人教版数学高一必修4课下能力提升1.3.2诱导公式五、六

课下能力提升(七) [学业水平达标练]
题组1 化简求值
1．下列与sin ⎝⎛⎭⎫θ－π
2的值相等的式子为( )
A ．sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ
B ．cos ⎝⎛⎭⎫π
2＋θ
C ．cos ⎝⎛
⎭⎫3π2－θD ．sin ⎝⎛⎭
⎫3π
2＋θ 2．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝________．
3．化简：1
tan 2（－α）＋
1
sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2·tan （π＋α）
.
题组2 条件求值问题
4．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭
⎫π
2＋θ－cos （π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）等于( )
A ．2
B ．－2
C ．0 D.2
3
5．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π
2－α＋2sin(2π－α)的值为( )
A ．－23m B.2
3m
C ．－32m D.32
m
6．已知cos(60°＋α)＝1
3，且－180°＜α＜－90°，则cos(30°－α)的值为( )
A ．－223 B.223
C ．－
23D.23
7．已知α是第三象限角，且cos(85°＋α)＝4
5，则sin(α－95°)＝________．
8．已知sin α是方程3x 2－10x －8＝0的根，且α为第三象限角，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α·
tan 2
（2π－α）·
tan （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭
⎫π2＋α的值．
题组3 三角恒等式的证明
9．求证：tan （2π－α）cos ⎝⎛⎭
⎫3π
2－αcos （6π－α）
tan （π－α）sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝1.
10．求证：cos （π－θ）
cos θ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫3π
2－θ－1＋
cos （2π－θ）cos （π＋θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin ⎝⎛⎭
⎫3π2＋θ＝2
sin 2θ
.
[能力提升综合练]
1．如果cos(π＋A )＝－1
2，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A 等于( )
A ．－12B.1
2
C ．－
32D.32
2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝13，α∈⎝⎛⎭⎫－π
2，0，则tan α的值为( )
A ．－22
B ．2 2
C ．－
24D.2
4
3．已知sin(75°＋α)＝1
3，则cos(15°－α)的值为( )
A ．－13B.13
C ．－223 D.223
4．在△ABC 中，下列各表达式为常数的是( ) A ．sin(A ＋B )＋sin C B ．cos(B ＋C )－cos A C ．sin 2A ＋B 2＋sin 2C
2 D ．sin A ＋B 2sin C 2
5．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________． 6．已知tan ()3π＋α＝2，
则sin （α－3π）＋cos （π－α）＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）
＝________．
7．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，求
sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π
2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭
⎫π2＋α·tan 2
(π－α)的值．
8．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，
3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
答 案
[学业水平达标练]
1. 解析：选D 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－θ＝－cos θ，
对于A ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋θ＝cos θ；
对于B ，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋θ＝－sin θ；
对于C ，cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ
＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2－θ＝－sin θ；
对于D ，sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ
＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋θ＝－cos θ.
2. 解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·(－sin
α)＝－sin 2α.
答案：－sin 2α
3. 解：∵tan(－α)＝－tan α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－α＝cos α，
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2－α＝－sin α，
tan(π＋α)＝tan α，
∴原式＝1tan 2α＋1cos α·（－sin α）·tan α＝1sin 2αcos 2α
＋1
－sin 2α＝cos 2α－1sin 2α＝－sin 2αsin 2α
＝－1.
4. 解析：选B 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝2
1－tan θ
＝－2.
5. 解析：选C ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m
2.
∴cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π2－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3×m 2＝－3
2m . 6. 解析：选A 由－180°＜α＜－90°，得－120°＜60°＋α＜－30°，又cos(60°＋α)＝1
3＞
0，所以－90°＜60°＋α＜－30°，即－150°＜α＜－90°，所以120°＜30°－α＜180°，cos(30°－α)＜0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－1－cos 2（60°＋α）＝
－
1－⎝⎛⎭⎫132
＝－223
. 7. 解析：由α是第三象限角，cos(85°＋α)＝4
5＞0，
知85°＋α是第四象限角， ∴sin(85°＋α)＝－3
5
，
sin(α－95°)＝sin[(85°＋α)－180°]＝－sin[180°－(85°＋α)]＝－sin(85°＋α)＝3
5.
答案：35
8. 解：∵方程3x 2－10x －8＝0的两根为x 1＝4或x 2＝－2
3，
又∵－1≤sin α≤1，∴sin α＝－2
3.
又∵α为第三象限角， ∴cos α＝－
1－sin 2α＝－
53，tan α＝255
. ∴原式＝（－cos α）·（－cos α）·tan 2α·（－tan α）
sin α·（－sin α）
＝tan α＝25
5
.
9. 证明：左边＝tan （－α）⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （－α）
（－tan α）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α
＝
（－tan α）（－sin α）cos α
（－tan α）（－cos α）sin α
＝1＝右边．∴原式成立．
10. 证明：左边＝－cos θcos θ（－cos θ－1）
＋
cos θ
－cos θcos θ＋cos θ
＝
11＋cos θ＋1
1－cos θ
＝
1－cos θ＋1＋cos θ
（1＋cos θ）（1－cos θ）＝21－cos 2θ＝2
sin 2θ
＝右边．∴原式成立．
[能力提升综合练]
1. 解析：选B cos(π＋A )＝－cos A ＝－1
2，
∴cos A ＝1
2
，
∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝12.
2. 解析：选A 由已知得，cos α＝1
3
，
又α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0，
所以sin α＝－
1－cos 2α＝－1－19＝－223
. 因此，tan α＝sin α
cos α
＝－2 2.
3. 解析：选B ∵(75°＋α)＋(15°－α)＝90°， ∴cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)] ＝sin(75°＋α)＝1
3.
4. 解析：选C
sin 2
A ＋
B 2＋sin 2
C 2＝sin 2π－C 2＋sin 2C 2＝cos 2C 2＋sin 2C 2
＝1. 5. 解析：将sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°中的首末两项相加得1，第二项与倒数第二项相加得1，…，共有44组，和为44，剩下sin 245°＝1
2
，
则sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝89
2.
答案：892
6. 解析：由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2， 则原式＝sin （α－π）－cos α＋cos α＋2sin α
sin α－cos α
＝
－sin α＋2sin α
sin α－cos α
＝
sin α
sin α－cos α
＝
tan αtan α－1＝22－1＝2.
答案：2
7. 解：原式＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π＋π2－αsin αcos α·tan 2
α
＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2－αsin αcos α
·tan 2α
＝－cos αsin αsin αcos α
·tan 2α＝－tan 2α. 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－3
5，x 2＝2，
又α是第三象限角， ∴sin α＝－35，cos α＝－4
5，
∴tan α＝34，故原式＝－tan 2α＝－9
16.
8. 解：假设存在角α，β满足条件，
则⎩
⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①
3cos α＝2cos β，② 由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2.
∴sin 2α＝1
2，
∴sin α＝±2
2
.
∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2，∴α＝±π4.
当α＝π4时，cos β＝3
2，
∵0＜β＜π， ∴β＝π6
；
当α＝－π4时，cos β＝3
2，
∵0＜β＜π，
∴β＝π
6，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝π4，β＝π
6满足条件．。