输入(参考或指令输入)进行比较的系统。

例：直流电动机转速闭环控制系统
准确；复杂、设备多。

r
e
n
u
y
控制器
受控对象
输入量
输出量
控制量
扰动
测量元件 -
控制器
受控对象
输入量
输出量
控制量
扰动
u
n
r
1.3 对控制系统性能的基本要求-----稳定：有一定的稳定裕量。

稳定性是压倒一切的。

对线性系统，有成熟的稳定性分析方法。

对非线性复杂系统，很难，需要高深的数学——是自动控制重要研究内容。

符合要求的动态响应特性。

满足要求的稳态响应（静态精度）。

1.4 自动控制系统的组成 受控系统
第二章 自动控制系统的数学模型 2.1 控制系统的输入/输出模型(I/O 模型) 设线性定常系统
用系统的输入、输出信号或其变换式所表示的数学模型。

当I/O 为：
r(t) c(t) 时域:微分方程 R(s) C(s) 复数域:传递函数 R(j ) C(j ) 频域:频域特性
描写线性定常系统的微分方程
)()()()(01111t c a t c dt d a t c dt d a t c dt d a n n n n n n ++++--- )()()()( 01111t r b t r dt d
b t r dt d b t r dt d b m m m m m m ++++=---
)
,,1,0(),,,1,0(m j b n i a j i ==
例：试求RLC 串联电路的微分方程。

以电压U0为输入量，电压UC 为输出量。

控制系统
输入
输出
微分方程——时域中的数学模型
解
:
()()()()
t U t U t U t U C R L 0=++
()()()()t U t U R t i d t t d i L C 0=++()()()()t U t U dt t du RC dt t u d LC
C c c 022 =++
建立系统微分方程的一般步骤：
(1)确定输入，输出;(2)列写各环节的微分方程;(3)消去中间变量，求得输出/输入关系；(4)化为标准形式。

对于描写线性定常系统的微分方程
=++++---)()()()(01111t c a t c dt d
a t c dt d a t c dt d a n n n n n n )()()()( 01111t r
b t r dt d
b t r dt d b t r dt d b m m m m m m ++++---
m n ≥
取拉氏变换（零初始条件）
()()=++++--s C a s a s a s
a n n n
n
0111 ()()
s R b s b s b s b m m m m 0111 ++++--
当t<0时，系统输入r(t)，输出c(t)及它们的各阶导数均为零。

()()()()[]
()[]
t r L t c L a s a s a s a b s b s b s b s R s C n n n n m m m m =
=++++++++=
∆
----s G 01110
111 G(S)：线性定常系统的传递函数
传递函数:在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。

例：RLC 串联电路（电压U0为输入量，电压UC 为输出量）。

()()()()
t U t U dt t du RC dt t u d LC C c c 022 =++
另一方法
复阻抗 ()()()s I s U s Z = (),Ls s Z L =(),R s Z R =(),
1Cs s Z c =()()()()()()()1111
20++=++=++=
=
R C s L C s Cs R Ls Cs s Z s Z s Z s Z s U s U s G C R L C c
传递函数的含义
1）反映系统的输入量与输出量之间的传递关系。

2）反映系统数学模型的阶次。

i
()
t U 0()
t U c i
()
t U 0()
t U c 复数域中的数学模型——传递函数
时域：()()()t r t g t c *=s 域(复数域)：()()()s R s G s C = ()()[]t g L =s G 典型环节的传递函数 ★比例环节
()()
t r K t c p =
()p
K s G =---比例系数,增益
★一阶)惯性环节 ()()()t Kr t c t c
T =+ ()1+=
Ts K
s G （K ：比例系数，增益；T 时间常数）
★(积分环节
()()t Kr t c
T i =
()s T K
s G i =
（Ti 积分时间常数）
★微分环节
()()t r
T t c d =
()s
T s G d = 实际系统一般采用具有惯性的微分环节。

()1+=
Ts s
T s G d
★延迟环节 ()()τ-=t r t c ()s
e s G τ-=
★(二阶)振荡环节 ()()()()10,22
<<=++ζζt r t c t c T t c T
()T s s s G n n n n 1
,2222
=++=ωωζωω 频率特性——频率域中的数学模型
在正弦输入下，系统输出的稳态分量与输入量的复数之比。

