华师版九年级数学下教案 实践与探索+
华师大版数学九年级下册26.3《实践与探索(1)》参考教案
《实践与探索（1）》参考教案【教学目标】1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系；2．使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识；3．进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
【重点难点】重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。
难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．【教学过程】一、引言在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。
本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。
二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。
连喷头在内，柱高为0.8m。
水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图26.3.1(1)所示。
根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是25 24y x x=-++。
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图26.3.2(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。
这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?教学要点1．教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度。
在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标。
因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标。
问题3：画出函数23 4y x x=--的图象，根据图象回答下列问题。
(1)图象与x轴交点的坐标是什么；(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程230 4x x--=有什么关系?(3)你能从中得到什么启发?教学要点1．先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－的图象。
华师大版九年级数学下册第26章26.3 实践与探索(二) 教案
华师大版九年级数学下册第 26 章
解：（1）∵点 A（﹣1，0）在抛物线 y= x2+bx﹣2 上，
∴b=﹣
， [来^源@:&%中~教网]
∴抛物线解析式 y= x2﹣ x﹣2，
∵抛物线 y= x2﹣ x﹣2= （x﹣ ）2﹣ ，
∴顶点 D 的坐标（ ，﹣
）； [来#源:~&中教网@%]
（2）当 x=0 时，y=﹣2，∴C（0，﹣2）
∴OC=2，
当 y=0 时，0= x2﹣ x﹣2， 解得：x=4 或﹣1， ∴B（4，0）， ∴OB=4， 由抛物线的性质可知：点 A 和 B 是对称点， ∴AM=BM， ∴AM+CM=BM+CM≥BC=2 ． ∴CM+AM 的最小值是 2 ． （四）练习：课本 P28 练习第 1、2 题。 三、小结
华师大版九年级数学下册第 26 章
实践与探索（二）
教学目标：
1、掌握求二次函数与坐标轴交点坐标的方法； 2、理解二次函数与一元二次方程和不等式之间的关系；
教学重难点：
重点：掌握求二次函数与坐标轴交点坐标的方法； [来源:zz%ste*&p.co#m~]
难点：理解二次函数与一元二次方程和不等式之间的关系；
解：（1）令 y=0，则
4，
解得：
x1
3 2
,
x2
1 2
所以，图象与 x 轴的交点坐标为（1.5，0），（-0.5，0）.
x2 x 3 0
（2）当 x 取 1.5 或-0.5 时，y＝0；这里 x 的取值就是方程
4 的根。
（3）抛物线与 x 轴交点横坐标实际上就是方程 ax2 bx c 0 的根。
（二）学习试一试 [来源:中%@国教育~出&版网#]
华师大版九年级数学下册教案：26.3 实践与探索
26．3 实践与探索 第1课时 二次函数的应用教学目标一、基本目标会运用二次函数的图象与性质解决生活中的实际问题，培养分析和解决问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】利用二次函数解决实际问题的步骤． 【教学难点】读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P26～P27的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＞0，当x ＝－b2a 时，函数值y 有最小值，其值为4ac －b 24a ；若a ＜0，当x ＝－b 2a 时，函数值y 有最大值，其值为4ac －b 24a.2．建立二次函数模型，解决实际问题的一般步骤： (1)根据题意建立适当的平面直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出所求函数的解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析判断并进行相关的计算． 3．常见的二次函数模型：直观图象式：直接由物体运动的轨迹，如喷出的水流、涵洞等建立数学模型解决问题． 情景应用式：根据实际问题创设情景，由所提供的条件建立数学模型解决问题． 几何综合式：与几何知识结合并运用其性质建立数学模型解决问题． 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A 处安装一个喷头向外喷水．柱子在水面以上部分的高度为1.25 m ，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路径落下，如图1所示．根据设计图纸已知：在图2所示的平面直角坐标系中，水流喷出的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54.(1)喷出的水流距水面的最大高度是多少？(2)如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？【互动探索】(引发学生思考)在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点(最大高度)、与x 轴、y 轴的交点，解答题目的问题．【解答】(1)∵y ＝－x 2＋2x ＋54＝－(x －1)2＋2.25，∴顶点是(1,2.25)，故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米． (2)解方程－x 2＋2x ＋54＝0，得x 1＝－12，x 2＝52，∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，0， ∴OB ＝52.故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外． 【互动总结】(学生总结，老师点评)这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，利用抛物线的性质即可解决问题．【例2】一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图．现测得当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m?【互动探索】(引发学生思考)根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为y ＝ax 2.根据AB ＝1.6，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4 m ，那么B 点坐标应该是(0.8，－2.4)，利用待定系数法即可求出函数的解析式，继而求出点D 的坐标及ED 的长．【解答】设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2(a ＜0)．由题意，得点B 在抛物线上，且B (0.8，－2.4)， 将B (0.8，－2.4)代入y ＝ax 2(a ＜0)， 解得a ＝－154，∴所求函数解析式为y ＝－154x 2.