精品解析：福建省福州市八县(市、区)一中2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题(解析版)

2020-2023年第二学期福州八县（市，区）一中期中联考
数学试题
一，单选题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1. 已知复数i(1i)z =-,则其共轭复数z =（ ）A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i - D. 1i
+【结果】C 【思路】
【思路】由复数乘法法则计算出z 后可得其共轭复数．【详解】2i(1i)i i 1i z =-=-=+,所以1i z =-．故选：C ．
2. 下面各式正确地是（ ）A. AD AB DC BC --=
B. BO BA MB OM AB
-++=
C. 0
AB CB AC -+= D. 0
AB BD AC CD --+=
【结果】B 【思路】
【思路】由向量地加减法法则计算．
【详解】AD AB DC BD DC BC --=-≠。

BO BA MB OM BO OM MB AB AB -++=+++= 。

2AB CB AC AB BC AC AC -+=++= 。

2AB BD AC CD AB DB CA CD CB --+=+++= ．
故选：B ．
3. 下面命题中正确地是（ ）A. 侧面都是矩形地直四棱柱是长方体B. 三棱锥三个侧面不可能都是直角三角形C. 圆台地任意两款母线延长后一定交于一点
D. 有两个面平行且相似,其他各面都是梯形地多面体是棱台【结果】C 【思路】
的
【思路】依据长方体，棱锥，圆台，棱台地概念与性质判断．
【详解】侧面都是矩形地直四棱柱地底面可以不是矩形,不一定是长方体,A 错。

如图三棱锥A BCD -,AB ⊥平面BCD ,CD BC ⊥,则此三棱锥三个侧面,,ABC ACD ABD !!!都是直角三角形,B 错。

圆台是由圆锥用平行于底面地平面截得地,因此其任意两款母线延长后一定交于一点,C 正确。

如下图几何体,有两个面ABCD 和1111D C B A 平行且相似,其他各面都是梯形,但它不是棱台,D 错．
故选：C ．
4. 一质点受到平面上地三个力F 1,F 2,F 3(单位：牛顿)地作用而处于平衡状态,已知F 1,F 2成90°角,且F 1,F 2地大小分别为2和4,则F 3地大小为（ ）
A. 6
B. 2
C. D. 【结果】C 【思路】
【思路】依据向量地合成法则以及向量地模长公式,进行计算即可．【详解】由题意知F 3＝－(F 1＋F 2),
所以2
2
2
2
3121212||()241620,
F F F F F F F =+=++⋅=+=
∴|F 3|＝故选：C.
5. 已知向量()3cos53,3sin 53OA =︒︒ ,(4cos ,4sin )OB θθ= ,若OA OB ⋅=-
,则AOB 地面积等
于（ ）
A. 3
B.
C.
D.
【结果】A 【思路】
【思路】由数量积求出AOB ∠地余弦,从而得出正弦值,再由三角形面积公式计算.
【详解】由已知3OA = ,4OB =
,记AOB α∠=,
则cos 34cos OA OB OA OB αα⋅==⨯=- ,cos α=,
显然(0,)απ∈,则1sin 2
α=
,111
sin 343222
AOB
S OA OB α=⨯=⨯⨯⨯= !
.故选：A.
6. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美地“黄金螺旋”,如图给出了它地画法：以斐波那契数1,1,2,3,5,…为边地正方形依序拼成长方形,然后在每个正方形中画一个圆心角为90︒地圆弧,这些圆弧所连起来地弧线就是斐波那契螺旋线.假如用图中接下来地一段圆弧所对应地扇形做圆锥地侧面,那么该圆锥地表面积为（ ）
A. 16π
B. 20π
C. 32π
D. 36π
【结果】B 【思路】
【思路】由斐波那契数地规律判断出接下来地圆弧所在地扇形地半径是3+5=8.设圆锥底面半径为r ,求出r =2,即可求出圆锥地表面积.
【详解】由斐波那契数地规律可知,从第三项起,每一个数都是前面两个数之和,即接下来地圆弧所在地扇形地半径是3+5=8,对应地弧长1
2844
l ππ=⨯⨯
=.设圆锥底面半径为r ,则24r ππ=,即r =2.该圆锥地表面积为21
842202
πππ⨯⨯+⨯=.故选：B.
7. 第四届数字中国建设峰会将于2023年4月25日至26日在福州举办,福州市以此为契机,加快推进“5G +光网”双千兆城市建设.如图,某县区域地面有四个5G 基站A ,B ,C ,D .已知C ,D 两个基站建在江地南岸,
距离为。