()()ω
ωj s s G j G ==
2.2 框图模型 用方框和信号线按信号的传递关系连接起来得到的有向图形。

信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向。

引出点（测量点）：表示信号引出或测量的位置。

比较点：表示对两个以上的信号进行加减运算。

方框（环节）：表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统传函。

原则：输出、输入信号不变
1. 环节串联
2. 环节并联
C(s)
G(s)
-
H(s)
B(s)
E(s)
B R(s)
结构图的等效变换
3. 环节反馈联接
特别地，负反馈系统
闭环传递函数：()()()()()()s H s G s G s R s C s W +=
=
1()()s W s G K +=1
前向传函：()()()s G s E s C = 开环传函：()()()()()s W s H s G s E s B K ==
4. 分支点移动规则
★分支点前移
★分支点后移
5. 比较点移动规则 ★比较点前移
★比较点前移
第三章自动控制系统的时域分析
3.1 控制系统的稳定性分析 一.稳定性的概念
稳定系统: 在有界输入作用下,系统输出响应也是有界的动态系统。

线性系统稳定的充要条件：系统微分方程的特征方程的全部根（闭环系统的极点）都位于复平面的左半平面。

线性系统临界稳定的充要条件：特征方程在右半复平面没有根，在虚轴上有单重根。

二. Routh 判据
设系统的特征方程为：
1. 构造Routh 表
从第3行开始第 i 行第 j 列元素应为
()3i
11,11,11
,21,21,1,≥-
=+--+---j i i j i i i j i a a a a a a
1
3211-----=n n n n n a a a a a b ；
1
5
412-----=
n n n n n a a a a a b
2. 应用Routh 判据
1）方程全部根都在左半复平面的充要条件是Routh 表的第1列全部是正数。

2）位于右半复平面的方程的根的个数等于第1列的元素改变符号的次数。

例1： 2s6+5s5+3s4+4s3+6s2+14s+7=0
第1列系数符号改变2次，方程有2个根在右半复平面，故系统不稳定。

特殊情况：1）第1列中出现0：用一个小的正数代替，继续计算。

例2： s3-3s+2=0
第1列系数符号改变2次，方程有2个根在右半复平面，故系统不稳定。

2）出现全0行：用全0行的上一行各元素构造一个辅助多项式，以辅助多项式的导函数的系数代替全0行，继续计算。

例3： s5+7s4+6s3+42s2+8s+56=0
第1列系数符号没有改变，方程没有根在右半复平面；而原表出现全0行，故系统临界稳定。

出现全0行表明方程有关于原点对称的根。

解辅助方程可求出这些根。

7s4+42s2+56=0，得
另一个根 -7.0000 实际上系统临界稳定。

3.2 控制系统的动态特性分析 一. 典型输入信号(标准测试信号)
阶跃函数A=1时，称为单位阶跃信号。

()⎩⎨⎧><=0 t ,10 ,0t t r ()s s R 1=常记为U(t)或1(t)
二. 二阶系统
闭环传函
()()0,22
22
≥++=ζωζωωn
n n s s s R s C ζ：无阻尼自然振荡频率；ωn ：阻尼比
特征方程 0
22
2=++n n s s ωζω特征根（闭环极点）
辅助多项式
56
427)(24++=s s s p 对p(s)求导 s s ds
s dp 8428)
(3+=j2.0000 - j2.0000 j1.4142 -j1.4142
)1()10( 11222
,1≥<≤⎪⎩⎪⎨⎧-±--±-=ζζζωζωζωζωn n n n j s 当ζ<0，Re(s1,2)>0，系统不稳定，所以只讨论ζ≥0的情况。

1. 典型二阶系统的阶跃响应
()()t u t r = ()s
s R 1
=
)()( ,1101122
2
1≥<≤⎪⎩⎪⎨⎧-±--±-=ζζζωζωζωζωn n n n j s
★无阻尼情况(ζ=0) 特征根为两个共轭虚根
n
j s ω±
=2,1 不衰减的振荡（“1”的上下，max=2,min=0）
★欠阻尼情况(0<ζ<1) 特征根为一对共轭复根
)()( ,1101
122
2
1≥<≤⎪⎩⎪⎨⎧-±--±-=ζζζωζωζωζωn n n n j s
d
n n j j s ωσζωζω±-=-±-=22,11
n
ω 无阻尼自然振荡频率 ζ阻尼比
衰减系数n ζωσ= 阻尼自然振荡频率21ζωω-=n d
X
X
X
X
振幅按指数衰减的振荡，c(∞)=1,无稳态误差。