设点D 的坐标为(x ，－0.9)(x >0)， 则有－0.9＝－154x 2，解得x ＝65，故DE 宽度为265＜1，∴涵洞宽ED 不超过1 m.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的实际应用，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？解：球出边线了．【教师点拨】抛物线的解析式为y ＝－245(x －9)2＋5.5.代入C 点的纵坐标0，得x ≈20.12＞18，所以球出边线了．2．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m 加设不锈钢管(如图1)做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图2所示的坐标系进行计算．(1)求该抛物线的函数关系式； (2)计算所需不锈钢管立柱的总长度．图1图2解：(1)y ＝－12x 2＋12. (2)80米．3．如图，一位运动员在距篮下4 m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8 m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？解：(1)抛物线的表达式为y ＝－0.2x 2＋3.5.(2)0.2 m. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】某跳水运动员在进行10 m 跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面1023 m ，入水处距池边的距离为4 m ，同时运动员在距水面高度5 m 或5 m 以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(1)求这条抛物线的函数关系式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335m ，问：此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．【互动探索】(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式．(2)要判断会不会失误，只要看运动员是否在距水面高度5 m 以前完成规定动作，于是只要求运动员在距池边水平距离为335m 时的纵坐标即可．【解答】(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A ，入水点为B ，抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由题意知，O 、B 两点的坐标依次为(0,0)、(2，－10)，且顶点A 的纵坐标为23，∴⎩⎨⎧c ＝0，4ac －b24a ＝23，4a ＋2b ＋c ＝－10.解得⎩⎨⎧ a ＝－256，b ＝103，c ＝0.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－2，c ＝0.∵抛物线对称轴在y 轴右侧，∴－b2a ＞0，∴a ＝－256，b ＝103，c ＝0.∴抛物线的解析式为y ＝－256x 2＋103x .(2)此次试跳会出现失误．理由如下： 由题意知，横坐标为3.6－2＝1.6，即当x ＝1.6时，y ＝⎝⎛⎭⎫－256×⎝⎛⎭⎫852＋103×85＝－163， 此时运动员距水面的高为10－163＝143＜5.因此，此次试跳会出现失误．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题时，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的关系教学目标一、基本目标1．经历探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系的过程，体会二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．2．理解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝h 的根就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与直线y ＝h (h 是实数)交点的横坐标．二、重难点目标 【教学重点】二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系．【教学难点】用图象法解一元二次不等式．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P28的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．3．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？(1)方程x2＋x－2＝0的根是x1＝－2，x2＝1；(2)方程x2－6x＋9＝0的根是x1＝x2＝3；(3)方程x2－x＋1＝0的根的情况是无实根.4．若二次函数的解析式为y＝2x2－4x＋3，则其函数图象与x轴交点的情况是没有交点.5．给出三个二次函数：①y＝x2－3x＋2；②y＝x2－x＋1；③y＝x2－2x＋1.它们的图象分别为(1)观察图象与x轴的交点个数，分别是2个、0个、1个．(2)你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？图象与x轴的交点个数与对应的一元二次方程的根的情况有关．(3)能否利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象寻找方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解？能．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】画出函数y＝x2－x－34的图象，根据图象回答下列问题．(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？(2)当x 取何值时，y ＝0？这里x 的取值与方程x 2－x －34＝0有什么关系？(3)x 取什么值时，函数值y 大于0？x 取什么值时，函数值y 小于0?【互动探索】(引发学生思考)数形结合法：画出函数图象→根据所画图象解决问题． 【解答】函数图象如图所示：(1)图象与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，0、⎝⎛⎭⎫32，0，与y 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－34. (2)当x ＝－12或x ＝32时，y ＝0，x 的取值与方程x 2－x －34＝0的解相同．(3)当x ＜－12或x ＞32时，y ＞0；当－12＜x ＜32时，y ＜0.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题常用数形结合的思想方法：(1)二次函数图象与x 轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．(2)利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x 轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，请你根据图象求出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是x 1＝－3，x 2＝1.2．若二次函数y ＝x 2－2x ＋c 的图象与x 轴没有交点，求c 的取值范围．解：∵二次函数y ＝x 2－2x ＋c 的图象与x 轴没有交点，∴x 2－2x ＋c ＝0的判别式Δ＜0，即b 2－4ac ＝4－4c ＜0，解得c ＞1.3．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的最低点的坐标为(1，－1)，求关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝－1的根．解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的最低点的坐标为(1，－1)，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的顶点是(1，－1)，∴当y ＝－1，即ax 2＋bx ＋c ＝－1时，x 1＝x 2＝1，∴关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝－1的根为x 1＝x 2＝1.4．