四川广元市数学高二下期中经典题(答案解析)

一、选择题
1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与
b 的夹角的余弦值为（ ）
A ．
22
B ．
23
C ．
28
D ．
24
2．(0分)[ID ：13607]若4sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭等于（ ）
A ．
45
B ．4
5
-
C ．
35
D ．
35
3．(0分)[ID ：13583]已知向量()
2
2cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数
()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )
A ．关于直线12
x π
=对称
B ．关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．周期为2π
D ．()y f x =在,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上是增函数 4．(0分)[ID ：13576]若x 1=
4π
，x 2=34
π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=
A ．2
B ．3
2
C ．1
D ．
12
5．(0分)[ID ：13559]已知平面向量()2,a x =-，()
1,3b =，且()a b b -⊥，则实数x 的值为（ ） A ．23-
B ．23
C ．43
D ．63
6．(0分)[ID ：13622]函数()()sin (0,0,)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图象如图
所示，为了得到sin2y x =的图象，只需将()f x 的图象( )
A ．向右平移
3
π
个单位 B ．向右平移
6
π
个单位
C ．向左平移
3
π
个单位 D ．向左平移
6
π
个单位 7．(0分)[ID ：13596]已知函数()sin()3
f x x π
=-，要得到()cos g x x =的图象，只需将函
数()y f x =的图象（ ） A ．向左平移56
π
个单位 B ．向右平移3
π
个单位 C ．向左平移
3
π
个单位 D ．向右平移
56
π
个单位 8．(0分)[ID ：13595]若1sin 63a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
（） A ．79
-
B ．13
-
C ．
13
D ．7
9
9．(0分)[ID ：13593]O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满
足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫
⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭
，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心
B ．垂心
C ．重心
D ．外心
10．(0分)[ID ：13589]已知AB AC ⊥，1
AB t
=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB
AC
=+
，则·PB PC 的最大值等于（ ）.
A ．13
B ．15
C ．19
D ．21
11．(0分)[ID ：13565]已知函数()()
sin 0,0,f A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且
()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐
标不变），所得图象对应的函数为()g x .若4g π⎛⎫
= ⎪⎝⎭38
f π
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ）
A
B ．
C ．-2
D ．2
12．(0分)[ID ：13545]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x
=
- B ．cos y x =
C ．ln(1)y x =+
D ．2x y -=
13．(0分)[ID ：13535]已知函数())24
f π
αα=-
+，在锐角三角形ABC 中，
()6f A =，且cos2cos2B C =，则tan B 的值为( )
A ．1
B 1
C ．
2
D 1
14．(0分)[ID ：13532]若()1,2,3,,i A i n =⋯是AOB 所在平面内的点，且
i OA OB OA OB ⋅=⋅，给出下列说法：（1）123||||||||n OA OA OA OA ===⋯=；（2）||i OA 的最小值一定是||OB ；（3）点A 和点i A 一定共线；（4）向量OA 及i OA 在向量
OB 方向上的投影必定相等；其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
15．(0分)[ID ：13529]设O 是△ABC 所在平面上的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 的形状一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．以上都不对
二、填空题
16．(0分)[ID ：13728]已知向量(1,)a k =，(9,6)b k =-，若//a b ，则k =_________． 17．(0分)[ID ：13722]已知函数f(x)=−4cos(ωx+φ)
e |x |
(ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所
示，则ω
φ=__________．
18．(0分)[ID ：13711]命题“若sin 0sin sin αβγ++=，cos cos cos 0αβγ++=”，则
cos()αβ-=______________．
19．(0分)[ID ：13709]已知AB 为单位圆O 的一条弦,P 为单位圆O 上的点,若
()()f AP AB R λλλ=-∈的最小值为m ,当点P 在单位圆上运动时,m 的最大值为4
3
,则
线段AB 的长度为________.
20．(0分)[ID ：13696]已知点12(1,1),(7,4)P P ，点P 分向量12PP 的比是1
2
，则向量1PP 在向量(1,1)a =-方向上的投影是______________ 21．(0分)[ID ：13692]已知tan 24x π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，则tan tan 2x
x
=____________________． 22．(0分)[ID ：13670]已知ABC ∆的面积为1，在ABC ∆所在的平面内有两点P ,Q ，满足
0,PA PC QA QB QC BC +=++=，则四边形BCPQ 的面积为____________.
