高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：(十二) 圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质 Word版含

课时跟踪检测（十二） 圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质
[A 级——“12＋4”保分小题提速练]
1．(2017·福州模拟)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近
线方程为( )
A ．y ＝±3
3x B ．y ＝±3x
C ．y ＝±2x
D ．y ＝±5x
解析：选A ∵双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c
a ＝2，即c 2＝4a 2，
∴a 2＋b 2＝4a 2，∴a b ＝33，∴C 的渐近线方程为y ＝±3
3
x .
2．(2018届高三·广东三市联考)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )
A.1
2 B ．1 C.32
D ．2
解析：选D 由题意3x 0＝x 0＋p 2，即x 0＝p
4，
将⎝⎛⎭⎫p 4，2代入y 2＝2px (p ＞0)，得p
2
2＝2， ∵p ＞0，∴p ＝2.
3．(2017·南京模拟)若双曲线C ：x 2－y 2b
2＝1(b ＞0)的离心率为2，则b ＝( )
A ．1 B. 2 C. 3
D ．2
解析：选C 由题意得e ＝c
a ＝1＋
b 21
＝2，解得b ＝ 3.
4．(2017·长沙模拟)A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )
A ．x ＝－1
B ．y ＝－1
C ．x ＝－2
D ．y ＝－2
解析：选A 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D .因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.
5．(2017·合肥模拟)已知双曲线y 24－x 2
＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的
准线交于A ，B 两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为1，则p 的值为( )
A ．1 B. 2 C ．2 2
D ．4
解析：选B 双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p
2，故A ，
B 两点的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △OAB ＝12·2p ·p 2＝p 2
2
＝1，解得p ＝ 2. 6．(2018届高三·张掖调研)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为
10
3
，则|AB |＝( ) A.13
3 B.143
C ．5
D.163
解析：选D ∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝16
3
.
7．(2017·广州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
4＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，
F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于( )
A ．1
B ．13
C ．4或10
D ．1或13
解析：选D 由一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0和b ＝2可得a ＝3，|F 1F 2|＝29＋4＝213，由点P 在双曲线C 上，|PF 1|＝7，得|7－|PF 2||＝2a ＝2×3＝6，可得|PF 2|＝1或|PF 2|＝13，根据|PF 1|＝7，|PF 2|＝1，|F 1F 2|＝213，或者|PF 1|＝7，|PF 2|＝13，|F 1F 2|＝213，均能满足三角形成立的条件，选D.
8．(2017·沈阳模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN |－|BN |＝12，则a ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：选A 作出示意图如图所示，设MN 的中点为P .
∵F 1为MA 的中点，F 2为MB 的中点，∴|AN |＝2|PF 1|，|BN |＝2|PF 2|，又|AN |－|BN |＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝6＝2a ，∴a ＝3.
9．(2018届高三·武昌调研)已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1＋e 2
2
的最小值为( )
A ．6
B ．3 C. 6
D. 3
解析：选A 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a ′，半焦距为c ，依题意知错误!
∴2a ＝2a ′＋4c ，∴2e 1＋e 22＝2a
c ＋c 2a ′＝2a ′＋4c c ＋c 2a ′＝2a ′c ＋c 2a ′＋4≥2＋4＝6，
当且仅当c ＝2a ′时取“＝”，故选A.
10．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以
线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )
A.63
B.
33
C.23
D.13
解析：选A 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2ab b 2＋a
2＝a ，得a 2＝3b 2
，所以C 的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝6
3
. 11．(2017·福州模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若射线y ＝2(x －1)(x ≤1)与C ，l 分别交于P ，Q 两点，则
|PQ |
|PF |
＝( ) A. 2 B ．2 C. 5
D ．5
解析：选C 由题意，知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设准线l ：x ＝－1与x 轴的交点为F 1.过点P 作直线l 的垂线，垂足为P 1，由错误!得点Q 的坐标为(－1，－4)，所以|FQ |＝2 5.又|PF |＝|PP 1|，所以
|PQ ||PF |＝|PQ ||PP 1|＝|FQ ||FF 1|＝25
2
＝ 5.