已知二次函数y ＝2x 2－4x －6.(1)此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图； (2)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)通过观察图象，在x ＞0及当y ≥－6时，试求x 的取值范围．解：(1)∵y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8，∴图象开口向上，对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1，－8)．画出的函数图象如下图所示：(2)∵对称轴x ＝1，图象开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．(3)由图知，点(0，－6)关于x ＝1的对称点为(2，－6)，∴在x ＞0及当y ≥－6时，x 的取值范围为x ≥2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知二次函数y ＝x 2－(a －1)x ＋a －2，其中a 是常数． (1)求证：不论a 为何值，该二次函数的图象与x 轴一定有公共点；(2)当a ＝4时，该二次函数的图象顶点为A ，与x 轴交于B 、D 两点，与y 轴交于点C ，求四边形ABCD 的面积．【互动探索】(1)要证明二次函数的图象与x 轴一定有公共点，可以转化为一元二次方程根的判断方法．(2)由a ＝4→确定A 、B 、C 、D 的坐标→求四边形ABCD 的面积．【解答】(1)证明：令y ＝x 2－(a －1)x ＋a －2＝0. ∵Δ＝[－(a －1)]2－4(a －2)＝(a －3)2≥0， ∴方程x 2－(a －1)x ＋a －2＝0有实数根，∴不论a 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点． (2)由题可知，当a ＝4时，y ＝x 2－3x ＋2. 配方，得y ＝x 2－3x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x －322－14， ∴A ⎝⎛⎭⎫32，－14. 当y ＝0时，x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2. ∴B (1,0)、D (2,0)． 当x ＝0时，y ＝2， ∴C (0,2)，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BDC ＝18＋1＝98.【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断二次函数的图象与x 轴的交点情况，只需要将二次函数转化为一元二次方程，然后判断方程的根的情况即可．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．二次函数与一元二次方程有下列对应关系：0,0根．练习设计请完成本课时对应训练！第3课时利用二次函数的图象求一元二次方程的根教学目标一、基本目标1．掌握方程与函数间的转化．2．掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．二、重难点目标【教学重点】能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．【教学难点】用图象法求解一元二次方程．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P29的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，这样求出的根是准确值吗？由于作图或观察可能存在误差，由二次函数的图象求得一元二次方程的根，一般是近似值．2．根据二次函数的图象求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的近似解的方法：(1)直接作出函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根；(2)先将方程ax2＋bx＋c＝0变形为ax2＋bx＝－c，再分别作抛物线y1＝ax2＋bx和直线y2＝－c ，则两图象交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根；(3)先将方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为ax 2＝－bx －c ，再分别作出抛物线y 1＝ax 2和直线y 2＝－bx －c ，则两图象交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．3．在难以读出交点的坐标时，我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的近似根．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】利用函数的图象，求下列方程的解： (1)x 2＋2x －3＝0； (2)2x 2－5x ＋2＝0.【互动探索】(引发学生思考)将一元二次方程转化为两个函数→利用图象法求交点坐标即可．【解答】(1)在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝－2x ＋3的图象， 得到它们的交点(－3,9)、(1,1)，如图1， 则方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.(2)先把方程2x 2－5x ＋2＝0化为x 2－52x ＋1＝0，然后在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝52x －1的图象，如图2，得到它们的交点⎝⎛⎭⎫12，14、(2,4)，则方程2x 2－5x ＋2＝0的解为x 1＝12，x 2＝2.【互动总结】(学生总结，老师点评)一般地，求一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的近似解时，可先将方程ax 2＋bx ＋c ＝0化为x 2＋b a x ＋c a ＝0，然后分别画出函数y ＝x 2和y ＝－ba x－ca的图象，得出两函数图象的交点，交点的横坐标即为方程的解． 【例2】利用函数的图象，求下列方程组的解： (1)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋32，y ＝x 2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋6，y ＝x 2＋2x . 【互动探索】(引发学生思考)(1)可以通过直接画出函数y ＝－12x ＋32和y ＝x 2的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；(2)也可以同样解决．【解答】(1)在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝－12x ＋32的图象，如图1，得到它们的交点⎝⎛⎭⎫－32，94、(1,1)， 则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋32，y ＝x 2的解为⎩⎨⎧x 1＝－32，y 1＝94，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1. (2)在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2＋2x 和y ＝3x ＋6的图象，如图2，得到它们的交点(－2,0)、(3,15)，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ＋6，y ＝x 2＋2x 的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝15.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据题意分别画出两函数的图象，由函数图象的交点即可得出方程组的解，考查的是用数形结合的方法求方程组的解，解答此题的关键是正确画出函数的图象，找出两图象的交点坐标．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，y 与x 的部分对应值如下：A ．1.2＜x ＜1.3B ．1.3＜x ＜1.4C ．1.4＜x ＜1.5D ．1.5＜x ＜1.62．