★临界阻尼情况（ζ=1）
)1()10( 11222
,1≥<≤⎪⎩⎪⎨⎧-±--±-=ζζζωζωζωζωn n n n j s 特征根为两个相等的负实根：n s ω-=2,1
无振荡，上升曲线。

★过阻尼情况(ζ>1)
)1()10( 11222
,1≥<≤⎪⎩⎪⎨⎧-±--±-=ζζζωζωζωζωn n n n j s
特征根为相异实根：
()
n
s ωζζ122,1--=
无振荡，上升曲线。

X
X X
★阻尼比小节
阻尼比决定响应性态，是二阶性态最重要的特征量：
ζ=0系统不能正常工作；ζ>1暂态过程太长。

常考虑：0<ζ<1时，系统的响应情况。

2. 典型二阶系统的动态性能指标
阶跃响应的动态性能指标
)1 0(< <ζ
阶跃响应的动态性能指标
)1
0(<
<ζ阶跃响应的动态性能指标)1
0(<
<ζ
典型二阶系统阶跃响应动态性能指标)10(<<ζ
2
1ζωπ-=
n p T %100% 2
1⨯=∴--
ζζπσe ——只与ξ有关
()()
n n s T ζωζζω41ln 2141%22≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
()()
n n s T ζωζζω31ln 2131%52≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
2
1ζωθπ--=
n r T θ----
ζ
ζ2
1
1--tg
典型二阶系统的问题求解
已知系统特征参数ζ,ωn , 求动态指标(σ%,TS )。

⎩⎨
⎧→→s n T ζωσζ%
已知动态指标，求系统特征参数ζ,ωn 。

n s T ωζ
σ⎩⎨
⎧→ %
例6 某位置随动系统的结构图如图所示，输入信号r(t)=u(t)。

当K=200时,计算动态性能。

解：
当K=200时，系统闭环传递函数：
10005.341000)5.34(52001)
5.34(5
200)()(2++=+⨯++⨯=s s s s s s s R s C 222
2n n n
s s ωζωω++=
R(s)
C(s)
-
5 s ( s+34.5 )
K
⎩⎨
⎧==5.34210002n n ζωω ⎩⎨
⎧==545.0rad/s 6.31ζωn
s 12.012
=-==
ζωπ
ωπn d p T %13%100%2
1=⨯=--
ζζπσe
s
23.04
%)2(=≈
n
s T ζω
s
17.03
%)5(=≈
n
s T ζω
s
08.01arccos 2=--=-=
ζ
ωζ
πωθπn d r T
例7 已知某反馈控制系统的结构图如图所示。

试确定结构参数K 和τ%=20%，Tp=1s 。

解：系统闭环传递函数：
K s K s K
s s s K s s K s H s G s G s T +++=+++
+=
+=
)1( )
1()1(1)
1( )
()(1)
()(2ττ 2
222n
n n s s ωζωω++=⎩⎨
⎧=+=n n K K ζωτω212
根据题意%20%100%2
1=⨯=--
ζζπσe
得456.0=ζ ；已知s
112=-==
ζ
ωπωπn d p T --------
rad/s 53.3=n ω
得满足给定性能指标的系统结构参数为：⎩⎨
⎧=⇒==+==178
.022.3215.122τζωτωn n K K
3.3 控制系统的稳态特性分析 一. 稳态误差
误差：()()()t c t r t e -= 稳态误差：
()()
s sE t e e s t ss 0
lim lim →∞
→==
误差：
()()
s sE t e e s t ss 0
lim lim →∞
→== ()()()()()()s G s E s R s C s R s E -=-=
()()()s G s R s E +=
∴1 ()()s G s sR e s ss +=→1lim
开环传函（n 阶系统）：
()()
()
∏∏-==++=N
n j j
m
i i
N
s T s s
K
s G 1
111τm 个零点，n 个极点。