12．(2017·淄博模拟)已知抛物线y 2
＝8x 的焦点到双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的
渐近线的距离不大于3，则双曲线E 的离心率的取值范围是( )
A ．(1， 2 ]
B ．(1,2]
C ．[2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
解析：选B 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，双曲线的一条渐近线方程为bx ＋ay ＝0，由题知
|2b |
a 2＋b
2≤3，化简得b 2≤3a 2，又c 2＝a 2＋b 2，∴c 2≤4a 2，∴e ≤2，又e ＞1，∴e ∈(1,2]． 13．(2017·合肥模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的
渐近线方程为________．
解析：在双曲线中，b 2a 2＝c 2－a 2
a 2＝c 2a
2－1＝e 2－1＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a x ＝±2x .
答案：y ＝±2x
14．(2018届高三·西安八校联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与C 交于A ，B (A 在x 轴上方)两点．若AF ―→＝m FB ―→
，则m 的值为________．
解析：由题意知F (1,0)，由⎩⎨⎧
y ＝3(x －1)，
y 2＝4x ，
解得⎩⎨⎧
x 1＝13
，
y 1
＝－23
3
或⎩⎨⎧
x 2＝3，y 2＝2 3.
由A 在x 轴上方，知A (3,23)，B ⎝⎛⎭⎫1
3，－233，
则AF ―→＝(－2，－23)，FB ―→＝⎝⎛⎭⎫
－23，－233，
因为AF ―→＝m FB ―→
，所以m ＝3. 答案：3
15．(2018届高三·湘中名校联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA ―→＋FB ―→＋FC ―→
＝0，则1k AB ＋1k AC ＋1k BC
＝________.
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，由FA ―→＋FB ―→＋FC ―→
＝0，得y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 1＋y 2，所以k AC ＝2p y 1＋y 3，k BC ＝2p y 2＋y 3，所以1k AB ＋1k AC ＋1
k BC
＝
y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p ＋y 2＋y 3
2p
＝0. 答案：0
16．(2017·安徽二校联考)已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP ―→＝(λ－1)OA ―→ (λ
∈R)(O 是坐标原点)，且OA ―→·OP ―→
＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．
解析：因为AP ―→＝(λ－1)OA ―→，所以OP ―→＝λOA ―→，即O ，A ，P 三点共线，因为OA ―→·OP ―→
＝72，所以OA ―→·OP ―→＝λ|OA ―→|2＝72，设A (x ，y )，OA 与x 轴正方向的夹角为θ，线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP ―→
||cos θ|＝|λ||x |＝72|x ||OA ―→|2＝72|x |x 2＋y 2＝721625|x |＋
9
|x |≤72
216×925
＝15，当且仅当|x |＝
15
4
时取等号，故所求最大值为15. 答案：15
[B 级——中档小题强化练]
1．(2018届高三·菏泽摸底)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x ＋3y
＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于( )
A. 6
B.233
C.10
D. 3
解析：选C 由于双曲线的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，可得b a ＝3，可得b 2＝9a 2，即c 2－a 2＝9a 2，亦即c 2＝10a 2，故离心率为e ＝
c
a ＝10.
2．(2017·云南模拟)以双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点M 为圆心作圆，该圆与
x 轴相切于C 的一个焦点，与y 轴交于P ，Q 两点．若△MPQ 为正三角形，则该双曲线的离心率等于( )
A. 2
B. 3 C ．2
D. 5
解析：选B 设圆M 与双曲线C 相切于点F (c,0)，则MF ⊥x 轴，于是可设M (c ，t )(t ＞0)，代入双曲线方程中解得t ＝b 2a ，所以|MF |＝b 2
a ，所以|PQ |＝2⎝⎛⎭
⎫b 2
a 2－c 2.因为△MPQ 为等边三角形，所以c ＝3
2
×2
⎝⎛⎭
⎫b 2a 2－c 2，化简，得3b 4＝4a 2c 2，即3(c 2－a 2)2＝4a 2c 2，亦
即3c 4－10c 2a 2＋3a 4＝0，所以3e 4－10e 2＋3＝0，解得e 2＝1
3
或e 2＝3，又e ＞1，所以e ＝ 3.