如图，二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 2＝kx ＋b (k ≠0)的图象交于A (－2,4)、B (8,2)，求能使y 1<y 2成立的x 的取值范围．解：－2＜x ＜8.3．用函数的图象求下列方程的解： (1)x 2－3x ＋2＝0； (2)－x 2－6x －9＝0.解：(1)画图略，方程的解是x 1＝1，x 2＝2. (2)画图略，方程的解是x 1＝x 2＝－3. 4．利用函数的图象求下列方程组的解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋32，y ＝x 2(2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －1，y ＝x 2－x . 解：(1)画图略，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝1.⎩⎨⎧x 2＝32，y 2＝94.(2)画图略，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2＝－1，y 1＝y 2＝2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】利用二次函数的图象估计一元二次方程x 2－2x －1＝0的近似根．(精确到0.1) 【互动探索】利用图象求一元二次方程的近似根．【解答】一元二次方程x 2－2x －1＝0的根是函数y ＝x 2－2x －1与x 轴交点的横坐标． 作出二次函数y ＝x 2－2x －1的图象，如图所示：由图象可知，方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间． 先求－1和0之间的根：当x ＝－0.4时，y ＝－0.04；当x ＝－0.5时，y ＝0.25. 因此，x ＝－0.4是方程的一个近似根． 同理，x ＝2.4是方程的另一个近似根． 综上，x 1≈－0.4，x 2≈2.4.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：(1)画出二次函数的图象；(2)确定抛物线与x 轴的交点的横坐标在哪两个数之间；(3)列表或直接取值代入方程计算，哪一个值能使方程近似成立，则这个值就是方程的近似根．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤： (1)画出二次函数的图象；(2)确定抛物线与x 轴的交点的横坐标在哪两个数之间； (3)列表，在(2)中的两数之间取值，进行估计．2．在列表求近似根时，近似根就出现在对应y 值正负交换的位置，也就是对x 取一系列值，看y对应于哪两个值由负变成正，或由正变成负，此时x的两个对应值之间必有一个近似根．练习设计请完成本课时对应训练！。
(华师大版九年级下) 教案27.3实践与探索(3)
27 . 3 实践与探索（3）教学目标：1、会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．2、会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．重点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 难点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 本节知识点（1）会求出二次函数c bx ax y ++=2与坐标轴的交点坐标；（2）了解二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系． 教学过程给出三个二次函数：（1）232+-=x x y ；（2）12+-=x x y ；（3）122+-=x x y ． 它们的图象分别为观察图象与x 轴的交点个数，分别是 个、 个、 个．你知道图象与x 轴的交点个数与什么有关吗？另外，能否利用二次函数c bx ax y ++=2的图象寻找方程)0(02≠=++a c bx ax ，不等式)0(02≠>++a c bx ax 或)0(02≠<++a c bx ax 的解？[实践与探索]例1．画出函数322--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题．（1）图象与x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？（2）当x 取何值时，y=0？这里x 的取值与方程0322=--x x 有什么关系？（3）x 取什么值时，函数值y 大于0？x 取什么值时，函数值y 小于0？解 图象如图26．3．4，（1）图象与x 轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y 轴的交点坐标为（0，-3）．（2）当x= -1或x=3时，y=0，x 的取值与方程0322=--x x 的解相同．（3）当x ＜-1或x ＞3时，y ＞0；当 -1＜x ＜3时，y ＜0．回顾与反思 （1）二次函数图象与x 轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x 轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．例2．（1）已知抛物线324)1(22-+++=k kx x k y ，当k= 时，抛物线与x 轴相交于两点．（2）已知二次函数232)1(2-++-=a ax x a y 的图象的最低点在x 轴上，则a= ．（3）已知抛物线23)1(2----=k x k x y 与x 轴交于两点A （α，0），B （β，0），且1722=+βα，则k 的值是 ．分析 （1）抛物线324)1(22-+++=k kx x k y 与x 轴相交于两点，相当于方程0324)1(22=-+++k kx x k 有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．（2）二次函数232)1(2-++-=a ax x a y 的图象的最低点在x 轴上，也就是说，方程0232)1(2=-++-a ax x a 的两个实数根相等，即⊿=0．（3）已知抛物线23)1(2----=k x k x y 与x 轴交于两点A （α，0），B （β，0），即α、β是方程023)1(2=----k x k x 的两个根，又由于1722=+βα，以及αββαβα2)(222-+=+，利用根与系数的关系即可得到结果．请同学们完成填空．回顾与反思 二次函数的图象与x 轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．例3．已知二次函数1)2(2++-+-=m x m x y ，（1）试说明：不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点；（2）m 为何值时，这两个交点都在原点的左侧？（3）m 为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y 轴？分析 （1）要说明不论m 取任何实数，二次函数1)2(2++-+-=m x m x y 的图象必与x 轴有两个交点，只要说明方程01)2(2=++-+-m x m x 有两个不相等的实数根，即⊿＞0．（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程01)2(2=++-+-m x m x 有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，②021<+x x ，③021>⋅x x ．综合以上条件，可解得所求m 的值的范围．（3）二次函数的图象的对称轴是y 轴，说明方程01)2(2=++-+-m x m x 有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②021=+x x ．解 （1）⊿=8)1()1(4)2(22+=+⨯-⨯--m m m ，由02≥m ，得082>+m ，所以⊿＞0，即不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点．（2）由0221<-=+m x x ，得2<m ；由0121>--=⋅m x x ，得1-<m ；又由（1），⊿＞0，因此，当1-<m 时，两个交点都在原点的左侧．（3）由0221=-=+m x x ，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y 轴． 探索 第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y 轴，即二次函数1)2(2++-+-=m x m x y 是由函数2x y -=上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题．