N 为：开环传函G(s)中零极点的重数，称为系统的无差阶数（无差度）
N=0，称为0型系统; N=1，称为1型系统; N=2，称为2型系统。

二. 静态误差系数 讨论单位反馈系统，e(t)
1. 单位阶跃输入：
()s s R 1=
()()s G s sE e s s ss +==→→11lim
lim 00 静态位置误差系数
()
s G K
s p
0lim →∆
=p
ss
K
e +=
11
()
()
K
s T s K K n
j j
m
i i s p =++=∏∏==→1
10
11lim
τK
K e p ss +=
+=
11
11
0型系统： 1型系统：
∞
=++=∏∏-==→1
110
)
1()1(lim
n j j m
i i s p s T s s K K τ
011
=+=
p
ss K e
2型系统：
∞
=+⋅+=∏∏-==→2
1210
)
1()1(lim
n j j m
i i s p s T s s K K τ
011
=+=
p
ss K e
2. 单位斜坡输入：
()21s s R =
()()[]()s sG s G s s sE e s s s ss 1
lim
11lim
lim 00
→→→=+==
——由输入R(s)和开环传函G(s)决定。

静态速度误差系数：
()
s sG K s v 0
lim →∆
=
v ss K e 1=
0型系统：
()
()
11lim 110
=++=∏∏==→n
j j
m
i i s v s T s K s
K τ
ess =
1型系统：
K
s T s s K s
K n j j m
i i s v =++=∏∏-==→1
110
)
1()1(lim τK e ss 1=
2型系统：
∞
=+⋅+=∏∏-==→2
1210
)
1()1(lim n j j m
i i s v s T s s K s
K τ ess = 0
3. 单位抛物线输入：
()3
1s s R =
（()()t u t t r 2
21=）
()()[]()s G s s G s s sE e s s s ss 2020
1lim
11lim
lim →→→=+==
静态加速度误差系数()
s G s K s a 2
lim →∆
=
a ss K e 1=
0型系统：
()
()
11lim 1
12
=++=∏∏==→n
j j
m
i i s a s T s K s K τess = ∞
1型系统：
)
1()1(lim 1
112
=++=∏∏-==→n j j m
i i s a s T s s K s K τess = ∞
2型系统：
K
s T s s K s K n j j m
i i s a =+⋅+=∏∏-==→2
1212
)
1()1(lim τess = 1/K
0型系统只能跟踪阶跃输入(存在有限稳态误差);
1型系统可以跟踪阶跃输入、斜坡输入;2型系统可以跟踪阶跃输入、斜坡输入、抛物线输入。

结论：
（1）三个稳态误差系数Kp 、Kv 和Ka ，定量描述了系统跟踪三种典型输入信号的能力和稳态精度。

（2）系统的型越高（无差度N 越大），跟踪信号的精度越高。

但系统的型太高会影响系统的稳定性。

第四章 根轨迹法 4.1 根轨迹的基本概念
例1: 某二阶系统的根轨迹图 ()()()1+=
s s K s H s G
特征方程02
=++K s s 特征根K s 4121212,1-±-=
讨论：当增益在可能取值范围0--∞ 变化时，特征根的变化情况。

根轨迹包含系统特性的主要信息
（1）显示出系统的稳定性。

（2）当可变参数（K ）为某一值时，由根轨迹可确定系统闭环极点的分布，从而确
定系统的动态特性。

（3）可反映系统的稳态特性。

（4）可反映出可变参数（K ）对系统特性的影响。

系统如图 ()()()()()s H s G s G s R s C +=
1
特征方程
C(s)
G(s)
H(s)
-
R(s)
C(s)
G(s)
H(s
-
R(s)
()()()()
()
()
1111
1=+++=+=+∏∏==n
j oj
m
i oi
p s z s K s Q s KP s H s G (K-开环增益)
()0
111b s b s b s s P m m m ++++=--
()0
111a s a s a s s Q n n n ++++=--
根轨迹法：根据开环传函(开环零、极点)，找出开环增益(或别的某个参数变化时，闭环系统特征根的轨
迹。