基站A ,B 在江地北岸,测得75ACB ∠=︒,120ACD ∠=︒,30ADC ∠=︒,
45ADB ∠=︒,则A ,B 两个基站地距离为（ ）
A. B. C. 15km
D. 【结果】D 【思路】
【思路】ACD △中求出AD ,BCD △中由正弦定理求得BD ,ABD △中,由余弦定理求得AB ．
【详解】ACD △中,120ACD ∠=︒,30ADC ∠=︒,则30CAD ∠=︒,AC CD ==,
2cos3030AD CD =︒=,
BCD △中,1207545BCD ∠=︒-︒=︒,180********CBD ∠=︒-︒-︒-︒=︒,
由正弦定理
sin sin CD BD CBD BCD =∠∠sin 45BD =
︒
,BD =
ABD △中,由余弦定理得22230230cos 45500AB =+-⨯⨯︒=,
AB =．
故选：D ．
8. 正方形ABCD 地边长为4,中心为O .过O 地直线l 与边AB ,CD 分别交于点N ,M ,点P 满足款件：
2(1)OP OB OC λλ=+- ,则PM PN ⋅
地最小值为（ ）
A. 0
B. 2
- C. 3
- D. 7
-【结果】D
【思路】
【思路】以A 为原点,,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系,求出(3,32)P λ-,设出直线MN 地方程,得到,M N 地坐标,利用数量积地坐标运算求出PM PN ⋅
,再求出最小值即可.【详解】以A 为原点,,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系,如图：
则(0,0)A ,(4,0)B ,(4,4)C ,(2,2)O ,(0,4)D ,
因为2(1)OP OB OC λλ=+-
,
所以1111
(1)(42,02)(1)(42,42)
2222OP OB OC λλλλ=+-=--+--- (1,12)(1,12)λλλλ=+--=-,
所以(2,2)(1,12)(3,32)AP AO OP λλ=+=+-=-
,所以(3,32)P λ-,
当MN 与x 轴垂直时,(2,4)M ,(2,0)N ,(1,12)PM λ=-+ ,(1,23)PN λ=-- ,
所以21(12)(23)442PM PN λλλλ⋅=++-=--
2
1
4()32
λ=--3≥-,当MN 与x 轴不垂直时,设直线:2(2)MN y k x -=-(||1)k ≥,令4y =,得2
2x k =+,得2(2,4)M k
+,令0y =,得22x k
=-
,得2(2,0)N k -,
所以2(1,12)PM k λ=-+ ,2
(1,23)PN k
λ=--- ,
所以22(1)(1)(12)(23)PM PN k k λλ⋅=---++- 2
24442
k
λλ=-+--2214
4()32k
λ=---,
所以当1
2
λ=且21k =时,PM PN ⋅ 取最小值7-,
综上所述：PM PN ⋅
取最小值7-.故选：D
二，多选题：本大题共4小题,全对得5分,部分选对得2分,有选错得0分.
9. 下面命题正确地是（ ）A. 若复数z 满足20z <,则z 是纯虚数B. 若1z ,2z 互为共轭复数,则12z z R +∈C. 222cos
isin 33
ππ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
是复数1-+地三角形式D. “复数i(,)z a b a b R =+∈为纯虚数”地充要款件为“0b ≠”【结果】ABC 【思路】
【思路】依据复数地定义判断,可设i(,)z a b a b R =+∈进行求解判断．
【详解】设i(,)z a b a b R =+∈,2222
(i)2i z a b a b ab =+=-+0<,则22020a b ab ⎧-<⎨=⎩
,
由20ab =得0a =或0b =,若0b =,则2220a b a -=<不成立,所以0a =,2220a b b -=-<,0b ≠,z 纯虚数,A 正确。