23．(0分)[ID ：13658]ABC ∆的三个顶点坐标分别为()1,2A -，()3,1B -，()5,3C -，
D 是BC 上一点，若1
4
ABD ABC S S ∆∆=
，则D 的坐标为________. 24．(0分)[ID ：13646]已知点()01A ，，()13B ，，()C x y ，，若以AB ，AC 为邻边的平
行四边形的面积为2，则y 关于x 的函数解析式为________________．
25．(0分)[ID ：13629]设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若
FA FB FC 0++=，则FA FB FC ++=______． 三、解答题
26．(0分)[ID ：13813]某同学用“五点法”画函数π
()sin()(0,)2
f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π
(
,0)12
，求θ的最小值． 27．(0分)[ID ：13798]已知()2,1OP =，()1,7OA =，()5,1OB =，OC tOP =（其中O 为坐标原点）
（1）求使CA CB ⋅取得最小值时的OC ； （2）对（1）中求出的点C ，求cos ACB ∠．
28．(0分)[ID ：13809]已知函数()Asin()f x x ωϕ=+（A ＞0，ω＞0，ϕ＜π）的一段图象如图所示．
（1）求函数()f x 的单调增区间； （2）若3[8
x π∈-
，]4π
，求函数()f x 的值域． 29．(0分)[ID ：13806]已知函数4
4
()cos 2sin cos sin f x x x x x =--. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的最小值以及取得最小值是x 的值. 30．(0分)[ID ：13800]已知2,1a b ==，且向量a 、b 不平行，且
()27,c ta b d a tb t R =+=+∈.
（1）若2e =，且0a b e ++=，求向量a 在b 方向上的投影； （2）若3a b -=，且向量c 与d 夹角为钝角，求t 的取值范围.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 2．A 3．D 4．A 5．B
6．B
7．A
8．A
9．A
10．A
11．A
12．D
13．D
14．B
15．A
二、填空题
16．【解析】试题分析：由于所以解得考点：向量共线坐标表示的应用
17．2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=2
18．【解析】条件变为两式平方相加可推得结论
19．【解析】【分析】设把化简为考虑的几何意义即的最小值就是点到直线的距离由此可得结论【详解】设则因为所以点在直线上所以的最小值就是点到直线的距离因为的最大值为所以圆心到直线的距离为所以故答案为：【点睛】
20．【解析】【分析】根据定比分点公式求出点的坐标利用投影公式求出投影即可【详解】由题：点分向量的比是即设即即解得：所以向量在向量方向上的投影是故答案为：【点睛】此题考查求定比分点坐标求向量投影熟练掌握公
21．【解析】试题分析：考点：两角和的正切公式与正切的二倍角公式
22．【解析】【分析】根据可判断出的位置并作出图形然后根据三角形的面积公式可求解出即可求解出四边形BCPQ的面积【详解】因为所以是线段的中点又因为所以所以所以是上靠近的一个三等分点作出图示如下图：因为所以
23．【解析】【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比可得再得到设出的坐标代入可解得【详解】因为又因为所以所以所以所以设所以所以所以且解得且所以的坐标为故答案为:【点睛】本题考查了向量共线的坐
24．或【解析】【分析】求得然后求得进而求得利用平行四边形的面积列方程化简后求得关于的函数解析式【详解】依题意所以由于所以所以为邻边的平行四边形的面积化简得所以或故答案为：或【点睛】本小题主要考查平面向量
25．6【解析】【分析】由题意可得焦点F （02）准线为y ＝﹣2由条件可得F 是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p ＝4焦点F （02）准线为y ＝﹣2由于故F 是三角形ABC 的重心设AB
三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据平方运算可求得12
a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】
由题意可知：2
22
2324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12
a b ⋅=
1cos ,422
a b a b a b
⋅∴<>=
=
=
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
πcos 3α⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
sin （ππ23α--）结合诱导公式求解即可
【详解】
π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3α⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
sin （ππ23α--）π4sin 65α⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，
故选A ． 【点睛】
本题考查诱导公式及角的变换，是基础题
3．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
()
22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12
x π
=
时,sin(2)sin
16
3
x π
π
+=≠±,∴f (x )不关于直线12
x π
=
对称；
当512x π
=
时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(
,1)12
π对称； f (x )得周期22
T π
π==， 当(,0)3
x π
∈-
时,2(,)6
26x π
ππ
+
∈-
,∴f (x )在(,0)3
π
-上是增函数． 本题选择D 选项.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】
