高考调研 高考理科数学总复习6-1

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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(2)当 n≥2 时，Sn－Sn－1＝an＝3n＋b－3n－1－b＝2·3n－1.
当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋b.
∴当 b＝－1 时，a1＝3－1＝2 适合 an＝2·3n－1.
∴an＝2·3n－1.
当 b≠－1 时，a1＝3＋b 不适合 an＝2·3n－1.
思考题 1 写出下列数列的一个通项公式： (1)3，5，9，17，33，… (2)－1，85，－175，294，…
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【解析】 (1)观察各项的特点：每一项都比 2 的 n 次幂多 1， 所以 an＝2n＋1.
(2)数列的符号规律为(－1)n，由第二、三、四项特点，可将 第一项看作－33，这样，先不考虑符号，则分母为 3，5，7，9，…， 可归纳为 2n＋1，分子为 3，8，15，24，…，将其每一项加 1 后 变成 4，9，16，25，…，可归纳为(n＋1)2，综上，数列的通项公 式为 an＝(－1)n·（n＋2n1＋）12－1＝(－1)nn22n＋＋21n.
请注意 关于数列的概念问题，虽然在高考中很少独立命题，但数列 的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，因 此对本节要细心领会，认真掌握．
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课前自助餐
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数列的概念
按一定次序排成的一列数叫做数列．
数列的通项公式
＝－1，a2＝2，a1＝12.
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4．(2018·山东师大附月考)已知数列{an}的前n项和Sn＝ nn＋ ＋12，则a5＋a6＝________．
答案
1 24
解析 a5＋a6＝S6－S4＝66＋ ＋12－44＋ ＋12＝78－56＝214.
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第六章 数 列
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第1课时 数列的基本概念
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…2018 考纲下载… 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通 项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．
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＝1，又
1 S1
＝
1 a1
＝1，则数列{
1 Sn
}是以1为首项，1为公差的等差
数列，因此S1n＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝1n.
【答案】
1 n
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题型三 数列的函数性质(微专题)
微专题 1：数列的单调性
(1)已知数列{an}的通项公式为 an＝3n2＋n k，若数列{an}
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思考题 3 已知数列{an}的通项 an＝(n＋1)·(1110)n(n∈N*)， 试问该数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项 数；若没有，说明理由．
【思路】 因an是n的函数，难点在an是一个一次函数(n＋1)与
一个指数函数(
10 11
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1．(课本习题改编)已知数列的通项公式an＝n2－5n－14，n ∈N*，则：
(1)这个数列的第4项是__________； (2)52是这个数列的第__________项； (3)这个数列的第__________项最小； (4)这个数列前__________项的和最小． 答案 (1)－18 (2)11 (3)2或3 (4)6或7
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★状元笔记★ 解决数列的单调性问题的方法： (1)用作差比较法，根据 an＋1－an 的符号判断数列{an}是递增 数列、递减数列或是常数列； (2)用作商比较法，根据aan＋n1(an>0 或 an<0)与 1 的大小关系进 行判断； (3)结合相应函数的图像直观判断．
所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)． 【答案】 D
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(2)(2017·沧 州 七 校 联 考 ) 已 知 数 列 {an} 满 足
an
＝
n＋1 3n－16
(n∈N*)，则数列{an}的最小项是第________项．
【解析】
方法一：因为an＝
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【解析】 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各
项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝
对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
(2)将数列变形为
8 9
(1－0.1)，
89 (1－0.01)， 89
(1－0.001)，…，
5．(2018·沧州七校联考)设函数{an}通项为an＝
2
＋cos
nπ 3
(n∈N*)，又k∈N*，则( )
A．ak＝ak＋3 C．ak＝ak＋5
B．ak＝ak＋4 D．ak＝ak＋6
答案 D
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6．观察下列各图，并阅读图形下面的文字．像这样，10 条 直线相交，交点的个数最多是( )
数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式 an＝f(n) 来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．
若已知
Sn，则
an＝Sn－S1Sn－1
（n＝1）， （n≥2）.
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数列与函数 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集 {1，2，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一 列函数值．数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图像是一 群孤立的点．
【答案】 (1)an＝2n＋1 (2)an＝(－1)nn22n＋＋21n
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题型二 S n与an的关系 已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. 【解析】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n －5. ∴an＝4n－5.