若1i(,)z a b a b R =+∈,则21i z z a b ==-,122z z a R +=∈,B 正确。

222cos isin 33ππ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭12(12=-+
=-+,222cos isin 33ππ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
是复数地三角形式,C 正确。

当0a ≠时,i a b +不是纯虚数,D 错误．故选：ABC ．
10. 已知平面向量(1,2)a =-
,(4,)b y = ,（ ）
A. 若a b
∥,则8
y =-为
B. 若a b ⊥ ,则a 在a b + 方向上地投影向量是(1,0)
C. a 与a b + 地夹角为锐角,则y 地取值范围9,2⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭
D. 若a ,b
地夹角为120︒,则3y =【结果】AB 【思路】
【思路】对于A ：利用向量共线代入,即可求出y 。

对于B ：利用向量垂直求出y ,再利用投影向量地定义即可求出结果。

对于C ：利用夹角公式求出y 地范围,即可判断。

对于D ：利用夹角公式得到2
1164160y y --=,经检验3y =不是方程地根.即可判断.
【详解】对于A ：因为a b
∥,所以124y ⨯=-⨯,即8y =-.故A 正确。

对于B ：若a b ⊥ ,则()1420y ⨯+-=,解得：2y =,所以(4,2)b = ,所以()5,0a b += ,所以a 在a b
+ 方向上地投影是()
515a a b a b
⋅+==+
,则a 在a b +
方向上地投影是(1,0).故B 正确。

对于C ：设a 与a b +
地夹角为θ,则
()cos 0,1θ=
解得：92y <-.却8y =-时,a 与b
同向共线,应舍去.故9
2
y <-且8y ≠-.故C 错误.对于D ：若a ,b
地夹角为120︒,
则1
cos ,2a b =
=- ,即21164160y y --=,而3y =不是
方程2
1164160y y --=地根.故D 错误.
故选：AB
11. 已知G 为ABC 地重心,60BAC ∠=︒,2AB AC ⋅=
,则||AG u u
u r
地可能取值为（ ）A.
2
3
B. 1
C.
D.
32
【结果】CD 【思路】
【思路】利用重心性质把AG 用,AB AC
表示后平方求模,得出其取值范围后可得正确选项．
【详解】如图,G 是ABC 地重心,记,,AB c AC b AB a ===,
则2211()()3323
AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+ ,
222222111
()(2)(4)999AG AB AC AB AB AC AC b c =+=+⋅+=++ ,
又1
cos 6022
AB AC bc bc ⋅=︒== ,即4bc =,所以2228b c bc +≥=,当且仅当2b c ==时等号成立,
所以214(84)93AG ≥⨯+= ．即AG ≥ CD 满足．
故选：CD ．
12. 在ABC 中,内角A ,B ,C 所对地边分别为a ,b ,c ,已知3c =,若sin cos c A C =
,点D 在边
AB 上,且2AD DB =,O 是ABC 地外心,则下面判断正确地是（ ）
A. 30C =︒
B. ABC
C. 1OD =
D. CD 地最大值为2
【结果】BC 【思路】
【思路】先利用正弦定理可得60C = 可判断A 。

再利用
2sin a
R A
=可判断B 。

画出图像,在Rt BOM △中,计算出OD 可判断C 。

再由由CD CO OD ≤+可判断D.【详解】在ABC 中,0,,A B C π<<,
∵sin cos c A C =
,
sin sin cos A C A C ∴=,又sin 0A >,
tan 60C C ∴== ,故选项A 错误。

又3c =,
所以2sin c R C ===,
故R =,选项B 正确.取AB 地中点M ,如图所示：
在Rt AOM △中
,
13
,22
AM AB OM ====
=
在Rt DOM
中
,
1,12DM AD AM OD =-====,故选项
C 正确。

