广西桂林十八中2020届高三数学第一次月考试题 文 旧人教版【会员独享】

桂林十八中09级高三第一次月考试卷数 学 （文科）
注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间：150分钟 。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。

2、选择题答案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。

3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集R U =，集合{|(2)(1)0}A x x x =+->，}01|{<≤-=x x B ，则)(B C A U 为 （A ）}12|{>-<x x x 或 (B) }02|{≥-<x x x 或
(C) }01|{≥-<x x x 或
(D) }11|{>-<x x x 或
2. 函数()f x =13x - (2x ≤)的反函数是 (A) (1)
3
()log x f x += (3x ≤)
（B ） (1)
3
()log x f x +=
(03x <≤)
(C) 3()log 1x f x =+ (3x ≤) (D) 3()log 1x
f x =+ (03x <≤)
3．已知3(,),sin ,tan()254π
π
απαα∈=+则的值为
(A) 17- (B) 1
7
(C) 7 (D) 7-
4．若R b a ∈,，则21
a
21b >成立的一个充分不必要的条件是
(A) 0b a >> (B) 0a b >> (C) b a < (D) a b <
5. 已知 m 、 n 、 l 为三条不同的直线, α、 β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 (A) // , , //m n m n αβαβ⊂⊂⇒ (B) , //l l βαβα⊥⊥⇒ (C) , //m m n n αα⊥⊥⇒ (D) // , ,l n l n αβαβ⊥⊂⇒⊥
6.已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫
-> ⎪⎝⎭
的x 取值范围是
(A) 2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ (B) 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
(C) 21,,33⎛⎫⎛⎫+∞-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (D) 12,23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
7. 若曲线x x x f -=4
)(在点P 处的切线线03=+y x ，则点P 坐标为
(A) )3,1( (B) )0,1(
(C) )3,1(- (D) )0,1(-
8. 已知()|4||6|f x x x =-++的最小值为n ，则二项式2
(2n
x x
+
展开式中常数项是 (A) 第6项 (B) 第7项 (C) 第8项 (D) 第9项
9. 将函数3)3
2sin(2)(-+=π
x x f 的图像按向量),(n m =平移后关于原点对称，
则向量的一个可能值是 (A) )3,6
(π-
(B) )3,3
(
-π (C) )3,6
(--
π (D) )3,6
(
π
10. 映射:f A B →如果满足集合B 中的任意一个元素在A 中都有原像，则称为满射，已知集合A 中有
5个元素，集合B 中有3个元素，那么集合A 到B 的不同满射的个数为
(A) 243 (B) 240 (C) 150 (D) 72
11. 已知,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =13,AC =8AD =,则
,B C 两点间的球面距离是
(A)
3
π
(B) 43π (C) 23π (D) 53π
12. 已知双曲线1C ：
116
92
2=-y x 的左准线为l ，左右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的准线为l ，焦点为2F ，P 是1C 与2C 的一个交点，则2PF =
(A) 9 (B) 32 (C) 8 (D) 40
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡指定的位置上.
13. 由命题“存在x ∈R ，使2
20x x m ++≤”是假命题，则实数m 的取值范围为 ． 14. 从分别标有数字1，2，3，4的4个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个球，则抽到的
A
B
C
D P
2个球的标号之和大于5的概率等于____________ ．
15、若变量x ，y 满足约束条件22020210x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩
，则22
41z x y y =+++的最小值为 ．
16． 在三棱柱111ABC A B C - 中，已知 1BC =，12BB =，0
30BAC ∠=，0190BCC ∠=，AB ⊥侧面
11BB C C ，则直线1C B 与侧面11ACC A 所成角的正弦值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）
已知：函数2()23cos 2sin 333
x x x
f x =-． （Ⅰ）若[]0,x π∈，求函数()f x 的值域；
（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c 若()1f C =,且2
b a
c =,求sin A 的值．
18. （本小题满分12分）
质检部门将对12个厂家生产的婴幼儿奶粉进行质量抽检，若被抽检厂家的奶粉经检验合格，则该厂家的奶粉即可投放市场；若检验不合格，则该厂家的奶粉将不能投放市场且作废品处理。

