“有限元法原理及应用”讲义-2012

二、最小总势能原理
一个“系统”是一个结构加上作用与其上的力。 对于保守系统，系统总势能定义为： 总势能 = 应变能 － 已知外力所作的功 为什么是减去“已知外力所作的功”？一种理解就是，把外力在结构变形前构形上的势 能定义为 0，则在任何可能的构形上任何一部分外力的势能就是“0 － 外力所作的功” 。 如何对系统总势能进一步理解？ 系统总势能用符号 p 表示， 它是系统位移的泛函， 对于系统每一个 “可能位移” （场） ， 系统有一个总势能与之对应。它是系统的一个状态函数。 “可能位移”—— 满足内部连续性和位移边界条件的位移场。 举例：对于一个图 1-1 所示，一端受集中力 P，具有刚度 k 的单自由度线性弹簧。
d p kDeq dD PdD 0
2
所以： Deq
P k
该结果与静力学求出的结果相同！ 2、多自由度系统、矩阵形式 如果决定一个系统的构形需要 n 个独立的量， 那么这个系统就具有 n 个自由度， 称为广 义坐标。 对于有限自由度（离散系统）问题，势能 p 是广义坐标的函数。广义坐标记为 Di 。 势能表达式为： p p ( D1 , D2, ..., Dn ) 它的全微分为：
位移是可能的待定参数必须满足一定约束关系因此该问题的独立参量广义坐标只里兹解往往是过刚的除非假定场包含了精确由于前面两点经典里兹法在解决实际问题时尤其是几何形状复杂的二三维问题解决的办法下面以一维直杆的分析为例子研究基于里兹法考虑图21a所示的结构长度改为3l把杆分为三个部分
“有限元法原理及应用”讲义
对于图 1-3 所示的多自由度弹簧系统，其总势能为：
p
1 1 1 2 k 1 D1 k 2 ( D 2 D1 ) 2 k 3 ( D 3 D 2 ) 2 P1 D1 P2 D 2 P3 D 3 2 2 2
图 1-3 多自由 0 得到下列方程组： D
k1 D1 k 2 ( D2 D1 ) P1 0 k 2 ( D2 D1 ) k 3 ( D3 D2 ) P2 0 k 3 ( D3 D2 ) P3 0
3
该方程写成矩阵形式 K D R ，就是：
1
第一章
一、概述
引 论
本课程涉及连续介质力学问题的有限元法。 以弹性力学有限元法引入有限元位移法的基 本理论和基本方法。 弹性力学问题的有限元法中， 除了离散化和分片插值思想外， 基础是弹性力学的变分原 理（最小势能原理）和变分解法（Rayleigh-Ritz 法） 。 瑞利-里兹法是一个将连续场问题简化为有限自由度问题的近似解法。在连续体力学问 题中应用的最常用形式是结合位移和势能表达式 （势能泛函） 的求解， 前提是最小势能原理。 因此，首先研究弹性系统的势能表达式。
图 1-1 单自由度弹簧系统
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该系统 p 的表达式如下：
p
1 kD 2 PD 2
D 为弹簧伸长（可能位移） 。 此时，势能是位移的二次函数。 p 与 D 之间的函数关系曲线如图 1-2 所示。 注意：对弹性梁、板壳、一般弹性 体等结构（无限自由度问题） ，势能 泛函的表达式包含关于位移函数的 积分式（构造过程中，将用到几何 方程和应力-应变关系） 。 对于一个给定的系统，其真实 位移是确定的，必是“可能位移” 中的一个。如何确定这个真实位 移？ 最小总势能原理： 一个弹性系统的所有可能位移中， 满足平衡方程的位移 （真实位移） 使总势能取最小值。 也就是说，弹性力学中平衡问题的正确解（位移） ，其相应的系统总势能为一切满足 位移边界条件和连续条件的位移中的最小者。 理论上可以证明，对于弹性结构， “可能位移”满足势能驻值条件（最小势能原理） 与满足力平衡条件是等价的。 讨论： 1、利用图 1-1、图 1-2 对最小势能原理进行理解。 设平衡状态的位移为 Deq ，根据上述分析， Deq 由“ p 取最小值”这一条件来确定： 在 Deq 附近， D 发生微小变化，而 p 几乎不变（一阶变分为 0） ，在图 1-2 中这一点显 然是 p 的最小值点。 驻值条件用数学语言描述如下（用微分代替变分） ： 图 1-2 单自由度弹簧系统总势能曲线
顾克秋 编
南京理工大学 2012 年 9 月
目
录
第一章 引 论 ................................................................................................................................1 一、概述...................................................................................................................................1 二、最小总势能原理 ...............................................................................................................1 三、瑞利-里兹法 .....................................................................................................................4 第二章 弹性力学有限元法基本原理（一） .................................................................................7 第一节 里兹法的有限元形式 ...............................................................................................7 第二节 常应变三角形单元的有限元格式 .........................................................................11 第三章 弹性力学有限元法基本原理（二） ...............................................................................21 第一节 有限元解的性质和收敛准则 ...................................................................................21 第二节 矩形单元和高精度三角形单元 ...............................................................................24 第三节 轴对称单元的有限元 ...............................................................................................27 第四章 弹性力学有限元法基本原理（三） .............................................................................29 第一节 空间问题的有限元 ...................................................................................................29 第二节 等参单元的概念和原理 ...........................................................................................31 第三节 等参单元中的数值积分 ...........................................................................................35 第五章 有限元法应用专题...........................................................................................................38 第一节 应力计算结果的处理 ...............................................................................................38 第二节 有限元模型内部约束处理 .......................................................................................39 第三节 非协调元和减缩积分等参元的应用 .......................................................................43 第四节 非线性问题建模 .......................................................................................................43 第五节 有限元法应用中的其它问题 ...................................................................................43 第六节 有限元建模与分析的一般原则 ...............................................................................43 第六章 动力学问题的有限元法 ...................................................................................................45 第一节 动力学问题概述 .......................................................................................................45 第二节 动力学问题的有限元方程 .......................................................................................46 第三节 质量矩阵和阻尼矩阵 ...............................................................................................47 第四节 结构自振频率和振型 ...............................................................................................48 第五节 瞬态响应分析 ...........................................................................................................50
p d p dD1 dD2 ... dDn dD D1 D2 Dn D
根据最小势能原理，对任何允许的位移增量 dD，如果 d p 0 则达到平衡。因此平衡条件就是：
p
p
p
T
p 0 ，得到 n 个方程，解出 n 个 Di 值，便得到系统的静力平衡构形。 D