根轨迹法的基本思想：开环传函等于-1的s 值，必为特征根。

()()1-=s H s G 因s 为复数，开环传函G(s)H(s)为复数，故
相角条件：()()()o
18012⨯+=∠k s H s G ；幅值条件：()()1=s H s G
若开环传递函数写成零、极点表示形式，即：
()()()()
()
()
1
1
1-=++==∏∏==n
j oj
m
i oi
p s z s K
s Q s P K s H s G -zoi ：开环零点 -poj ：开环极点
将
()()
()
()
()()K
e s A P s Z s s Q s P s j n
j oj
m
i oi 11
1
-
==++=∏∏==
θ代入根轨迹条件方程得另一形式根轨迹条件方程
相角条件：
()()()()()()()o
1
1
18012⋅+=+∠-+∠=∠=∑∑==k p s z s s H s G s m i n
j oj oi θ ,2,1,0±±=k
i
oi z s α=+∠开环有限零点到s 的矢量的相角
j
oj p s β=+∠ 开环极点到s 的矢量的相角以逆时针方向为正
幅值条件：
()∏∏∏∏=====
++=
n j j
m
i i
n j oj
m
i oi
L
l
p s z
s s A 1
11
1
的矢量长度之积开环极点到的矢量长度之积开环有限零点到s s =
K 1
=
1、以K 为变数，复平面[s]上满足相角条件的点构成的图
形就是根轨迹(图)。

2、根轨迹(图)上，与一定增益K0相对应的特征根(闭环极点)s0可由幅值条件确定。

注意：绘制根轨迹时，横坐标和纵坐标采用同样的尺度划分以便读数。

4.2 根轨迹的绘制
根轨迹：K:0-∞(K ≥0)闭环系统特征根的轨迹。

根轨迹绘制的一般步骤
s
-poj
-zoi
li
Lj
αi
βj ×
（1）根据给定的系统，求出系统的开环传递函数（写成零、极点的表示形式）。

（2）根据作图规则，找出一些特殊点。

（3）将特殊点用光滑曲线连接起来，得到根轨迹的概略图。

一. 根轨迹的绘制规则
()
()
()
()
()()
K
e
s
A
p
s
z
s
s
Q
s
P
s
j
n
j
oj
m
i
oi1
1
1-
=
=
+
+
=
∏
∏
=
=θ
1. 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点；如果≠m, 则有(n-m)条根轨迹终止于无穷远(开环无限零点)。

根轨迹,从开环极点画起,到开环零点终止。

2. 根轨迹的分支数、对称性及连续性、根轨迹的分支数=开环极点数=系统阶数n、根轨迹对称于实轴。

根轨迹从开环极点到开环零点是连续的。

3. 实轴上的根轨迹
实轴上的根轨迹分支存在的区间的右侧，开环极、零点之和为奇数。

4. 根轨迹的分离点（或会合点）
a:分离点b:会合点
两条或两条以上的根轨迹在复平面上某点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。

若在该点处根轨迹是离开实轴，称为分离点；若在该点处根轨迹是返回实轴，则为会合点。

实轴上分离点和会合点的判别
若实轴上相邻开环极点之间是根轨迹，则相邻开环极点之间必有分离点；
若实轴上相邻开环零点（其中一个可为无限零点）之间是根轨迹，则相邻开环零点之间必有会合点；
若实轴上的根轨迹在开环零点与开环极点之间：①既不存在分离点，也不存在会合点②既存在分离点，也存在会合点。

实轴外也可能有分离点(会合点)——复数。

分离点求法:
()()()
()s
Q
s
KP
s
H
s
G=
()()()()
⎩
⎨
⎧
≥
=
'
-
'
K
s
P
s
Q
s
Q
s
P
σ
jω
O
X
分离角
重数
180
±
=d θ
5. 根轨迹的渐近线
渐近线方程A
j A re s φσ=-
A
φ：渐近线与实轴的交角 A σ
：与实轴交点，中心点
(1) 渐近线与实轴的交角：
o
1801
2⋅-+=
m n k A φ由倾角知，(独立的)不重复的渐近线只有n-m 条。

(2) 渐近线与实轴交点σA(渐近中心)
m n A -=
开环有限零点之和
开环有限极点之和-σ
6. 根轨迹与虚轴的交点——临界稳定点
7. 根轨迹的出射角和入射角
出射角：起于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平线的正方向的夹角。

入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平线的正方向的夹角。

8. 根轨迹的平衡性(根之和） n-m ≥2
()()∑∑==-
=-
n
j oj
n
j j
p p 1
1
随着K 的增大，一些特征根增大，另一些特征根必减小—— 一些根轨迹右行时，必有另一些左行。