[当堂课内练习]1．已知二次函数432--=x x y 的图象如图，则方程0432=--x x 的解是 ，不等式0432>--x x 的解集是 ，不等式0432<--x x 的解集是 ．2．抛物线5232--=x x y 与y 轴的交点坐标为 ，与x 轴的交点坐标为 ．3．已知方程05322=--x x 的两根是25，-1，则二次函数5322--=x x y 与x 轴的两个交点间的距离为 ．4．函数132++-=x ax ax y 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的值及交点坐标．[本课课外作业]A 组1．已知二次函数62-+=x x y ，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．（1）方程062=-+x x 的解是什么？（2）x 取什么值时，函数值大于0？x 取什么值时，函数值小于0？2．如果二次函数c x x y +-=62的顶点在x 轴上，求c 的值．3．不论自变量x 取什么数，二次函数m x x y +-=622的函数值总是正值，求m 的取值范围．4．已知二次函数6422--=x x y ，求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；（2）以此函数图象与x 轴、y 轴的交点为顶点的三角形面积；（3）x 为何值时，y ＞0．5．你能否画出适当的函数图象，求方程22+-=x x 的解？B 组6．函数m x mx y 22-+=（m 是常数）的图象与x 轴的交点有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个7．已知二次函数22-++=a ax x y ．（1）说明抛物线22-++=a ax x y 与x 轴有两个不同交点；（2）求这两个交点间的距离（关于a 的表达式）；（3）a 取何值时，两点间的距离最小？课堂小结：教学反思：。
九年级数学下册 26.3 实践与探索(一)教案 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中九年级下册
26.3实践与探索（一）教学内容：课本P26~28教学目标：1、在实际问题中构造二次函数解决实际问题；2、构建二次函数模型；教学重难点：重点：在实际问题中构造二次函数解决实际问题；难点：构建二次函数模型；教学准备：课件教学方法：探究法教学过程一、学习问题11、问题1、某公园建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水。
柱子在水面以上部分的高度为1.25m。
水流在务个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示。
根据设计图纸已知：在图（2）所示平面直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系是25 24y x x=-++。
（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（2）如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？2、探索分析：组织学生讨论，可以给出以下2个讨论题纲。
（1）求最大 高度等 同于求函数的什么值？（2）求最小半径等同于求抛物线的什么点的坐标？2、解决问题解：（1）2524y x x =-++ 2225(2)45(211)49(1)4x x x x x =--+=--+-+=--+ 当x ＝1时，函数有最大值，最大值y ＝2.25.答：喷出的水流距离水平面的最大高度是2.25m 。
（2）令y ＝0，则有25204x x -++=，解得：1215,22x x =-= 所以抛物线与x 轴的交点坐标为（－0.5，0），（2.5，0）。
由于自变量的取值X 围是0≤x ≤2.5,故（-0.5，0）不合题意，应舍去。
答：水池的半径至少为2.5m 。
3、小结：最值问题，可以构造二次函数，利用配方法求之；交点问题，可以构造方程求之。
二、学习问题21、问题2、一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图如所示。
现测得当水面宽AB ＝1.6m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m 。
这时，离开水面1.5m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1m ？2、分析：根据已知条件，要求涵洞的营宽ED ，只要求出FD 的长度即可，即在图所示的平面直角坐标系中，求出点D 的坐标。
华师大版数学九年级下册26.3《实践与探索》教学设计
华师大版数学九年级下册26.3《实践与探索》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级下册26.3《实践与探索》主要介绍了锐角三角函数的概念和应用。
通过本节课的学习，使学生了解锐角三角函数的定义，理解正弦、余弦、正切函数的性质，能够运用锐角三角函数解决实际问题。
教材通过引入直角三角形中的边长和角度的关系，引导学生探究锐角三角函数的定义，从而培养学生的探究能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了锐角三角函数的定义，能够理解正弦、余弦、正切函数的性质。
但是，对于如何运用锐角三角函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.使学生了解锐角三角函数的定义，理解正弦、余弦、正切函数的性质。
2.培养学生探究能力和解决问题的能力。
3.引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
四. 教学重难点1.锐角三角函数的定义。
2.正弦、余弦、正切函数的性质。
3.如何运用锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入直角三角形中的边长和角度的关系，引导学生探究锐角三角函数的定义。
2.案例教学法：通过列举实际问题，引导学生运用锐角三角函数解决问题。
3.小组合作学习：鼓励学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示锐角三角函数的定义和应用。
2.实际问题案例：准备一些实际问题，用于引导学生运用锐角三角函数解决问题。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示直角三角形中的边长和角度的关系，引导学生回顾锐角三角函数的定义。
2.呈现（10分钟）展示锐角三角函数的定义和性质，让学生了解正弦、余弦、正切函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用锐角三角函数解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
初中数学华师大版九年级下册《2631实践与探索》教学设计
华师版数学九年级下册26.3.1 实践与探索教学设计生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，请与同伴共同研究，尝试解决下面的问题。
某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端 "处安装一个喷头向外喷水，柱子在水面以上部分的高度为0.8m，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示。
根据设计图纸已知，所示的平面直角坐标系中，水流喷出的高度ym与水平距离xm之间的函数关系式是（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？怎样将实际问题转化为数学问题呢？)1(5422--=++-=x x xy 答:喷出的水流距水平面的最大高度是1.8米。
（2）如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？注意自变量的实际意义一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示，现测得当水面宽 1.6m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m 。
这时，离开水面1.5m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1m?分析,根据已知条件,要求涵洞的宽ED ，只要求出FD 的长度即可，即在图所示的平面直角坐标系中，求出点D 的横坐标。