假定这12个厂家中只有2个厂家的奶粉存在质量问题（即检验不能合格），但不知道是哪两个厂家的奶粉． （I ）从中任意选取3个厂家的奶粉进行检验，求至少有2个厂家的奶粉检验合格的概率；
（Ⅱ）每次从中任意抽取一个厂家的奶粉进行检验（抽检不重复），求恰好在第二次抽检到合格奶粉的概率．
(19)（本小题满分12分）
在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，
90ADC ∠=，1AB AD PD ===，2CD =．
（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PBD ；
（Ⅱ）设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q BD P --为45．
20.（本小题满分12分）
已知数列}{n a 满足条件：.,12,1*
11N n a a a n n ∈+==+
（Ⅰ）求证：数列}1{+n a 为
（Ⅱ）若(21)(1)n n b n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
21．（本小题满分12分） 设函数x m x x x f )1(3
1)(223
-++-
=． （Ⅰ）当方程()f x =0只有一个实数解时，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若0>m 且当]3,1[m x -∈时，恒有,0)(≤x f 求实数m 的
22.（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左，右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
桂林十八中09级高三第一次月考数学(文科)答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 答案 C D B A D C B D D C B A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13. (1,)+∞ 14. 38 15. 13
4
15
17．（本小题满分10分）
A B C
D P 已知：函数2()23cos 2sin 333
x x x f x =-. （Ⅰ）若[]0,x π∈，求函数()f x 的值域;
（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c 若()1f C =,且2
b a
c =,求sin A 的值.
17. 解：（Ⅰ）()f x =
2223cos 12sin()13336
x x x π
+-=+- …………………3分 ∵x ∈[0，π] , ∴6
π≤236x π+≤
56π
∴12≤2sin()36
x π+≤1 ∴()f x 的值域为[0，1] ……………………5分 （Ⅱ）()f C =2sin 2()1136C π+-= ∴2sin()136
C π
+=
而∠C ∈（0，π）， ∴∠C ＝2
π
.......……………7分
在Rt △ABC 中，∵2222
,b ac c a b ==+
∴2
2
c a ac =+⇒2()10a a
c c
+-= 解得15a c -±=
∵0sin 1A << ,∴51
sin a A c -==…………………..…………10分
18. （本小题满分12分）
质检部门将对12个厂家生产的婴幼儿奶粉进行质量抽检，若被抽检厂家的奶粉经检验合格，则该厂家的奶粉即可投放市场；若检验不合格，则该厂家的奶粉将不能投放市场且作废品处理。

假定这12个厂家中只有2个厂家的奶粉存在质量问题（即检验不能合格），但不知道是哪两个厂家的奶粉。

（I ）从中任意选取3个厂家的奶粉进行检验，求至少有2个厂家的奶粉检验合格的概率； （Ⅱ）每次从中任意抽取一个厂家的奶粉进行检验（抽检不重复），求恰好在第二次抽检到合格奶粉的概率。

解：（I ）任意选取3个厂家进行抽检，至少有2个厂家的奶粉检验合格有两种情形；一是选取抽检的3
个厂家中，恰有2个厂家的奶粉合格，此时的概率为21
10213
129
22
C C P C == 2分
二是选取抽检的3个厂家的奶粉均合格，此时的概率为310231212
22
C P C == …………4分
故所求的概率为12
2122
P P P =+= …………6分 （Ⅱ）记A 恰好在第二次抽检到合格奶粉的事件。