例3: 单位负反馈系统如下:
(2)特征方程中，s= j,令实部和虚部分别等于零，
解出ω及K 值。

ω即为与虚轴的交点。

(1)利用Routh 判据，确定临界稳定点。

绘制系统的根轨迹图。

解：特征方程
()()1
21-=++s s s K
相角条件： ()()()()()o
1801221⋅+=+∠-+∠--∠=∠k s s s s H s G
幅值条件：
()()()()1
21=++=
s s s K
s H s G 即：()()21++=s s s K
()()()()21++=
s s s K
s H s G
(1)
确定根轨迹的分支数，起点、终点和实轴上的根轨迹。

3条分支
起点：0、-1、
-2
终点：∞、∞ 、∞
实轴上的根轨迹：[-∞，-2]、[-1，0]
(2) 求根轨迹的分离点。

()()()()
21++=
s s s
K
s H s G P(s)=1; P'(s)=0 s1=-0.422, s2=-1.578 Q(s)=s(s+1)(s+2); Q'(s)=3s2+6s+2 P'(s) Q(s)- P(s) Q'(s)=0 3s2+6s+2=0
把s 代入幅值条件解得 k1=0.38, k2=-0.38, 故s1=-0.422是分离点。

(3)根轨迹渐近线
()()()()21++=
s s s K
s H s G
⎪⎩
⎪⎨⎧-=⋅+=⋅-+=o
o
o o o 60180 06 18031
218012k
m n k A φ
()()
1
32100
1
31
-=--=
----=
∑∑==m
n z p i oi
j oj
A σ
()()()()21++=s s s K s H s G R(s) C(s)
-
k
s ( s+1 ) ( s+2 )
(4) 根轨迹与虚轴的交点、对应的临界增益。

特征方程：
02323=+++K s s s
利用Routh 判据 令6-K=0，得K=6
令 3s2+K=0
232-=-
=K
s 414.12j j s ±=±=(K=6) K=6时的另一实根s= -3
第五章 控制系统的频域分析(频率响应法)
5.1 频率特性
频率响应——正弦信号输入时系统的(稳态)响应。

频率特性——正弦信号输入时，系统稳态输出与输入量之比（正弦传递函数）。

<引例>分析一阶RC 网络的频率特性
输入()t
X t u r ωsin =C j R Z ω1
+
=
()
ϕ
ωωω∠+=+==2111RC u RC j u C j Z u u
r
r r c
RC tg ωϕ1
--= ()
ϕ
ω∠+=211
RC u u r c
()
211
RC u u r c ω+=
；
RC tg ωϕ1
--= 都是ω的函数 频率特性：
⎪⎩⎪⎨
⎧↑↓
↑→滞后增大——增益ϕω
s3 1 2 s2 3 K s1 （6-K ）/3
s0 K
j1. 414 (k=6) - j1. 414 (k=6)
- 0.422 (k=0.
38)
-1
-2
系统频率特性表达式的推导
设线性定常系统传函G(s)
()()()()()()()n s s s s s s s p s q s p s G +++=
=
21
（对于含有重极点的情况，结论同样适用） 输入为正弦信号： ()t X t x ωsin = ()()()X
j s j s X s s X ωωω
ωω-+=+=
2
2 输出信号的拉氏变换：
()()()()()2
2ωω+=
=s X
s q s p s X s G s Y n n s s b s s b j s a j s a +++++-++=* 11 ωω（a ，b 待定系数） ()t
s n t s t j t j n e b e b e a ae t y --*-++++= 11ωω
正弦输入下的稳态响应（稳定系统）()t j t j s e a ae
j s a j s a L t y ωωωω*-*-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=1
其中待定常数a 和a*分别为：
()
()()ωωωωωj G j X j s s X s G a j s --=++=-=222 ()()()ωωωωωj G j X j s s X s G a j s 22
2=-+==*
容易证明，a 与a*为一对共轭复数。

a 和a*代入上式,则有：
()t
j t j s e a ae t y ωω*-+=()
()()()()[]
ωϕωωϕωω++-+-=t j t j e e j j G X 21
()()()
ωϕωω+=t XA sin ()()()ωϕωω+=t Y sin
正弦稳态输出对正弦输入的幅值比()()
ωωj G A X Y
==
正弦稳态输出对正弦输入的相位移()()ωωϕj G ∠= 根据定义，线性系统的频率特性为：
ω
ωωϕωωωj s j G j j s G j G e
j G e
A =∠===)()()()()
()
(
()
()()
ωωω
j X j Y j G =
J ω为频率特性，即正弦传递函数 5.2 对数频率特性图(Bode 图)
对数坐标图(Bode 图):将频率特性画在(半)对数坐标上。