因为点D 在涵洞截面的抛物线上,又由已知条件可得到点D 的纵坐标,所以利用抛物线所对应的函数表达式可以进一步算出点D 的横坐标。
你会求吗？课堂练习某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由。
.中考链接一名男生推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是铅球运行路线如图.(1)求铅球推出的水平距离；(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4 m.。
华师大版数学九年级下册《26.3 实践与探索》教学设计2
华师大版数学九年级下册《26.3 实践与探索》教学设计2一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.3 实践与探索》主要介绍了利用函数解决实际问题，通过本节课的学习，使学生能够掌握利用函数解决实际问题的方法和步骤，培养学生的数学应用能力。
本节课的内容与生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和性质，能够理解函数与实际问题之间的关系。
但是，对于如何将实际问题转化为函数问题，以及如何利用函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生将实际问题与函数知识相结合。
三. 教学目标1.理解函数在解决实际问题中的应用，提高学生的数学应用能力。
2.培养学生将实际问题转化为函数问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
四. 教学重难点1.教学重点：函数在解决实际问题中的应用，以及如何将实际问题转化为函数问题。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题与函数知识相结合，利用函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂讨论。
2.案例教学法：分析实际问题，引导学生将其转化为函数问题，培养学生解决问题的能力。
3.小组合作学习：分组讨论，相互交流，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例，用于教学过程中的呈现和讨论。
2.准备PPT课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过生活实例引入课题，例如：某商场举行打折活动，原价100元的商品打8折，求打折后的价格。
让学生思考如何用数学知识解决这个问题。
2.呈现（10分钟）呈现一系列实际问题，引导学生将其转化为函数问题。
例如：（1）某商品的原价为a元，现进行n折优惠，求优惠后的价格。
（2）一辆汽车从出发点出发，以b米/秒的速度行驶，经过t秒后，求汽车行驶的距离。
华师大版数学九年级下册《26.3 实践与探索》教学设计
华师大版数学九年级下册《26.3 实践与探索》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.3 实践与探索》主要包括了锐角三角函数的概念、定义以及应用。
通过本节课的学习，使学生理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数的定义及性质，并能应用于实际问题中。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了锐角三角函数的概念，并对锐角三角函数有一定的了解。
但在实际应用中，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数的定义及性质；2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，探索锐角三角函数的性质；3.情感态度与价值观：培养学生的探究精神，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念、定义及性质；2.难点：如何将理论知识应用于实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，引导学生探究锐角三角函数的性质；2.启发式教学法：引导学生主动思考、发现问题、解决问题；3.小组合作学习：鼓励学生互相讨论、交流，提高合作能力。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题，以便于学生在课堂上进行实践操作；2.准备多媒体教学设备，以便于展示问题和解答过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过设置一个实际问题，引发学生对锐角三角函数的思考。
例如：“在建筑设计中，为什么屋顶的斜率要大于45度？”让学生讨论并回答问题，从而引出锐角三角函数的概念。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示，让学生了解锐角三角函数的定义及性质。
引导学生观察、分析、归纳，从而得出结论。
3.操练（10分钟）教师给出相关例题，让学生进行实践操作。
例如：“已知一个直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
”学生独立完成，教师进行讲解和指导。
数学九年级下华东师大版27.3 .4 实践与探索 教案
例1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1）0322=-+x x ；
（2）02522=+-x x ．
分析 上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方
法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只
要事先画好一条抛物线2x y =的图象，再根据待解的方
程，画出相应的直线，交点的
横坐标即为方程的解． 解 （1）在同一直角坐标系中画出
函数2x y =和3
2+-=x y 的图象，
如图26．3．5，
得到它们的交点（-3，9）、
（1，1），
则方程0322=-+x x 的解
为 –3，1．
（2）解题略
例2．利用函数的图象，求下列方程组的解： (1)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22321x y x y ；
（2）⎩⎨⎧+=+=x x y x y 2632． 分析 （1）可以通过直接画
出函数2
321+-=x y 和2x y =的图象，得到它们的
交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．当1≤x ≤2。
5时，S 随x 的增大而增大。
．。
26.3实践与探索-华东师大版九年级数学下册教案
26.3 实践与探索-华东师大版九年级数学下册教案一、背景介绍华东师大版九年级数学下册中的第26章是“实践与探索”。
本章主要介绍一个数学实践团队的经历，并通过实际问题探究并学习数学知识和解决实际问题的方法和技能。
二、学习目标1.了解数学实践的过程和方法；2.学习如何提出符合实际情境的数学问题；3.掌握一些解决实际问题的数学方法和技巧；4.提高数学思维和科学思维能力。
三、教学重点和难点1.教学重点：提出符合实际情境的数学问题，通过探究解决实际问题；2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题。
四、教学过程与方法本节课分为三个部分，分别是引入、知识讲解、探究问题。
1. 引入通过介绍数学实践团队的经历，引出实践和探索的重要性和意义。
2. 知识讲解（1）如何提出符合实际情境的数学问题1.理解实际问题的背景和意义；2.分析实际问题的特点和规律；3.转化实际问题为数学问题。
（2）如何解决实际问题1.确定关键因素和变量；2.建立模型；3.运用数学方法和工具进行求解；4.检验解的合理性和可行性。
3. 探究问题将学生分组，根据实际问题提出符合情境的数学问题，并进行探究和解决。
实际问题：某地公共交通打算购买一批新的公交车辆，车辆可以分为大、中、小三种型号，每种型号的数量可以任意搭配，但要求总数量不少于30辆，总价格不超过2000万元。
选择合适的车型组合方案，使得最终能够达到上述要求，并使得运输能力最大化，即乘客数量最多。
学生探究任务：1.提出符合实际情境的数学问题；2.分析问题；3.建立模型；4.运用数学方法和工具进行求解；5.检验解的合理性和可行性。
五、教学反思本节课通过实际问题引入，让学生将数学知识应用到实际中，提高了学生的学习兴趣和思维能力。
