广东省高二上学期开学摸底考试数学试题与答案

广东省高二上学期开学摸底考试数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合202x A x
x -⎧⎫
=≤⎨⎬+⎩⎭，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=（）
A．{2x
x ≤∣或3}x ≥B．{}23x x -<<C．{}
02x x <≤D．{2x
x ≤-∣或3}x ≥2．如果复数z 满足i 5z +=，那么复数z 可能是（）
A．3
z =-
B．2i
z =
C．1z =D．33i
z =-+3．设m，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，下列说法正确的是A．若//m α，//m β，则//αβB．若//m α，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥C．若m α⊂，m β⊥，则αβ
⊥D．若//m α，n β⊥，//m n ，则//αβ
4．有一组样本数据：12,x x ，L ，8x ，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：12,x x ，L ，8x ，2，那么这两组样本数据一定有相同的（）A．众数
B．中位数
C．方差
D．极差
5．函数()21sin 1e x
f x x ⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数1
1()5x f x -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，设5(cos ),sin ,tan 63a f b f c f πππ⎛⎫⎛
⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则（
）
A．a b c
>>B．b c a
>>C．b a c
>>D．c a b
>>7．已知函数()2
1,1
4log 1,1
a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（
）．
A．11,42⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭B．10,2⎛⎤ ⎥
⎝⎦C．11,42⎡⎤⎢⎥
⎣⎦D．1,12⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
8．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是等腰直角三角形，12AA =，1AC BC ==，点D 在上底面111A B C （包括边界）上运动，则三棱锥D ABC -外接球表面积的最大值为（
）
A．
81π16
B．6πC．
243π64
D．26π
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知向量()2,a m = ，()1,2b =- ，且
()
2a b b ⊥-
，则下列说法正确的是（）
A．3
m =B．10
a b ⋅=
C．向量a 与b
夹角是
π4
D．5
a b -= 10．若0,0a b >>，则下列结论正确的有（
）A．2222
a b a b +≤
+B．若
142a b +=，则9
2
a b +≥C．若22ab b +=，则34
a b +≥D．若0a b >>，则11
a b b a
+
>+11．如图所示，在正方体ABCD A B C D -''''中，M ，N 分别是B C ''，C D ''的中点，E 是线段B D ''上的动点，则下列判断正确的是（
）
A．三棱锥N MAE -的体积是定值B．过A ，M ，N 三点的平面截正方体所得的截面是六边形C．存在唯一的点E ，使得AE MN
⊥D．AE 与平面AMN 所成的角为定值
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，30，32，41，则这8人年龄的25%分位数是
．
13．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗上底边长为4分米，下底边长为2分米，高为3分米，则该方斗的外接球的表面积为
平方分米．
14．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c S 为ABC 的面积，且222()S a b c =--，则b
c
的取值
范围.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15．已知定义在区间2,3ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－6π对称，当x∈2,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
时，函
数f(x)＝Asin(ωx＋φ)0,0,22A ππωφ⎛
⎫>>-<< ⎪⎝
⎭的图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)在2,3ππ⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦上的表达式；
(2)求方程f(x)＝
2
2
的解．16．为了解某农场的种植情况，该农场的技术人员对种植出来的水果进行抽样检测，将测得的水果重量分成[)[)[)[)[)[],,15.5,16.516.5,17.5,17.5,18.518.5,19.519.5,20.5,20.,5,21.5六组进行统计，得到如图所示的统计图.
（1）估计该农场的水果重量的平均数(同一组当中的水果重量用该组的中间值代替)；
（2）从样本中重量不小于19.5克的水果中任取2个，求至少有1个水果的重量不小于20.5克的概率.
17．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E ，F ，G 分别是PD ，PC ，BC 的中点．
（1）求证：平面EFG ⊥平面PAD ；
（2）若M 是线段CD 上一点，求三棱锥M EFG -的体积.
