余弦定理、正弦定理(第2课时)课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

例1.在 ABC中，已知 A 15 , B 45 , c 3 3 , 解这个三角形。
解：由三角形内角和定理，得




C 180 ( A B) 180 (15 45 ) 120

由正弦定理，得



c sin A (3 3 ) sin 15
(3 3 ) sin（45 30 )
一角。
2、已知三角形的两边与其中一边的对角，出三角形
的其他的边和角。
✓如果出现两个解，根据“三角形中大边对大角”来
决定取舍！
从已有知识出发，你有哪些研究思路？
a
b
c


sin A sin B sin C
可分为锐角三角形，
钝角三角形两种情况分析.
如图，在锐角∆中，CD=a∙sinB=b∙sinA
C


所以
=

b


同理
=





所以
=
=


A
请同学们课下完成钝角三角形的证明

2
同理可得
综上可得
C
a
b
c


.
sin A sin B sin C
a
b
c


sin A sin B sin C

2
正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
即
a
b
c


sin A sin B sin C
说明:
（1）正弦定理可以把三边的比化为三个角正弦值的比，
即a:b:c=sinA:sinB:sinC
2 6 2
b


sin C
sin 120
3
2
例2.在 ABC中，已知 B 30 , b
解：由正弦定理，得

c

b
,
B

30
因为
2 , c 2 ，解这个三角形。
c sin B 2 sin 30
2
sin C


b
2
2
所以 30 C 180
于是 C 45 或 C 135
（2）公式
即 a b
sin A
可以拆分成三个式子，
a
b
c


sin A sin B sin C
sin B
,
a
c

sin A sin CLeabharlann ,bc
sin B sin C
，每个式子中四个元素“知三求一”
思考： 利用正弦定理可以解决一些怎
么样的解三角形问题呢？
a
b
c


sin A sin B sin C
a= 3，求b
追问1：（2）中三角形给了什么条件？用余弦定理能否解决？
追问2：（2）中三角形中的条件能不能确定三角形有解？
a,b的大小关系如何？
追问3：（1）（2）中所给条件都是AAS，第一个方便计算，
第二个不容易计算，所以我们在研究A,B,a,b之间所满足的定
量关系时可以采取什么方法？ 从特殊到一般
a
c
D
B
想一想：由于涉及边角关系，类比余弦定理的证明，我们
可以用向量中的哪个知识来研究呢？
数量积
向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的
正弦，如何实现角的转化？

cos( -)
2
=
证明： 当 ABC 是锐角三角形时
过A作单位向量 j 垂直于 AC，
由AC CB AB，
两边同乘以单位向量

B



j AC CB j AB

j得
则 j AC j CB j AB，
j
A
| j || AC | cos 90 | j || CB | cos(90 C ) | j || AB | cos(90 A).
∴ asinC=c sinA.
问题2：请大家在直角三角形中探究其两组对边和对角满足什么关系？
在直角三角形ABC中，由锐角三角函数，
A
再根据正弦函数的定义，
a
= sinA,
c
c
b
= sinB,
c
a
b
=
= c.
sinA sinB
a
b
c
=
=
sinA sinB sinC
b
sinC = 1
C
a
B
问题3：那么对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立？
为什么C有两个值？

（1）当 C 45 时，
A 105




b sin A
2 sin 105
2 sin（60 45 ）


此时 a


sin B
sin 30
sin 30
2 (sin 60 cos 45 cos 60 sin 45 )

sin 30
3
2 1
2
2
3
2 1
2(


)
2
2
2 2 3 1

1
2
例2.在 ABC 中，已知 B 30 , b 2 , c 2 ，解这个三角形。
问题6： 例2中角C为什么有两个值？在已知两边和其中一边的对角，三
角形的形状能确定吗？
三角形形状不能确定


C 45 或C 135
A
b= 2
2(

)
2
2 2 2 3 1

1
2

（2）当C 105时，
A 15

b sin A
2 sin 15


此时 a

sin B
sin 30


2 sin（45 30 ）

sin 30





2 (sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 )

sin 30
c=2
C
30
B
1
2
想一想：改变b的大小，三角形有没有可能出现无解或者
一解的情况？
一般地，在已知两边和其中一边对角（例如已知a,b和A）的情况下，
确定三角形解的情况，有两种常见方法：
法1：由 =
解的情况
法2：数形结合

求得角, 根据“大边对大角，小边对小角”确定

(1)当A为锐角时
a




sin C
sin 120
sin 120
(3 3 )(sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 )

sin 120
2
3
2 1
(3 3 )(


)
2
2
2 2 2

3
2
2
(3 3 )

c sin B (3 3 ) sin 45
从方程的思想分析
正弦定理可用于两类：
（1）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算
其他的角与边.
（2）已知三角形两个角与任意一边，求其他两边
与另一角；
问题4:请解决本节课一开始提出的问题（2）
解：由正弦定理，得
a
b

sin A sin B
所以b=


= 2
=
345
120
已知两边及其夹角求第三边
推论
b2＋c2－a2
cos A＝
，
2bc
c2＋a2－b2
cos B＝
，
2ca
a2＋b2－c2
cos C＝
.
2ab
已知三边求三角
问题1：
（1）在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，若A= 90 ,B= 60 ，
a=3，求b
（2）在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，若A= 120 ,B= 45 ，
a
c


sin A sin C
同理，过点C作与 CB 垂直的单位向量
a
b
c



.
sin A sin B sin C
c
b

.
j ，可得
sin C sin B
C
当 ABC 是钝角三角形时，不妨设A为钝角。如图
过点A作与 AC 垂直的单位向量 j ，则 j 与 AB 的夹角为 A
j 与CB 的夹角为
a b sin A
a b sin A
一解
无解
b sin A a b
两解
(2)当A为直角或钝角时
C
b
A
a
C
a
b
A
若 ≤ , 则无解
若 > , 则一解
ab
一解
达标检测
课本第48页1、2、3
小结
• 正弦定理：
• 利用正弦定理可以解决的问题：
1、已知三角形的任意两角与一边，求其他两边和另
人教必修二
第六章
第六章
平面向量及其应用
6.4.3 正弦定理、余弦定理
（第二课时）
人教必修二
第六章
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第二课时
01
相关标题文字
复习回顾
1.余弦定理及其推论
余弦定理
a2=b2+c2 － 2bccosA ，
b2=c2+a2－2accosB，
c2=a2+b2
－ 2abcosC 。