由1C
D CO OD R OD ≤+=+=
+,
当且仅当圆心O 在CD 上时取等号
,所以CD 1+,故选项D 错误.故选：BC.
三，填空题：本大题共4小题,每小题5分.
13. 已知复数2i -在复平面内对应地点为P ,复数z 满足|i |1z -=,则P 与z 对应地点Z
间地距离地最大值为________.
【结果】
1+##1+【思路】
【思路】求出P 点到i 对应点地距离,再加上半径1可得．【详解】由题意复数z 对应点是以i 对应点为圆心,1为半径地圆
,
2i i 22i --=-==
,
所以max
1PZ
=．
故结果为：1+．
14. 如图,O A B C ''''是平面四边形OABC 地直观图,若O A B C ''''是边长为2地正方形,则四边形OABC 地周长为________.
【结果】16【思路】
【思路】依据原图形与斜二测画法直观图之间关系,还原原图形即可求解.【详解】2O A ''=
,
O B ''∴=还原回原图形后,
'2OA O A ='=
,2OB O B ''==
,
AB ==,
∴原图形地面积周长为()26216
⨯+=故结果为：16.
15. 已知ABC 地内角A ,B ,C 所对地边分别为a ,b ,c ,222sin sin sin sin sin cos cos A B C A B
c a B b A
+-=
+,若2a b +=,则c 地取值范围为________.【结果】
[1,2)
的
【思路】
【思路】依据正弦定理和余弦定理,结合基本不等式进行求解即可.
【详解】依据正弦定理和余弦定理,由222sin sin sin sin sin cos cos A B C A B c a B b A
+-=+222
22222222222()3,22a b c ab c a b ab c a b ab a c b b c a c a b ac bc +-=⇒=+-⇒=+-+-+-⋅+⋅因为
2a b +=,所以2
2
4433c c ab ab -=-⇒=,
由2a b =+≥,当且仅当1a b ==时取等号,
即11ab ≥⇒≤,于是有2
4113
c c -≤⇒≥,而2a b c =+>,所以12c ≤<,故结果为：[1,2)
16. 已知a ,b 是平面上夹角为3
π地两个单位向量,c 在该平面上,且()()0a c b c -⋅-= ,则||c 取值范围为________.
【结果】【思路】【思路】设OA a = ,OB b = ,OC c = ,将()()0a c b c -⋅-= 转化为0CA CB ⋅= ,即点C 在以AB 为直径地
圆上,则可求出||OC 地取值范围,即为||c 取值范围.
【详解】设OA a = ,OB b = ,OC c = ,则a c OA OC CA -=-= ,b c OB OC CB -=-= ,所以0CA CB ⋅= ,所以CA CB ⊥,
所以点C 在以AB 为直径地圆上,
因为a ,b 是平面上夹角为3π
地两个单位向量,所以OAB 是边长为1地正三角形,
设以AB 为直径地圆地圆心为M ,则半径12R =
,||OM =,所以||||||OM R OC OM R -≤≤+,
11||22
OC ≤≤+,
所以||c
取值范围为.
故结果为：四，简答题：本大题共6小题,第17题10分,其余每题12分.
17. 已知复数13i z m =-,212i()z m R =+∈.
（1）若12
z z 是实数,求m 地值。

（2）若复数12
z z 在复平面内对应地点在第三象限,且15z ≥,求实数m 地取值范围.【结果】（1）32
m =-
（2）46
m ≤<【思路】
【思路】（1）由复数地除法法则化简后依据复数地定义计算。

（2）由对应点所在象限求得参数范围,再由模求得参数范围,两者结合可得．
【小问1详解】123i (3i)(12i)6(23)i 12i (12i)(12i)5z m m m m z -----+===++-,它是实数,则(23)0m -+=,32
m =-。

【小问2详解】
由（1）12z z 对应点坐标623(,)55
m m -+-,它在第三象限,则6052305m m -⎧<⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩
,解得362m -<<,
又15z =≥,4m ≤-或4m ≥,
综上,46m ≤<．18. 已知(2,4)OA = ,(,2)OB
m = ,(,0)OC n = .（1）若A ,B ,C 三点共线,求m ,n 满足地等量关系。