由题意知，()sin f x x ω=的周期232(
)44
T ω
π
ππ
=
=-=π，得2ω=．故选A ．
【点睛】
本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．
5．B
解析：B 【解析】
∵向量()2,a x =-，()
1,3b =， ∴(3,3)a b x -=-- ∵()
a b b -⊥
∴()0a b b -⋅=，即310x -⨯+-=
∴x =故选B
6．B
解析：B 【解析】
试题分析：由图象知1A =，
74123T T πππ=-⇒=，22ππωω
=⇒=，7(
)112f π=-7322122k ππϕπ⇒⋅+=+，2πϕ<，得3
π
ϕ=，所以()sin(2)3
f x x π
=+，为了得到()sin 2g x x =的图象，所以只需将()f x 的图象向右平移
6
π
个长度单位即可，故选D ． 考点：三角函数图象. 7．A
解析：A 【解析】
函数5()cos sin()sin ()236g x x x x π
ππ⎡
⎤==+
=-+⎢⎥⎣⎦
，所以将函数()f x 的图象向左平移56
π
个单位时，可得到()cos g x x =的图象，选A. 8．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得
2cos(
2)cos(2)cos[2()]336a a a πππ+=--=--2[12sin ()]6a π
=---，即可求解． 【详解】 由题意，可得22cos(
2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336
a a a a πππππ+=--+=--=-- 27
[12sin ()]69
a π=---=-，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】 先根据||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，确定||||
AB AC
AB AC +的
方向
与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||
AB AC
OP OA AP AB AC λ-==+，可得答案． 【详解】
||AB AB 、||
AC
AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量 ∴
||||AB AC AB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致 又
(
)
||||
AB AC
OP OA AB AC λ=++， ∴(
)||||
AB AC
OP OA AP AB AC λ-==+ ∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致 ∴一定通过ABC ∆的内心
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．
10．A
解析：A 【解析】
以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t
，(0,)C t ，
10)4(0,1)(1,4)AP =+=（，，即14)P （，，所以1
14)PB t
=--（，，14)PC t =--（，，因
此PB PC ⋅
11416t t =--+117(4)t t =-+，因为11
4244t t t t
+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于
13，当1
4t t =，即12
t =时取等号．
考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据所给的条件求出参数,,A ωϕ 的值，然后令3
,8
x π=代入到()f x 即可． 【详解】
由()f x 为奇函数，可知(0)sin 0,f A ϕ== 由ϕπ< 可得0.ϕ= 由()f x 的最小正周期为π可得2,T π
πω
=
= 所以 2.ω= 则()sin 2.f x A x =将()y f x =的图象上所有点的横
坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得()sin .g x A x =的图象，结合已知条件可得
sin 2,44g A ππ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
可得A=2,则()2sin 2.f x x =
所以332sin 2.84f ππ⎛⎫== ⎪
⎝⎭
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象与性质以及图象的变换．
12．D
解析：D 【解析】 试题分析：1
1y x
=
-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.
考点：函数增减性
13．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据()6f A =得到4
A π
∠=，根据cos2cos2B C =得到38
B C π
∠=∠=
，利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】
())264f A A π=-+=
，即sin(2)42
A π-=
. 锐角三角形ABC ，故32,444A π
ππ
⎛⎫
-
∈- ⎪
⎝⎭
，故244A ππ-=，4A π∠=. ()2,20,B C π∈，cos2cos2B C =，故38
B C π
∠=∠=
. 22tan 3tan 2tan 11tan 4
B B B π
=
==--
，故tan 1B =
或tan 1B =（舍去）.
故选：D . 【点睛】
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.
14．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据两个向量的数量积的定义,i OA OB OA OB ⋅=⋅为定值,可得③、④正确,而①、②不一定成立,从而得到答案. 【详解】
解：根据两个向量的数量积的定义,i OA OB OA OB ⋅=⋅为定值,
而||||cos ||=||cos i i i i i OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅⋅=⋅<⋅>∴
<⋅>
,
故①不一定成立,②也不一定成立.