在知识讲解环节，通过分析实际问题，讲解了如何提出符合实际情境的数学问题，以及如何解决实际问题的方法和技巧。
在探究问题环节，让学生组成团队探究问题，锻炼了学生的团队协作和解决问题的能力。
2019秋华师大版九年级数学下册教案：26.3实践与探索
26．3实践与探索第1课时探索抛物线形问题教学目标☞知识与技能会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．☞过程与方法1．通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛应用，发展数学思维．2．在转化、建模中，让学生学会合作、交流．☞情感、态度与价值观1．通过对实际问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学习热情．2．在转化、建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神．重点难点☞重点利用二次函数性质解决实际问题，特别是商品利润及拱桥等问题．☞难点建立二次函数的数学模型．教学过程一、自学导纲求下列的最大值或最小值．(1)y＝2x2－3x＋2；(2)y＝－x2－3x＋4.(2)生活中，我们会遇到与二次函数及其图象有关的问题，奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其他方面的运用吗？二、合作互动例某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成(如图所示)，若设花园的边BC为xm，花园的面积为ym2.(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(2)满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值：若不能，说明理由．(3)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势，并结合题意判断当x取何值时，花园面积最大？最大面积为多少？解答：(1)根据题意，得y＝x·，∴y＝－x2＋20x(0＜x≤15)．(2)不能．理由如下：当y＝200时，即－x2＋20x＝200，∴x2－40x＋400＝0，解得x＝20＞15.∵0＜x≤15，∴此花园的面积不能达到200m2.(3)∵y＝－x2＋20x的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝20，∴当0＜x≤15时，y随x的增大而增大，∴当x＝15时，y有最大值，y最大值＝－×152＋20×15＝187.5，即当x＝15时，花园的面积最大，最大面积为187.5m2.问题1如图(1)，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，柱高为1.25m，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.(1)若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？(精确到0.1m)说明和建议：1．教师引导学生分析题意：这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图(2)，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．2．建立直角坐标系后，引导学生求出二次函数的关系式．让学生思考A点坐标是多少，B点坐标是多少，从而求出关系式．3．在求出函数关系式后，让学生讨论、交流，如何将文字语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求如图(2)C点的横坐标，问题(2)就是求出此时抛物线的函数关系式，求此二次函数的最大值．4．学生解答，教师巡视指导，并让学生板演，最后教师讲评．解：(1)以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C(如图(2))．由题意得，A(0，1.25)，B(1，2.25)，因此，设抛物线为y＝a(x－1)2＋2.25.将A(0，1.25)代入上式，得1.25＝a(0－1)2＋2.25，解得a＝－1.所以，抛物线的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25.当y＝0时，解得x＝－0.5(不合题意，舍去)，x＝2.5，所以C(2.5，0)，即水池的半径至少要2.5m.(2)由于喷出的抛物线形状与(1)相同，可设此抛物线为y＝－(x－h)2＋k.由抛物线过点(0，1.25)和(3.5，0)，可求得h＝－1.6，k＝3.7.所以，水流最大高度应达3.7m.思考：你还有什么方法建立直角坐标系，解答此题？问题2一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m.这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m?说明与建议：1．教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度．在如图所示的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标．因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标．2．让学生完成解答，教师巡视指导．3．教师分析存在的问题，书写解答过程．解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系．这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：y＝ax2(a＜0)．因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝＝0.8(m)，又OC＝2.4m，所以点B的坐标是(0.8，－2.4)．因为点B在抛物线上，将它的坐标代入y＝ax2，得－2.4＝a×0.82，所以a＝－.因此，函数关系式是y＝－x2.因为OF＝OC－CF＝2.4－1.5＝0.9m，设FD＝x1m(x1＞0)，则点D坐标为(x1，－0.9)．因为点D的坐标在抛物线上，将它的坐标代入y＝－x2，得－0.9＝－x21，x1＝±，x1＝－不符合假设，舍去，所以x1＝.ED＝2FD＝2×x1＝2×＝≈×2.449≈0.980(m)．所以涵洞ED是m，不会超过1m.思考：你能归纳出用二次函数解决实际问题的步骤吗？三、反馈训练1．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y＝－x2＋x＋，问此运动员把铅球推出多远？2．青海玉树大地震发生后，我市某工厂A车间接到生产一批帐篷的紧急任务，要求必须在12天(含12天)内完成．已知每顶帐篷的成本价为800元，该车间平时每天能生产帐篷20顶．为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高．这样，第一天生产了22顶，以后每天生产的帐篷都比前一天多2顶．由于机器损耗等原因，当每天生产的帐篷数达到30顶后，每增加1顶帐篷，当天生产的所有帐篷，平均每顶的成本就增加20元．设生产这批帐篷的时间为x天，每天生产的帐篷为y顶．(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(2)若这批帐篷的订购价格为每顶1 200元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区．设该车间每天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出该车间捐款给灾区多少钱？四、导学归纳本节课你学到了什么，还有什么困惑？说明：引导学生从二次函数的建模入手总结．五、作业必做题1．《名师学案》“综合练·能力提升”部分．选做题2．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(1)求这条抛物线的函数关系式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．3．“假日游乐园”中一种新型水上滑梯如图，其中线段PA表示距离水面(x轴)高度为5m的平台(点P在y轴上)．滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为抛物线BCD的顶点，且点B到水面的距离BE ＝2m，点B到y轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离CG＝m，与点B 的水平距离CF＝2m.