（2）在（1）款件下,求||OB OC + 地最小值.
为
【结果】（1）220m n --=。

（2）2.
【思路】
【思路】(1)由题意结合三点共线地充分必要款件确定m ,n 满足地关系式即可。

(2)由题可得(),2OB OC m n +=+ ,然后利用模长公式及二次函数地性质即得.
【小问1详解】
∵(2,4)OA = ,(,2)OB m = ,(,0)OC n = ,
∴()()=2,2,2,4AB m AC n --=-- ,又A ,B ,C 三点共线,
∴AB ∥AC
,()()()42220m n --+-=,
∴220m n --=。

【小问2详解】∵(,2)OB m = ,(,0)OC n = ,
∴(),2OB OC m n +=+ ,又220
m n --=
∴||2OB OC +==≥ ,当23
m =
时取等号,即||OB OC + 地最小值为2.19. 问题：在ABC 中,内角A ,B ,C 所对地边分别为a ,b ,c ,(2)cos cos c b A a B -=.
（1）求A 。

（2）若ABC 地面积为________,求a .
请在①b c +=。

②b c -=。

③sin 2C C +=这三个款件中选择一个,补充在上面地横线上,并完成解答.
【结果】（1）3A π=
（2）a =【思路】【思路】（1）由正弦定理，和差角公式，诱导公式求出1cos 2A =
即可得到3
A π=。

（2）选款件①：利用面积公式和余弦定理直接求得a =。

选款件②：利用面积公式和余弦定理直接求得a =。

选款件③：先求出6C π=
,所以2B π=,判断出ABC 为直角三角形,
且c =,利用面积公式直接求解.【小问1详解】
在ABC 中, (2)cos cos c b A a B -=,
由正弦定理得：(2sin sin )cos sin cos C B A A B -=,即2sin cos sin cos cos sin C A A B A B =+,所以()2sin cos sin C A A B =+.
因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.
因为()0,C π∈,所以sin 0C ≠,所以2cos 1A =,即1cos 2A =
.因为()0,A π∈,所以 3A π=
.【小问2详解】
选款件①：b c +=.
由ABC
地面积为
可得：1sin 2
bc A =,解得：8bc =.由余弦定理得：()222222cos 3324a b c bc A b c bc a =+-=+-=-
解得：a =.
选款件②：b c -=.由ABC
地面积为
可得：
1sin 2bc A =,解得：8bc =.由余弦定理得：()2
22222cos 83
a a
b
c bc A b c bc =+-=-+=+,
解得：a =.
选款件③：sin 2C C =.
因为sin 2C C =,所以2sin 23C π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭,所以sin 13C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭
,因为()0,C π∈,所以4,333
C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以32C ππ+=,所以6C π=,所以2B C A ππ=--=,即ABC 为直角三角形,
且c =
.,
所以由1sin 2
ac B =,
解得a =.20. 某网红景区拟开辟一个平面示意图如图地五边形ABCDE 观光步行道,BE 为景点电瓶车专用道,23
BCD BAE CDE π∠=∠=∠=,12km DE =
,BC CD ==.（1）求BE 地长。

（2）请设计一个方案,使得折线步行道BAE 最长（即+BA AE 最大）.
【结果】（1）15km
（2）当6BEA EBA π∠=∠=
时,折线步行道BAE 最长．【思路】
【思路】（1）在等腰三角形BCD 中求得BD ,然后在直角三角形BED 中由勾股定理可得BE 。

（2）设AEB α∠=(0)3π
α<<,用正弦定理表示出,AB AE ,计算AB AE +,由两角和与差地正弦公式化
简变形,结合正弦函数性质可得最大值．
【小问1详解】由题意6BDC DBC π
∠=∠=
,2cos 296BD CD π
==⨯=,2362
BDE πππ∠=-=,
所以15BE ===（km ）。

【小问2详解】
记AEB α∠=(03πα<<,则3
ABE π
α∠=-,
由正弦定理得152sin sin sin()sin 33AB AE BE BAE ππαα====∠-
AB α=
,sin()3AE π
α=-
,
sin()3AB AE παα+=+
-cos cos sin )33ππ
ααα=+
-1sin ))23
πααα==+
,
因为03π
α<<,所以6π
α=时
,max ()AB AE +=．此时6BEA EBA π∠=∠=
．所以当6BEA EBA π
∠=∠=时,折线步行道BAE 最长．21. 如图所示,在ABC 中,AB a = ,AC b = ,AQ QC = ,13
AR AB = ,BQ 与CR 相交于点I .A I 地延长线与边BC 交于点P .
（1）试用a ,b 表示AI 。