18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()cos 2cos b C a c B =-．(1)若ABC 的外接圆半径为1，且1
cos cos 8
A C =-，求a c +；
(2)若2b =，求锐角ABC 的面积的取值范围．
19．如果函数()y f x =的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对定义域内的任意x ，都有()()f x a f x +=-恒成立，那么称此函数具有“()P a 性质”.
(1)已知()y f x =具有“()0P 性质”，且当0x ≤时，()()2
f x x m =+，求()y f x =在[]0,1的最大值；
(2)已知定义在R 上的函数()y h x =具有“()2P 性质”，当1x ≥时，()4h x x =-.若函数
()()()2F x h x t h x t =-⋅+有8个零点，求实数t 的取值范围.
广东省高二上学期开学摸底考试数学试题答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合,A B ，再按照集合的并集运算即可.【详解】
2
02
x x -≤+，则()()220x x -+≤，且20x +≠，解得22x -<≤，则集合{22}A x
x =-<≤∣，{(3)0}{03}B x x x x x =-<=<<∣∣则A B ⋃={}
23x x -<<2．D【分析】将选项代入条件，利用模的公式进行验证.
【详解】A.3z =-时，i 3i z +=-+A 错误；
B.2i z =，则i 3i z +=
+B 错误；
C.1z =，则)i 11i 5z +=-
=，故C 错误；
D.33i z =-+，则i 34i 5z +=-+=，故D 正确.
3．C【解析】由线面的位置关系，面面平行与垂直的判断定理逐一判定、排除即可得到答案.【详解】在A 中，若//m α，//n β，则//αβ或αβ⋂，故A 错误；在B 中，若//m α，n β⊥，m n ⊥，则α与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若m α⊂，m β⊥，则由面面垂直的判断得到αβ⊥，故C 正确；在D 中，由//m α，n β⊥，//m n ，故//αβ或αβ⋂，故D 错误．
【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运空间想象能力，属于基础题．
4．D【分析】根据众数、中位数、方差以及极差的定义，结合题意，即可判断和选择.
【详解】对A：假设12,x x ，L ，8x 中，有两个2，两个3，其它4个数据都不相同，且这8个数据平均数为2，那么众数为2和3；
再添加一个2后，有三个2，故众数为2，众数发生改变，故A 错误；
对B：假设12,x x ，L ，8x 分别为：1,0,0,2,3,3,4,5-，满足平均数为2，其中位数为23
2.52
+=；添加2以后，其中位数为2，中位数发生改变，故B 错误；
对C：12,x x ，L ，8x 的平均数为2，方差()()()222
112812228S x x x ⎡⎤=-+-++-⎣
⎦ ；添加2以后，其平均数还是2，方差()()()()2222
212811222229S x x x S ⎡⎤=-+-++-+-<⎣
⎦ ，故方差发生改变；
对D：若2是12,x x ，L ，8x 的最大值或最小值，因为其平均数为2，故这组数据都是2，其极差为0，添
加2后，极差也是0；
若2不是12,x x ，L ，8x 的最大值，也不是最小值，添加2后，最大值和最小值没有改变，极值也不发生变化，故D 正确.
5．A【分析】根据奇偶性和()2f 的符号，使用排除法可得.【详解】()f x 的定义域为R ，
因为()e 12122e e 1sin()1sin sin 11e e x x x
x x f x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎭⎝-⎝⎝⎭⎭1sin 1sin ()e e 2211x x x x f x ⎛⎫⎛⎫
=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，故CD 错误；又因为()2
221sin 21e f ⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
，2210,sin 201e -<>+，所以()20f <，故B 错误.6．B【分析】由题可得函数()f x 关于直线1x =，且在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞
上单调递减，又
51cos 1,sin
,tan 623
ππ
π=-=，即得.【详解】∵函数1
1
11,151()51,15x x x x f x x ---⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫
==⎨ ⎪
⎝⎭
⎛⎫
⎪< ⎪⎪⎝⎭
⎩，∴函数()f x 关于直线1x =，且在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，
又51cos 1,sin
,tan 623
ππ
π=-==
∴13(1)(3),,22a f f b f f c f
⎛⎫⎛⎫
=-==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴a c b <<.