横坐标: 频率ω,用对数lg ω
分度,单位rad/s
纵坐标: 幅值A(ω
),
用对数20lgA(ω)分度,单位[dB] 相角ψ(ω),用ψ(ω) 分度,单位是(º) 幅频特性：20lgA(ω)~lg ω 相频特性：ψ(ω)~ lg ω
十倍频程：在Bode 图的横坐标上，频率每变化10倍的距离，就称为十倍频程，用符号dec 来表示。

倍频程：在Bode 图的横坐标上，频率每变化２倍的距离，就称为倍频程，用符号oct 来表示。

一. 典型环节的Bode 图
1. 比例环节 G(j ω)=K
2. 积分环节 ()ωωj j G 1
=
3. 微分环节 ()ωωj j G =
4. 一阶惯性环节
()T j j G ωω+=
11
5. 一阶微分环节 ()T j j G ωω+=1
20dB/dec
1
90°
-20dB/dec 1
-90°
1/T ：转折频率
6. 二阶共轭极点环节 ()n n j j G ωωζωωω211
22+-=
10<<ζ
7. 二阶共轭零点环节
()n n j j G ωω
ζ
ωωω2122+-=
二. 系统的对数频率特性
例1：绘制系统的对数频率特性
()()()()
223102++++=
s s s s s s G
解：1. 将开环传递函数化为时间常数的表示形式)122(2)12(2)13(310)(2
++⨯+⨯+⨯=s s s s s s G )
122)(12()
13(5.72++++=s s s s s
2. 频率特性：
()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎪
⎭
⎫
⎝⎛+=
22112135.72ωωωωωωj j j j j G
3. 系统由五个典型环节组成：
ω
dB
dec
dB /2020ω
)
(ωϕ
0 90 45T
1T
10T
101ω
dB
dec
dB /20-20
-ω
)
(ωϕ
90-
45
-T 1T
10T
101ω
dB
dec
dB /40-40
40
-ω
)
(ωϕ
180- 90-T
1T
10T
101
180 90dec
dB /40
（1）7.5 （比例环节）
（2）13+ωj （一阶微分环节） 1)(+=T j j G ωω 3
1==T n ω
（3）ωj 1
（积分环节）
（4）1
21
+ωj （一阶惯性环节） 11)(+=T j j G ωω 21==T n ω
（5）
22
11
2
ωωj +
-（二阶振荡环节）
T j T j G ζωωω211)(22+-=
2=n ω 345
.02
21
==
ζ
4. 幅频特性：
转折渐进作图法：找出所有环节的转折频率，从小到大排列，从低频渐近线开始，沿频率增加的方向，碰到一个转折频率，就改变渐近线的斜率。

⎥
⎦⎤
⎢⎣
⎡+-++=
221)12()13(
5.7)(2ωωωωω
ωj j j j j G
（1）确定低频部分
比例环节，积分环节（低频部分）
ωωj j G 5
.7)(1=
ωωlg 205.7lg 20)(lg 201-=A
dB A 5.175.7lg 20)(lg 20 11===ωω
dB A 5.2205.7lg 20)(lg 20 101-=-==ωω
（2）将低频部分以外的环节按转折频率从小到大的顺序列出转折渐进表。

⎥
⎦⎤
⎢⎣
⎡+-++=
221)12()13(
5.7)(2ωωωωωωj j j j j G
（3）作图
顺序：
低频 二阶振荡环节 一阶惯性环节 一阶微分环节
③作出其余部分曲线（从第一转折频率向右，每经过一个转折频率，对数幅频曲线的斜率变更一次）
5．相频特性
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡+-++=
221)12()
13(5.7)(2ωωωωωωj j j j j G
由频率特性得：
()2
122
3
90 :22
1
1
1
ωω
ω
ω
ωϕω-
--+-=≤---tg tg tg ()1
2
21802
3
90 :22
1
1
1
-+--+-=>---ω
ω
ω
ω
ωϕωtg tg tg
直接计算几个点，采用描点法。

