立体几何专题之距离--原创

立体几何中的距离
一、点到平面的距离 1、求法：
（1）定义法：作出点P 在平面α内的射影A ，把PA 放在直角三角形中来求。

（2）转化法：
①转化为P 到斜线PM 的射影MA 的距离（线面距离转化为点线距离） ②在过点P 平行于α平面的直线l 上另找一点Q ，求Q 到α的距离 ③在过点P 平行于α的平面β
（3）等体积法：（常用于三棱锥体中）
2、典型例题
例1、已知正方体1111ABCD A BC D -是棱长为a 的正方体，,M N 分别是11C B ，11D C 的中点
①求1A 到平面BMND 的距离 ②求1B 到平面 CNM 的距离
例2、如图已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直，且1,2OA OB OC ===
E 是OC 的中点，求C 到面ABE 的距离.
例3、如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截面而得到的，
其中14,2,3,1AB BC CC BE ====
求：（Ⅰ）求BF 的长；
（Ⅱ）点C 到平面1AEC F 的距离
例4、在正三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 的边长为a ，侧棱12AA a =，,M N 分别
为11,AA BB 的中点，求：C 到平面MNB 的距离。

配套练习：
1已知矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，PD ⊥面ABCD ，2PD =，Q 为线段PD 的中点.
求点P 到平面ACQ 的距离
2 已知ABCD 是直角梯形，0
90=∠=∠ABC DAB ，
a BC AB ==，a AD 2=，P 是平面ABCD 外一点，
⊥PA 平面ABCD ，且a PA =，求A 到平面PCD 的距离。

3 如图，在长方体1111ABCD A BC D -，中，11
,2AD AA AB ===，E 为AB 的中点，求点E 到面1ACD 的距离。

二、直线到平面的距离（线面距离转化为点到面的距离） 1、求法：在直线上选择合适的点，求该点到异面的距离即可 2、例题讲练
例1、长方体1111ABCD A BC D -中，底面是边长为2的正方形，
高为4，求直线BD 到平面11AB D 的距离.
例2、边长为a 的正方形 ABCD 的中心为O ，且OP ⊥平面ABCD ，P 到AB 的距离为a ，
求直线CD 到平面PAB 的距离。

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配套练习：
1、已知ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别是,AB AD 的中点，CG ⊥ 平面ABCD ，
2CG =，求BD 到平面EFG 的距离
2、底面是正方形的四棱锥A BCDE -中，AE ⊥底面BCDE ，且AE ED a ==，
,G H 分别是,BE ED 的中点，则GH 到平面ABD 的距离是 .
三、平行平面间的距离
1、求法：平行平面间的距离转化为点到平面的距离，再求解。

2、例题讲练
例1、在长方体1111ABCD A BC D -中,14,3,2AB BC CC ===，
求平面11A BC 和平面1ACD 间的距离。

例2、正方体1111ABCD A BC D -中，,,,,AB a M N E F =分别是11111111,,,A B A D B C C D 的中点 ① 求 证：平面//AMN 平面EFDB ② 求平面AMN 与平面EFDB 的距离
1。