7．C【分析】根据题意可讨论:1a a >时，可看出()f x 在()1,+∞上单调递增，而()f x 在(],1-∞上不是增
函数，显然不合题意；01a <<时，可看出()f x 在()1,+∞上单调递减，从而得出1
12111
4a
a ⎧≥⎪⎪⎨⎪--≥-⎪⎩
，解出a
的范围即可．
【详解】解：①1a >时，()f x 在()1,+∞上是增函数；∴()f x 在R 上是增函数；
显然()f x 在(],1-∞上不是增函数；∴1a >的情况不存在；
②01a <<时，()f x 在()1,+∞上是减函数；
∴()f x 在R 上是减函数；
∴1
12111
4a
a ⎧≥⎪⎪⎨⎪--≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤；
综上得，实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
8．B【分析】由条件确定球心位置，引入变量表示球的半径，由此确定球的表面积及其最大值.【详解】因为ABC 为等腰直角三角形，1AC BC ==，所以ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点1O
，且12
AO =
，设11A B 的中点为E ，连接1O E ，则11//O E AA ，则1O E ⊥平面ABC ，设三棱锥D ABC -外接球的球心为O ，由球的性质可得O 在1O E 上，
设1OO x =
，02DE t t ⎛=≤≤ ⎝⎭，外接球的半径为R ，因为OA OD R ==
即2
742t x
=-，又02
t ≤≤，则718x ≤≤，
因为22
12R x =+
，所以
2813
642
R ≤≤所以三棱锥D ABC -外接球表面积的最大值为3
4π6π2
⨯
=.【点睛】方法点睛：常见几何体的外接球半径求法：
（1）棱长为a 的正方体的外接球半径为2
R a =
；（2）长方体的长，宽，高分别为,,a b c
，则其外接球的半径为R =
（3）直棱柱的高为h ，底面多边形的外接圆半径为r
，则其外接球的半径为R 五、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9．BCD【分析】根据题意，由条件可得6m =，再由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为向量()2,a m =
，()1,2b =- ，则()()()22,2,44,4a b m m -=--=- ，
且()2a b b ⊥- ，则()
()214240a b b m -=-⨯+=⋅-
，解得6m =，故A 错误；
因为()2,6a = ，()1,2b =- ，则21210a b ⋅=-+=
，故B 正确；
因为cos ,2a b
a b a b
⋅<>==
=
⋅
，则π
,4
a b <>= ，故C 正确；因为()3,4a b -=
，则5a b -==
，故D 正确；
10．BCD【解析】对于选项A B C：利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项D：利用作差法判断即可.