5.3 奈奎斯特(Nyquist)判据
用开环频率特性判别闭环系统稳定性。

开环传函 ()()s H s G
C(s)
G(s)
-
H(s)
B(s)
E(s)
R(s)
[s]
σ
jω
o ∞
→R D 形围线
∞
-j o
∞
j
闭环传函 ()
()()s H s G s G +1在s 平面上作闭曲线---- D 形围线：整个虚轴和右半平面上半径为无穷大的半圆。

奈奎斯特判据
若系统开环传递函数G(s)H(s)在右半复平面有P 个极点，当s 顺时针沿D 形围线变化一周时，奈奎斯特曲线(G(s)H(s)的轨迹)对”-1”点的包围圈数为N （顺时针N 为正，逆时针N 为负），则系统闭环极点在右半复平面的数目为Z=N+P 。

若Z = 0，则系统稳定；否则系统不稳定。

由开环传函
当G(s)H(s)在s 平面的虚轴上有极点或零点时：对开环传函G(s)H(s)在原点或虚轴上的极(零)点，在s 平
面上作D 形围线时应避开这些点。

(
0)的半圆绕过这些点。

[s]
σ
jω
o ∞
→R D 形围线
∞
-j o
∞
j Re
Im
[GH]
o
GK(jω)=G(jω)H(jω)
)
0,1(j -（开环幅相曲线）
奈奎斯特曲线
例 2 某负反馈系统的开环传递函数为：
)1
)(1
(
)
(
)
(
)
(
2
1
+
+
=
=
s
T
s
T
K
s
H
s
G
s
G
K
奈奎斯特曲线如图，要求用奈
奎斯特判据判断闭环系统是否稳定。

P=0，N=0-----Z=N+P=0闭环系统稳定
例３某系统的开环传递函数为：
()()
()()1
5.0
1
2.0+
+
=
s
s
s
K
s
H
s
G
要求用奈奎斯特判据判断闭环系统是否稳定。

当K>7时,G(s)H(s)轨迹顺时针包围-1点两次，N=2，P=0，，有两个闭环极点在右半s平面------闭环系统不稳定。

当K<7时，G(s)H(s)轨迹与实轴交点>-1，不包围-1+j0点-----闭环系统稳定。

当K＝7时，Nyquist曲线通过点（-1+j0）------系统临界稳定。

5.4 稳定裕量
稳定裕量：系统稳定度的一种度量，反映了系统的相对稳定性，反映系统离临界稳定点的距离(理论上)。

一. 最小相位系统
1．不严格的定义：在s右半平面没有极点和零点，且不含有延时环节的系统。

2．特点：
1)在具有相同幅频特性的系统中,当ω:0---∞时，最小相位系统相角变化最小。

2）最小相位系统的幅频特性与相频特性是直接相关的。

3）当ω---∞时，最小相位系统对数幅频特性的斜率为：
dec
dB
m
n/
)
(
20-
-
相角为：)
(
90m
n-
- n---传递函数分母多项式的阶次；m---传递函数分子多项式的阶次通过检查ω---∞时(高频段)，幅频特性曲线的渐近线斜率和相角，可判断系统是否为最小相位系统。

Re
Im]
[GH
D'A'
K
二. 系统的稳定裕度（最小相位系统）
1．相角裕度Φm:在开环频率特性的幅值|G(j ωωc )| =1 的频率ωc 处， 使系统达到临界稳定所允许增加的相位滞后角度。

幅穿频率(增益穿越频率) ωc ：幅穿频率(增益穿越频率)
()() 180-=Φ-+m c ωϕ ()c m ωϕ+=Φ
180
m >0，称正相角裕度，闭环系统稳定。

m <0，称负相角裕度，闭环系统不稳定。

2．增益裕度GM
在开环频率特性的相位角Φ(ωg)=-180度的频率ωg 处， 开环幅值的倒数。

)
j ()j (1
g g H G d ωω=
ωg----相位穿越频率（相位交界频率）
以dB 为单位
)
j ()j (lg 20lg 20g g M H G d G ωω-==
,0,1>>M G d 称为正增益裕度，闭环系统稳定。

()())0j j lg 20(<g g H G ωω ,0,1>>M G d 称为负增益裕度，闭环系统不稳定。

()())0j j lg 20(>g g H G ωω。