向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影为
||
OA OB OB ⋅,故④正确.
()00,i i i i OA OB OA OB OA OA OB AA OB AA OB ⋅=⋅∴-⋅=∴⋅=⊥,即点i A A 、在一
条直线上，如图,故③正确.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查两个向量的数量积的定义,一个向量在另一个向量上的投影的定义,属于中档题.
15．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据已知条件，利用向量的线性运算以及数量积运算，证得AB AC =，由此证得
ABC ∆是等腰三角形. 【详解】
由()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，得()(
)0CB OB OA OC OA ⎡⎤⋅-+-=⎣
⎦
，
()()0AB AC AB AC -⋅+=，2
2
0AB
AC -=，所以AB AC =，所以ABC ∆是等腰三
角形. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量数量积运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
二、填空题
16．【解析】试题分析：由于所以解得考点：向量共线坐标表示的应用
解析：
【解析】
试题分析：由于//a b ，所以()122169860x y x y k k k -=--=--=，解得34
k =-． 考点：向量共线坐标表示的应用．
17．2【解析】
f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k ∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=2 解析：2
【解析】
f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π
2
f(1)=0⇒cos(ω+π
2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k ∈Z)∵0<2πω
<2∴ω=π
所以ω
φ=2
18．【解析】条件变为两式平方相加可推得结论
解析：12
-
【解析】
条件变为sin sin sin αβγ+=-，cos cos cos αβγ+=-，两式平方相加可推得结论
1cos()=2
αβ--
． 19．【解析】【分析】设把化简为考虑的几何意义即的最小值就是点到直线的距离由此可得结论【详解】设则因为所以点在直线上所以的最小值就是点到直线的距离因为的最大值为所以圆心到直线的距离为所以故答案为：【点睛】
解析：
3
【解析】 【分析】 设AC AB λ=,把()f λ化简为CP ,考虑CP 的几何意义，即()f λ的最小值就是点P 到
直线AB 的距离，由此可得结论.
【详解】
设AC AB λ=,则()=f AP AB AP AC CP λλ=--=, 因为AC AB λ=，所以点C 在直线AB 上，所以()f λ的最小值就是点P 到直线AB 的距
离.
因为m 的最大值为43，所以圆心到直线AB 的距离为13，所以AB =，
故答案为：
3
.
【点睛】
本题主要考查平面向量的应用，明确()f
λ的几何意义及取到最值时的临界状态是求解的
关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
20．【解析】【分析】根据定比分点公式求出点的坐标利用投影公式求出投影即可【详解】由题：点分向量的比是即设即即解得：所以向量在向量方向上的投影是故答案为：【点睛】此题考查求定比分点坐标求向量投影熟练掌握公
解析：【解析】 【分析】
根据定比分点公式求出点P 的坐标，利用投影公式求出投影即可. 【详解】
由题：点P 分向量12
PP 的比是12，即1
21
2
PP PP =， 设()1212,,PP P y P P x =，即()()1
1,17,42x y x y --=--， 即7122122
x x y y ⎧
-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：32x y ==⎧⎨⎩，所以()()13,2,2,1P P P =， 向量1PP 在向量(1,1)a =-
方向上的投影是112
PP a a
⋅-
=
=.
故答案为：2
- 【点睛】
此题考查求定比分点坐标，求向量投影，熟练掌握公式对解题有事半功倍的作用.
21．【解析】试题分析：考点：两角和的正切公式与正切的二倍角公式 解析：
49
【解析】 试题分析：
12tan 1133tan 22tan tan 2141tan 3419x x x x x π⨯
+⎛⎫+=∴=∴=∴=
= ⎪-⎝⎭-1
tan 433tan 294
x x ∴== 考点：两角和的正切公式与正切的二倍角公式
22．【解析】【分析】根据可判断出的位置并作出图形然后根据三角形的面积公式可求解出即可求解出四边形BCPQ 的面积【详解】因为所以是线段的中点又因为所以所以所以是上靠近的一个三等分点作出图示如下图：因为所以
解析：
23
【解析】 【分析】
根据0,PA PC QA QB QC BC +=++=可判断出,P Q 的位置并作出图形，然后根据三角形的面积公式1
sin 2
S bc A =可求解出APQ
S ，即可求解出四边形BCPQ 的面积.