（2）设BP mBC = ,AP nAI =
,求n m -地值.【结果】（1）1255
AI a b =+ （2）1
【思路】
【思路】（1）依据平面向量基本定理,不妨设,BI BQ CI CR λμ== ,利用向量三角形法则可得
()12AI a b λλ=-+ 和()13
AI a b μμ=+- ,联立方程组解出,λμ可得。

（2）结合款件和（1）地结论可得BP ma mb =-+ 和2155n n BP a b ⎛⎫=-++ ⎪⎝
⎭ .进而解出m ,n 即可得到n-m 地值.
【小问1详解】
因为B ，I ，Q 三点共线,C ，I ，R 三点共线,不妨设,BI BQ CI CR λμ== .
所以()
()1122AI AB BI a BQ a BA AQ a a b a b λλλλλ⎛⎫ ⎪=+=+=++=+-+=-⎝⎭+ ,同理可得：()13
AI AC CI a b μμ=+=+- 所以1312μλλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得：253
5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
,所以1255AI a b =+
【小问2详解】
因为BP mBC = ,AP nAI = ,且1255AI a b =+ ,所以()()
BP mBC m BA AC m a b ma mb ==+=-+=-+ .又122 15555n n BP BA AP a nAI a n a b a b ⎛⎫=+=-+=-++⎝⎛⎫ +⎪⎝⎭=-+ ⎪⎭
.所以1525m n n m ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎩+⎪,解得：235
3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
,所以15233n m =--=.22. 已知ABC 地内角A ,B ,C 所对地边分别为a ,b ,c ,向量(,)m b a c =+ ,(,)n b c c a =-- ,m n ⊥
.（1）若8a =,8AB AC ⋅= ,D 为边BC 地中点,求中线AD 地长度。

（2）若E 为边BC 上一点,且1AE =,:2:BE EC c b =,求2b c +地最小值.
【结果】（1
）。

（2
.【思路】
【思路】（1）利用向量垂直地坐标表示可得222b c a bc +-=,然后利用余弦定理可得3A π
=,利用向量地表示可得()
12AD AB AC =+ ,进而可得()2221284AD c b =+⨯+ ,即得。

（2）利用向量地线性表示可得222c b AE AC AB c b c b
=+++ ,
结合款件可得2c b +=,
即21b c +=再利用基本不等式即得.【小问1详解】
∵向量(,)m b a c =+ ,(,)n b c c a =-- ,m n ⊥ ,
∴2220m n b bc c a ⋅=-+-=
,即222b c a bc +-=,∴()2221cos ,0,22
b c a A A bc π+-==∈,∴3A π
=,
∵D 为边BC 地中点,8a =,8AB AC ⋅=
,
∴()12AD AB AC =+ ,1cos 82AB AC bc A bc ⋅=== ∴()()
()222222*********AD AB AC AB AB AC AC c b =+=+⋅+=+⨯+ ,又222b c a bc +-=,16bc =,8a =,
∴222641680b c a bc +=+=+=,∴()()222112880162444
AD c b =+⨯+=+= ,
即AD = ∴中线AD
地长度为【小问2详解】
∵E 为边BC 上一点,:2:BE EC c b =,∴22c BE BC c b =+ ,∴()22c AE AB AC AB c b -=-+ ,∴222c b AE AC AB c b c b =+++ ,即()22c b AE cAC bAB +=+ ,∴()()
22222c b AE cAC bAB +=+ ,又1AE =,∴()
()222222222222427c b cAC bAB c b b c b c b c +=+=++= ,
∴2c b +=
,
即21b c +=,
∴
)212222415b c b c b c b c c b ⎛⎫⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭
⎭,当且仅当22b c c b =,
即b c ==取等号,故2b c +
.。