【详解】对于选项A：若0,0a b >>，由基本不等式得222a b ab +≥，
即()
()2
22
2a b a b +≥+，
a b ≥
=
+，
故2
a b ≥
+，当且仅当a b =时取等号；所以选项A 不正确；对于选项B：若0,0a b >>，
11412a b ⎛⎫
⨯+= ⎪⎝⎭
，()11414522b a a b a a a b b b +=+⎛⎫⎛⎫⨯+=++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭
19522⎛≥
+= ⎝，当且仅当
142a b
+=且4b a
a b =，
即3
,32
a b ==时取等号，
所以选项B 正确；
对于选项C：由0,0a b >>，
()22ab b b a b +=+=，
即()24b a b +=，由基本不等式有：
()324a b a b b +=++≥=，
当且仅当22ab b +=且2a b b +=，即1a b ==时取等号，所以选项C 正确；对于选项D：()1111a b a b a b a b b a ab ab -⎛⎫+
--=-+=-+ ⎪⎝
⎭，又0a b >>，得1
0,10a b ab
->+>，所以11a b b a
+
>+，所以选项D 正确；
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
11．AC【分析】利用N MAE A MNE V V --=，结合MNE 的面积为定值，点A 到平面MNE 的距离AA '为定值，可判断A；平面的基本性质作出面AMN 与BB '的交点，利用正方体的性质及线线平行、线面平行、中位线性质判断B；当E 为B D ''中点时，可得AE GH ⊥，进而判断C；E 到平面AMN 的距离一定，而AE 长度随E 运动会变化，结合线面角定义判断D.【详解】因为E 是线段B D ''上的动点，而1
2
MN B D ''=
且MN B D ''∥，所以MNE 的面积为定值，又点A 到平面MNE 的距离AA '为定值，N MAE A MNE V V --=，所以三棱锥N MAE -的体积是定值，A 正确；
过A 作GH MN ∥分别交CD ，CB 的延长线于H ，G ，连接MG ，NH ，如图，
F 为M
G ，BB '的交点，K 为N
H ，DD '的交点，所以截
面为五边形AFMNK ，B 错误；
E 在B D ''上运动，当AE GH ⊥时，AE MN ⊥，而A 为GH 中点，
所以当E 为B D ''中点时，AE GH ⊥，故存在唯一的点E 使得AE MN ⊥，C 正确；由B D MN ''∥，MN ⊂平面AMN ，B D ''⊄平面AMN ，则B D ''∥平面AMN ，所以E 到平面AMN 的距离一定，而AE 长度随E 运动会变化，故AE 与平面AMN 所成的角不为定值，D 错误.
【点睛】关键点点睛：本题A 选项解决的关键在于，利用线线平行得到点到MNE 的面积为定值，从而得解.
六、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．【分析】根据百分位数的计算公式即可得到答案.
【详解】把这8个数据按从小到大的顺序排列可得：29，30，32，35，36，38，40，41，
825%2⨯=，所以这8人年龄的25%分位数是
3032
312
+=．故答案为：31．
13．【分析】首先根据棱台的对称性得到外接球的球心O 所在位置，根据垂直关系列出方程组，求解方程组解得外接球半径，最后求出外接球面积即可.
【详解】由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，由棱台的性质可知：外接球的球心O 落在线段12O O 上，
设外接球的半径为R ，2OO h =，则13OO h =-，因为12O O 垂直于上下底面，所以2
2
222OO O B R +=即2
222
h R +
=，
所以22211OO O A R +=即(
)(2223h R -+=，联立解得52h =，22533244
R =+=,所以该方斗的外接球的表面积为33π.
故答案为：33π
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
14．【分析】利用三角形面积公式与余弦定理,可得2cos 2sin A A =-，再根据同角关系式可得sin ,cos A A ，
tan A ，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5
b c C =+出，结合条件可得tan C 的取值范围，进而即得.
【详解】因为()222S a b c =--，且1sin 2S bc A =
，所以()22sin bc A a b c =--，即222(2sin )b c a bc A +-=-，由余弦定理得：222
cos 2b c a A bc
+-=，所以2cos 2sin A A =-，又22cos sin 1A A +=，所以221sin (1sin )12
A A +-=，解得：4sin 5
A =或sin 0A =，因为ABC 为锐角三角形，所以4sin 5A =
，3cos 5A =，所以sin 4tan cos 3
A A A ==，因为πA
B
C ++=，
所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=，由正弦定理得：sin sin cos cos sin sin sin b B A C A C c C C
+==434cos sin 3555sin tan 5
C C C C +==+，因为ABC 为锐角三角形，
所以π02π02B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即π
2π
02
A C C ⎧+>
⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩,所以π
π
22A C -<<，所以π3
tan 2cos an 4t =sin A A
C A ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，所以14
0tan 3C <<，所以4
1650tan 15C <<，4
3
3555tan 53
C <+<，故35
,53b c ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭.故答案为：35,53⎛⎫
⎪⎝⎭.