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数列的分类 (1)根据数列的项数可分为有穷数列、无穷数列． (2)按照数列的每一项随序号变化的情况可分为： ①递增数列；②递减数列；③摆动数列；④常数列．
递推公式 如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，任一项 an 与它的前 一项 an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个 公式就叫做这个数列的递推公式．
为递减数列，则实数 k 的取值范围为( )
A．(3，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0，＋∞)
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【解析】 因为an＋1－an＝3n＋2n3＋＋1 k－3n2＋n k＝3－23nn＋－1 k，由 数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝3－23nn＋－1 k<0，
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思考题 2 (1)已知{an}的前 n 项和为 Sn，满足 log2(Sn＋1) ＝n＋1，则 an＝________．
【解析】 ∵Sn＋1＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1.
∴n＝1 时，a1＝3.
n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n.
∴an＝32， n，nn＝≥12，.
∴an＝32＋·3nb－1
（n≥2）， （n＝1）.
【答案】 (1)an＝4n－5 (2)当 b＝－1 时，an＝2·3n－1；当 b≠
－1 时，an＝32＋·3nb－1
（n≥2）， （n＝1）.
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★状元笔记★ 已知Sn求an的一般步骤
(1)当n＝1时，由a1＝S1求a1的值； (2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式； (3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段 表示an； (4)写出an的完整表达式．
∴an＝89(1－110n)．
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(3)把数列改写成11，02，13，04，15，06，17，08，…，分母依次为 1，2，3，…，而分子 1，0，1，0，…周期性出现，因此数列的 通项可表示为 an＝1＋（－2n1）n＋1.
(4)将数列统一为32，55，170，197，…对于分子 3，5，7，9，…， 是序号的 2 倍加 1，
1＋（－1）n＋1 2n
(4)an＝2nn2＋＋11
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★状元笔记★ 根据数列的前几项求通项公式时应考虑 (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部 分； (4)各项的符号特征．
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)n的积．所以从一次函数或指数函数增减性看，一
增一减积不确定．但n∈N*，不妨试从比较an与an＋1的大小入手．
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【解析】
∵an
＋
1
－
an
＝
(n
＋
2)(
10 11
)n
＋
1
－
(n
＋
1)(
10 11
)n
＝
(1110)n·9－11n，∴当 n<9 时，an＋1－an>0，即 an＋1>an；当 n＝9 时，
n＋1 3n－16
，所以数列{an}的最小项
必为an<0，即3nn＋ －116<0.
3n－16<0，从而n<136.
∴当n取最大值5时，an的值最小．
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方法二：an＝13(33nn－＋136)＝13(1＋3n1－916)， 当 3n－16<0 时，an 递减， 此时当 n＝5，an 最小． 当 3n－16>0 时，an 也为递减，此时当 n＝6 时，an 最大． 【答案】 5
a10－a9＝9. 累加得 a10－a2＝2＋3＋…＋9，∴a10＝1＋2＋3＋…＋9＝45.
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授人以渔
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题型一 归纳通项公式 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，… (2)0.8，0.88，0.888，… (3)1，0，13，0，15，0，17，0，… (4)32，1，170，197，…
【答案】
3，n＝1， 2n，n≥2
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(2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝1，an＝－Sn·Sn－ 1(n≥2)，则 Sn＝________．
【解析】
依题意得Sn－1－Sn＝Sn－1·Sn(n≥2)，整理得
1 Sn
－
1 Sn－1
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2．(2018·吉林一中模拟)已知n∈N*，给出4个表达式：①an
＝
0，n为奇数， 1，n为偶数；
②an＝
1＋（－1）n 2
；③an＝
1＋cosnπ 2
；④an＝
nπ |sin 2
|.其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项
公式的是________．
A．40 个 C．50 个
B．45 个 D．55 个
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答案 B 解析 方法一：最多交点个数的规律是：1，1＋2，1＋2＋ 3，……，1＋2＋3＋…＋n，…… ∴10 条直线交点个数最多是：1＋2＋…＋9＝45.
a3－a2＝2， 方法二：设 n 条直线的交点个数为 an(n≥2)，则a…4－…a3＝3，
答案 ①②③
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3．(2014·课标全国Ⅱ，文)数列{an}满足an＋1＝
1 1－an
，a8＝
2，则a1＝________．
答案
1 2
解析 由an＋1＝1－1 an及a8＝2，得2＝1－1 a7，解得a7＝12；由a7＝
12，得12＝1－1 Байду номын сангаас6，解得a6＝－1；同理可得a5＝2.由此可得，a4＝12，a3
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可得分子的通项公式为 bn＝2n＋1，对于分母 2，5，10，17，… 联想到数列 1，4，9，16，…，
即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝n2＋1， ∴可得它的一个通项公式为 an＝2nn2＋＋11.
【答案】 (1)an＝(－1)n(6n－5) (2)an＝89(1－110n) (3)an＝