【详解】
因为0PA PC +=，所以P 是线段AC 的中点， 又因为QA QB QC
BC ++=，所以QA QB QC BQ QC ++=+，所以2QA BQ =，
所以Q 是AB 上靠近B 的一个三等分点，作出图示如下图：
因为121111sin sin 232323
APQ
S
AB AC A AB AC A ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 所以12
133
BCPQ S =-=四边形. 故答案为：23
. 【点睛】
本题考查根据向量的线性运算求图形面积，难度一般.对于线段AB ，若存在点P 满足：
()*AP PB N λλ=∈，则P 是AB 的一个()1λ+等分点.
23．【解析】【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比可得再得到设出的坐标代入可解得【详解】因为又因为所以所以所以所以设所以所以所以且解得且所以的坐标为故答案为:【点睛】本题考查了向量共线的坐 解析：()1,0
【解析】 【分析】
根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比,可得
||1||3BD DC =,再得到1
3
BD DC =,设出D 的坐标,代入1
3
BD DC =可解得. 【详解】
因为
||||ABD ABC
S BD S
BC =
,又因为1
4
ABD ABC S S ∆∆=,所以14
ABD ABC
S S =
,
所以
||1||4BD BC =,所以||1
||3
BD DC =, 所以1
3
BD DC =
, 设(,)D a b ,
所以(3,1)BD a b =-+,(5,3)DC a b =---,
所以1
(3,1)(5,3)3a b a b -+=---, 所以13(5)3a a -=--且1
1(3)3
b b +=-,
解得1a =,且0b =, 所以D 的坐标为(1,0). 故答案为:(1,0). 【点睛】
本题考查了向量共线的坐标表示,平面向量基本定理,属于基础题.
24．或【解析】【分析】求得然后求得进而求得利用平行四边形的面积列方程化简后求得关于的函数解析式【详解】依题意所以由于所以所以为邻边的平行四边形的面积化简得所以或故答案为：或【点睛】本小题主要考查平面向量
解析：21y x =-或23y x =+ 【解析】 【分析】
求得,AB AC ，然后求得cos ,AB
AC ，进而求得sin ,AB AC ，利用平行四边形的面积列方程，化简后求得y 关于x 的函数解析式. 【详解】
依题意()()1,2,,1AB AC x y ==-，所以25,AB AC x =
=cos ,AB AC AB AC AB AC ⋅=
⋅=
，由于[],0,πAB AC ∈，所以2sin ,1cos ,1
5AB AC AB AC x =-=
-⎣AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积sin ,2AB AC AB AC ⋅⋅=，化简得()()23210x y x y -+--=，所以21y x =-或23y x =+. 故答案为：21y x =-或23y x =+. 【点睛】
本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查平面向量夹角的计算，考查同角三角函
数的基本关系式，考查平行四边形面积的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
25．6【解析】【分析】由题意可得焦点F （02）准线为y ＝﹣2由条件可得F 是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p ＝4焦点F （02）准线为y ＝﹣2由于故F 是三角形ABC 的重心设AB
解析：6 【解析】 【分析】
由题意可得 焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由条件可得F 是三角形ABC 的重心，可得
2123
3
y y y ++=
， 由抛物线的定义可得 结果． 【详解】
由题意可得 p ＝4，焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由于 0FA FB FC ++=， 故F 是三角形ABC 的重心，设 A 、B 、C 的纵坐标分别为 y 1，y 2，y 3， ∴2123
3
y y y ++=
，∴y 1+y 2+y 3＝6． 由抛物线的定义可得 FA FB FC ++=（y 1+2）+（y 2+2）+（y 3+2）＝12． 故答案为12． 【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到 y 1+y 2+y 3＝6，是解题的关键．
三、解答题 26．
（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6
． 【解析】
（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π
5,2,6
A ωϕ===-
．数据补全如下表：
且函数表达式为()5sin(2)6
f x x =-．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6
g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈． 令π22π6x k θ+-
=，解得ππ212
k x θ=+-，k Z ∈． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π
21212
k θ+-=， 解得ππ23k θ=