七、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15．【详解】试题分析：解：(1)当x ∈2,63π
π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦时，A ＝1，4T ＝23π－6π
，T ＝2π，
ω
＝1.且f (x )＝sin(x ＋φ)过点2,03π
⎛⎫ ⎪⎝⎭，则23π
＋φ＝π，φ＝3π
.
f (x )＝sin 3x π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭.
当－π≤x ＜－6π时，－6π
≤－x －3π≤23π
，f 3x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝sin 33x π
π⎛⎫
--+ ⎪⎝⎭，
而函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－6π
对称，
则f (x )＝f 3x π⎛⎫
-- ⎪⎝⎭，
即f (x )＝sin 33x ππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭＝－sin x ，－π≤x ＜－6π
.
∴(2)当－6π≤x ≤23π时，6π≤x ＋3
π≤π，
由f (x )＝sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2
，得x ＋3π＝4π或34π，x ＝－12π或512
π.
当－π≤x ＜－
6π时，由f (x )＝－sin x ＝2，sin x ＝－2，得x ＝－
4π或－34π.∴x ＝－4π或－34π或－12π或512
π.考点：三角函数的图像与解析式
点评：解决的关键是根据三角函数的性质来结合图像来得到参数的求解，同事解三角方程，属于基础题．
16．【分析】（1）取中间值与该组频数相乘，除以总数，即得平均数.
（2）列出所有基本事件，找出所求事件包含多少个基本事件，按照古典概型概率计算公式求解即可.
【详解】解：（1）设该农场的水果重量的平均数为x ，则
()11621751814191320421218.4540
x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）重量不小于19.5克的水果有6个，记为,,,,,a b c d E F
其中重量不小于20.5克的水果有2个，记为,.
E F 从,,,,,a b c d E F 中任取2个，有()()()()()()()()()()
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a E a F b c b d b E b F c d ()()()()(),,,,,,,,,c E c F d E d F E F ，共15种情况
至少有1个水果的重量不小于20.5克的有
()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a E a F b E b F c E c F d E d F E F ，共9种情况
则至少有1个水果的重量不小于20.5克的概率93155
P ==【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
17．【分析】（1）由线面垂直的性质定理，证出CD ⊥平面PAD ．在PCD 中根据中位线定理，证出//EF CD ，从而EF ⊥平面PAD ，结合面面垂直的判定定理，可得平面EFG ⊥平面PAD ；
（2）根据线面平行判定定理，得到//CD 平面EFG ，推出三棱锥M EFG -的体积等于三棱锥D EFG -的体积．再由面面垂直的性质证出点D 到平面EFG 的距离等于正EHD ∆的高，算出EFG 的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥D EFG -的体积，即可得到三棱锥M EFG -的体积．
【详解】（1） 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥CD \^平面PAD ，
又PCD Q V 中，E 、F 分别是PD 、PC 的中点，
//EF CD ∴，可得EF ⊥平面PAD
EF ⊂ 平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PAD ；
（2）//EF CD ，EF ⊂平面EFG ，CD ⊂/平面EFG ，
//CD ∴平面EFG ，
因此CD 上的点M 到平面EFG 的距离等于点D 到平面EFG 的距离，
M EFG D EFG V V --∴=，
取AD 的中点H ，连接GH 、EH ，则//EF GH ，
EF ⊥ 平面PAD ，EH ⊂平面PAD ，EF EH ∴⊥，而112,222
EF CD EH PA ====,于是122
EFH EFG S EF EH S =⨯== ，
平面EFG ⊥平面PAD ，平面EFG ⋂平面PAD EH =，由题意知EH PA ∥,PAD 是正三角形，则,EHD △是正三角形，
∴点D 到平面EFG 的距离等于正EHD △的高，即为2sin 60=
因此，三棱锥M EFG -的体积13M EFG D EFG EFG V V S --==⨯=
．
18．【分析】（1）先由已知及正弦定理得到π3B =
，然后据（1）的条件得到b =进一步可得到32ac =，
最后使用余弦定理解出2
a c +=；
（2）先由已知及ABC
ABC S <≤
u ∈⎝构造满足题目条件且面积等于u 的ABC ，即可得到ABC
的面积的取值范围是3⎛ ⎝.【详解】（1）由()cos 2cos b C a c B =-及正弦定理得
()sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin cos B C A C B A B C B =-=-.