则211
()121166
P A =⨯= …………12分
19.（本小题满分12分）
在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=，1AB AD PD ===，2CD =.
（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PBD ；
（Ⅱ）设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q BD P --为45.
19解：（Ⅰ）平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，
所以PD ⊥平面ABCD ，………1分
所以PD AD ⊥, .….…. .….….…. .….…. .….……………2分
如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -.
则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1).A B C P ………3分
(1,1,0)DB =，(1,1,0)BC =-，
所以0BC DB ⋅=，BC DB ⊥，……………4分
又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD BC ⊥，所以BC ⊥平面PBD …………….……………6分
（Ⅱ）平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-， ……….………………………………………7分
(0,2,1)PC =-，PQ PC λ=，(0,1)λ∈
所以(0,2,1)Q λλ-， ………………………….…………………………………………………8分
设平面QBD 的法向量为(,,)a b c n =，(1,1,0)DB =，(0,2,1)DQ λλ=-， 由0DB ⋅=n ，0DQ ⋅=n ，得
所以，02(1)0
a b b c λλ+=⎧⎨+-=⎩，…………………….………………………………………….……9分
所以2(1,1,)1
λλ--n =，……………………………………………………………………….…10分 所以22cos 45222()
1
BC BC
λλ⋅===
+-n n 分 注意到(0,1)λ∈，得21λ=. ………………………………..………….………………12分
20.（本小题满分12分）
已知数列}{n a 满足条件：.,12,1*
11N n a a a n n ∈+==+
（Ⅰ）求证：数列}1{+n a 为
（Ⅱ）若(21)(1)n n b n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
20．解:（Ⅰ）证明：由题意得11222(1)n n n a a a ++=+=+，
A
B C P
y
x
z
Q
……3分
又1120a +=≠． … …………4分
所以数列{1}n a +是以2为首项，2为公比的． ……………5分
（Ⅱ）解：由⑴知21n
n a =-， ……………7分
故(21)2n
n b n =-
123.....n n T b b b b =++++= 23123252......(21)2n n =⋅+⋅+⋅++-
2n T =2341123252......(21)2n n +⋅+⋅+⋅++- ……… ……………8分
错位相减得n T -=2
3
4
1
2222222......22(21)2n
n n ++⋅+⋅+⋅++⋅-- …………………9分
12(12)22(21)212n n n +⎡⎤
-=---⎢⎥
-⎣⎦
1
(32)26n n +=--
……11分
从而得n T =1
(23)26n n +-+ ……………12分
21．（本小题满分12分） 设函数x m x x x f )1(3
1)(223
-++-
=. （Ⅰ）当方程()f x =0只有一个实数解时，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若0>m 且当]3,1[m x -∈时，恒有,0)(≤x f 求实数m 的 21．解：（Ⅰ）()()()32222111133f x x x m x x x x m ⎛⎫
=-
++-=-++- ⎪⎝⎭
w 。

w-w*k&s%5￥u 方程()0f x =只有一个实数解，()22
1103
x x m ∴-++-=没有实数解. …………2分
()24113m ∴∆=+-<0，解得11
22
m -<<.
所以，当方程()0f x =只有一个实数解时，是⎪⎭
⎫
⎝⎛-21,21 …………………4分
（Ⅱ）由()()()11122
2-+---=-++-='m x m x m x x x f ……………………………………5分 因为m m m ->+>11,0所以
)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内单调递减，高w 在)1,1(m m +-内单调递增. .………7分
①当31m <+，即2m >时，()x f 在区间[]3,1m -上是增函数，()()3332
max -==m f x f
22330m m >⎧∴⎨-≤⎩ 无解. ………………9分
②当31≤+m ，即20≤<m 时，()x f 在区间[]m m +-1,1上，在),1(+∞+m 上是减函数，
()=∴max x f )1(m f +=3
1
3223-+m m
⎪⎩⎪
⎨⎧≤-+≤<∴.0313
2,
202
3m m m
解得210≤<m ………………11分 综上所述，m 的取值范围为⎥⎦
⎤
⎝⎛21,0 ………………12分
22.（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1. (I) 求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左，右顶点），且以AB 为直径的
圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.
22. 解： (I) 22
1.4
3x y ∴
+= ………………4分 (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22
14
3y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， ………………5分
22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.
212122284(3)
,.3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++
………………6分
2222
121212122
3(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k
-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ⋅=-， ………………7分
12
12122
y y x x ∴
⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222
3(4)4(3)1640343434m k m mk
k k k --+++=+++， 22
71640m mk k ++=， ………………9分 解得1222,7
k m k m =-=-
，且满足22
340k m +->. ……………10分
当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； ……………11分
当27k m =-
时，2:()7l y k x =-，直线过定点2
(,0).7
综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2
(,0).7
……………12分。