3．(2017·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )
A ．(1,3]
B ．[3，＋∞)
C ．(0,3)
D ．(0,3]
解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝c
a ≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C 的离心率的取值范围为(1,3]．
4．(2017·湘中名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点且垂直于x 轴的直线
与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥3
5|CD |，则双曲线离
心率的取值范围为( )
A.⎣⎡⎭⎫53，＋∞
B.⎣⎡⎭⎫5
4，＋∞ C.⎝⎛⎦
⎤1，53 D.⎝⎛⎦
⎤1，5
4 解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2
a ，
不妨取A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2
a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－
b 2
a ，所以|AB |＝2
b 2
a . 将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±
b a x ，得y ＝±bc
a ，
不妨取C ⎝⎛⎭⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎫c ，－bc a ，所以|CD |＝2bc
a . 因为|AB |≥3
5|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，
即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥9
25c 2，
即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54
. 5．(2018届高三·武汉调研)已知抛物线Γ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 在Γ上且|PK |＝2|PF |，则△PKF 的面积为________．
解析：由已知得，F (2,0)，K (－2,0)，过P 作PM 垂直于准线于点M ，则|PM |＝|PF |，又|PK |＝2|PF |，
∴|PM |＝|MK |＝|PF |，∴PF ⊥x 轴，
△PFK 的高等于|PF |，不妨设P (m 2,22m )(m ＞0)， 则m 2＋2＝4，解得m ＝2，
故△PFK 的面积S ＝4×22×2×1
2＝8.
答案：8
6．(2016·石家庄模拟)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过原点的直线
l 与双曲线交于M ，N 两点，且MF ―→·NF ―→
＝0，△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为________．
解析：因为MF ―→·NF ―→＝0，所以MF ―→⊥NF ―→
.设双曲线的左焦点为F ′，则由双曲线的对称性知四边形F ′MFN 为矩形，则有|MF |＝|NF ′|，|MN |＝2c .不妨设点N 在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF ′|－|NF |＝2a ，所以|MF |－|NF |＝2a .因为S △MNF ＝1
2|MF |·|NF |＝ab ，
所以|MF ||NF |＝2ab .在Rt △MNF 中，|MF |2＋|NF |2＝|MN |2，即(|MF |－|NF |)2＋2|MF ||NF |＝|MN |2，所以(2a )2＋2·2ab ＝(2c )2，把c 2＝a 2＋b 2代入，并整理，得b a ＝1，所以e ＝c
a ＝ 1＋⎝⎛⎭
⎫b a 2＝ 2.
答案： 2
[C 级——压轴小题突破练]
1．(2018届高三·河南八市联考)已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )
A.7
2 B ．
3 C.52
D ．2
解析：选C 抛物线的准线方程为x ＝－1
2，依据抛物线的定义，得|QM |－|QF |≥|x Q ＋
3|－⎪
⎪⎪⎪x Q ＋12＝⎪⎪⎪⎪3－12＝52. 2．(2017·贵阳模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、
左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭
⎫1，
52 B.
⎝⎛⎭
⎫52，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫1，5
4 D.⎝⎛⎭
⎫5
4，＋∞
解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b
a x ，且“右”
区域是由不等式组错误!所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1＜错误!，即错误!＞1
2
，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2∈⎝⎛⎭
⎫52，＋∞. 3．(2018届高三·武汉调研)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1，
l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF ―→与FB ―→
反向，则该双曲线的离心率为( )
A.52
B. 3
C. 5
D.52
解析：选C 设实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝b
a ，在
△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan ∠AOB ＝－tan 2α＝|AB |
|OA |，∵|OA |，|AB |，|OB |成等差
数列，∴设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m ＋d ，∵OA ⊥BF ，∴(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，整理得d ＝14m ，∴－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝|AB ||OA |＝m 3
4m ＝43，解得b a ＝2或b a ＝－1
2(舍去)，∴b ＝2a ，c ＝4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝c
a ＝ 5.
4．(2017·沈阳模拟)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2OA ―→＋OB ―→－3OP ―→
＝0，则弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为________．
解析：依题意得，抛物线的焦点F (0,1)，准线方程是y ＝－1，因为2(OA ―→－OP ―→)＋(OB ―→
－OP ―→)＝0，即2FA ―→＋FB ―→
＝0，所以F ，A ，B 三点共线．设直线AB ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由错误!得x 2＝4(kx ＋1)，即x 2－4kx －4＝0，x 1x 2＝－4，①
又2FA ―→＋FB ―→
＝0，因此2x 1＋x 2＝0，②
由①②解得x 21＝2，弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为12[(y 1＋1)＋(y 2＋1)]＝1
2(y 1
＋y 2)＋1＝18(x 21＋x 2
2)＋1＝5x 218＋1＝94
.
答案：94。