故()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B B C C B B C A =+=+=，得2cos 1B =.所以1cos 2
B =，知π3B =.记AB
C 的外接圆半径为R ，则1R =，且1cos cos 8A C =-
，故π2sin 21sin 3
b R B ==⨯⨯=又有()1π1cos cos cos sin sin cos cos sin sin 238
B A
C A C A C A C ===-+=-=+，所以3sin sin 8A C =，即22332sin 2sin 4sin sin 4182
ac R A R C R A C =⋅==⨯⨯=.故()()222222222π932cos 2cos 332
b a
c ac B a c ac a c ac a c ac a c ==+-=+-=+-=+-=+-，
解得2
a c +=.（2）我们已有π3B =，记ABC 的外接圆半径为R
，则2π2sin 32sin 3
b R B ===.ABC 是锐角三角形当且仅当π2π2ππ2
3A C A B A ⎧>⎪⎪⎨⎪>=--=⎪⎩，即ππ62A <<，故2π23A C A -=-的范围是ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
又因为2
162sin ·2sin 4sin sin sin sin 3ac R A R C A C A C ==⨯=⎝⎭()()()()()()8881cos cos cos cos cos 3332A C A C A C B A C ⎛⎫=--+=-+=-+ ⎪⎝⎭
.故由A C -的范围是ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，知()cos A C -的范围是1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以ac 的范围是8,43⎛⎤ ⎥⎝⎦
.
而11πsin sin 223ABC S ac B ac ac == ，所以ABC
的面积的取值范围是3⎛ ⎝.19．【分析】（1）根据给定的性质，求出函数()f x 在[]0,1的解析式，再分类讨论求出最大值.
（2）根据给定的性质，求出函数()h x 的解析式，并分析函数性质作出图象，令()h x m =，把函数()F x 的零点问题转化为一元二次方程实根分布求解.
【详解】（1）由()y f x =具有“()0P 性质”，得()()=f x f x -对x ∈R 恒成立，则函数()f x 是R 上的偶函数，
当[]0,1x ∈时，[]1,0x -∈-，22()()()()f x f x x m x m =-=-+=-，则当12
m ≤时，2max ()(1)(1)f x f m ==-；当12m >时，2max ()(0)f x f m ==，所以当12m ≤
，最大值为()21m -；当12m >时，最大值为2m .（2）函数()y h x =具有“()2P 性质”，则(2)()h x h x +=-，即()(2)h x h x =-，
而当1x ≥时，()|4|h x x =-，则当1x <时，21x ->，()(2)|2|h x h x x =-=+，
于是()4,12,1x x h x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩
，函数()h x 在(,2]-∞-上单调递减，函数值集合为[0,)+∞，在[2,1]-上单调递增，函数值集合为[0,3]，在[1,4]上单调递减，函数值集合为[0,3]，
在[4,)+∞上单调递增，函数值集合为[0,)+∞，函数()y h x =
的图象如图，
令()h x m =，显然当0m <时，方程()h x m =无解，当0m =或3m >时，方程()h x m =有2个解，当3m =时，方程()h x m =有3个解，当03m <<时，方程()h x m =有4个解，
函数2()()()F x h x t h x t =-⋅+有8个零点，则2()0t m tm t ϕ=-+=在(0,3)上有两个不等的实数根12,m m ，因此22Δ40(0)0(3)330032t t t t t t ϕϕ⎧=->⎪=>⎪⎪⎨=-+>⎪⎪<<⎪⎩，解得942t <<，所以t 的取值范围为9(4,2
.。