-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π
6
． 考点：“五点法”画函数π
()sin()(0,)2
f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．
27．
（1）()4,2OC =；（2）cos 17
ACB ∠=- 【解析】 【分析】
（1）设(2,)OC tOP t t ==，求出CA 和CB 的坐标，代入CA CB 的式子进行运算，再利用二次函数的性质求出CA CB 的最小值．
（2）把CA 和CB 的坐标代入两个向量的夹角公式，求出cos ACB ∠ 的值． 【详解】
（1）由题知()()2,12,OC tOP t t t ===
()12,7CA OA OC t t =-=--，()52,1CB OB OC t t =-=--
所以()()()()()2
125271528CA CB t t t t t ⋅=--+--=-- 当2t =时CA CB ⋅取最小值，此时()4,2OC =； （2）由（1）()3,5CA =-，()1,1CB =-
34CA =2CB =，8CA CB ⋅=-，
所以，cos 34CA CB ACB CA CB
⋅∠==
=⋅ 【点睛】
本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，两个向量共线的性
质，两个向量夹角公式的应用，属于基础题．
28．
（1）函数()f x 的单调增区间为5[8k ππ-+，]8
k π
π-+，k Z ∈；（2）函数()f x 的值域
为[2]. 【解析】 【分析】
（1）由函数的图象，可求得函数的解析式为3
()2sin(2)4
f x x π=+，进而利用三角函数的图象与性质，即可求解函数的单调递增区间；
（2）由3[8x π∈-
，]4π，则32[04x π+∈，
5]4
π
，利用三角函数的性质，即可求解函数的最大值与最小值，得到函数的值域. 【详解】
（1）求得()32sin 24f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
3222242
k x k π
π
πππ-+≤+≤+，k Z ∈ 588
k x k ππ
ππ-
+≤≤-+，k Z ∈ ∴函数()f x 的单调增区间为5[8k ππ-+，]8
k π
π-+，k Z ∈ （2）∵3[8x π∈-，]4
π
∴32[04x π+
∈，5]4
π
∴当4
x π
=
时，()min f x =8
x π
=-
时，()max 2f x =
∴函数()f x 的值域为[2] 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用问题，其中解答中根据函数的图象得出函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重靠考查了推理与运算能力，属于基础题.
29．
(Ⅰ)π；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用倍角公式化简整理函数()f x 的表达式，由周期2T πω=
． （2）先求解52,444x πππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦
，由正弦函数图像求解最值． 【详解】 ：()()()
442222cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x x x x x =--=+--
cos2sin224x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝
⎭ (1)最小正周期为π
(2)由0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当32,,48x x πππ+==即时 ()f x 的最小值
为. ()f x 取最小值时x 的集合为3.8π⎧⎫⎨
⎬⎩⎭ 【点睛】
：三角函数()y Asin φx ω=+在闭区间内[]a,b 上的最值问题的步骤：
（1）换元，令t φx ω=+，其中[]
12t t t ∈，
（2）画出三角函数y Asint =的函数图像．
（3）由图像得出最值． 30．
（1）12-；（2
）17,222⎛⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭. 【解析】
【分析】
（1）根据2e =可求a b ⋅的值 ,从而可求向量a 在b 方向上的投影.
（2）先求出a b ⋅的值，再根据0c d ⋅<且它们不共线可求t 的取值范围.
【详解】
（1）因为0a b e ++=，故e a b =--， 因为2e =，故222
42e a a b b ==+⋅+， 所以12a b ⋅=-，故向量a 在b 方向上的投影为11212a b b -
=-⋅=. （2）因为3a b -=，故22
32a a b b =-⋅+即1a b ⋅=，
因为向量c 与d 夹角为钝角，故0c d ⋅<即()()270ta b a tb +⋅+<，
整理得到221570t t ++<，解得172
t -<<-. 若,c d 共线反向，则存在0s <，使得c sd =，
故27ta b sa stb +=+，因,a b 不共线，故270t s st s =⎧⎪=⎨⎪<⎩
，解得2s =-. 综上，t
的取值范围为17,222⎛
⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】
本题考查平面向量基本定理、向量的数量积及其几何意义，注意两个向量的夹角为钝角时，则它们的数量积为负且不共线反向，本题为易错题且为中档题.。