(1)求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；(2)求二次函数的关系式及其自变量的取值范围；(3)小明从点A滑到水面点D处时，试求他所滑过的水平距离d.课后反思：教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题．第2课时二次函数与一元二次方程、一元二次不等式教学目标☞知识与技能1．知道二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程解的个数之间的关系．2．知道二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解、一元二次不等式的解集．☞过程与方法经历探索函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程，体会方程、不等式与函数之间的联系．☞情感、态度与价值观通过观察二次函数图象与x轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合的思想．重点难点☞重点利用图象法求一元二次方程的近似解一元二次不等式的解集．☞难点进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．教学过程一、自学导纲给出三个二次函数：(1)y＝x2－3x＋2；(2)y＝x2－x＋1；(3)y＝x2－2x＋1.它们的图象分别为：观察图象与x轴的交点个数，分别是________个、________个、________个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？说明：初步感受二次函数与一元二次方程的关系．二、合作互动例已知二次函数y＝x2－6x＋8.(1)求抛物线与x轴的交点坐标；(2)画出二次函数的图象；(3)利用图象求不等式x2－6x＋8＜0的解集．分析：抛物线与x轴的交点横坐标就是方程x2－6x＋8＝0的解，不等式x2－6x＋8＜0的解集就是抛物线上y＜0的点对应的x的范围．解答：(1)令y＝0得x2－6x＋8＝0.解这个方程得x1＝2，x2＝4，所以抛物线与x轴交点为(2，0)，(4，0)；(2)如图所示；(3)从图上看，y＜0时，2＜x＜4，所以不等式x2－6x ＋8＜0的解集为2＜x＜4.问题1画出函数y＝x2－x－的图象，根据图象回答下列问题．(1)图象与x轴交点的坐标是什么；(2)当x取何值时，y＝0；这里x的取值与方程x2－x－＝0有什么关系？(3)你能从中得到什么启发？说明与建议：①先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－的图象．②教师巡视，与学生合作、交流．③教师讲评，并画出函数图象，如图所示．④教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是和.⑤让学生完成(2)的解答．教师巡视指导并讲评．⑥对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－＝0的解．更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系．问题2根据问题1的图象回答下列问题．(1)当x取何值时，y＜0当x取何值时，y＞0?(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题？说明与建议：①引导学生观察图象，这个函数图象在x轴上方的部分上的点，它的纵坐标都为正；在x轴下方的部分上的点，它的纵坐标都为负．②y＞0表示在图象上表示图象在x轴上方的部分点；y＜0表示在图象上表示图象在x轴下方的部分点．③根据分析写出结论：当x＜－或x＞时，y＞0；当－＜x＜时，y＜0.用含x的不等式表示(1)是：解不等式x2－x－＞0，x2－x－＜0.④师生归纳出二次函数与一元二次不等式的关系：不等式ax2＋bx＋c＞0的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的点对应的自变量的取值范围；不等式ax2＋bx＋c ＜0的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴下方的点对应的自变量的取值范围．因此可用画图象法求一元二次不等式的解集．三、反馈训练1．画出函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象回答下列问题．(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？(2)当x取何值时，y＝0；这里x的取值与方程x2－2x－3＝0有什么关系？(3)x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0?2.已知二次函数y＝x2－3x－4的图象如图，则方程x2－3x－4＝0的解是________，不等式x2－3x－4＞0的解集是________，不等式x2－3x－4＜0的解集是________．3．抛物线y＝3x2－2x－5与y轴的交点坐标为________，与x轴的交点坐标为________．4．函数y＝ax2－ax＋3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．四、拓展运用育才中学初三(3)班的学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x2＝x＋3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x2－x－3＝0，画出函数y＝x2－x－3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y＝x2和y＝x＋3的图象，如图所示，认为它们的交点A、B的横坐标－和2就是原方程的解．思考：(1)这两种解法的结果一样吗？(2)小刘解法的理由是什么？让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳．(3)函数y＝x2和y＝bx＋c的图象一定相交于两点吗？你能否举出例子加以说明？(4)函数y＝x2和y＝bx＋c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2＝bx＋c的解吗？(5)如果函数y＝x2和y＝bx＋c图象没有交点，一元二次方程x2＝bx＋c的解怎样？五、导学归纳1．本节课你有什么收获？(1)二次函数与一元二次方程的关系．(2)二次函数与一元二次方程根的情况的关系．(3)二次函数与一元二次不等式解集的关系．(4)怎样用图象法解方程、方程组．2．对本节课，你还有哪些疑惑？六、作业必做题1．已知二次函数y＝x2＋x－6，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．(1)方程x2＋x－6＝0的解是什么？(2)x取什么值时，函数值大于0；x取什么值时，函数值小于0?2．如果二次函数y＝x2－6x＋c的顶点在x轴上，求c的值．选做题3．已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m)．(1)求这两个函数的关系式；(2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标．4．如图所示，二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y2＝kx＋b(k≠0)的图象交于A(－2，4)、B(8，2)．求能使y1＞y2成立的x的取值范围．课后反思：教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系．。
华师大版初中数学初三数学下册《实践与探索》教案及教学反思
华师大版初中数学初三数学下册《实践与探索》教案及教学反思一、前言本文将分享华师大版初中数学初三数学下册《实践与探索》教案及教学反思。
教案内容依据教学大纲和教学进度安排，遵循由易到难，由浅入深的教学原则，充分考虑学生的思维特点和认知水平，旨在提高学生数学思维能力，培养学生的自主学习能力。
二、教学目标本次教学的目标如下：1.学生能够理解向量及其加法、减法等基本概念。
2.学生能够掌握向量的坐标表示法、模长、方向角等概念及其计算方法，并能够在坐标系上画出向量。
3.学生能够掌握向量在直角坐标系中的运算法则，例如向量的数量积、向量的夹角等，并进行实际计算。
4.学生能够应用向量的概念进行物理问题、几何问题等的分析和解决。
三、教学步骤1. 导入利用图片和实物进行示范，让学生感知向量的基本概念，并引发学生对向量的认知。
2. 概念讲解在讲解向量的基本概念中，可以使用数学语言、图片等多种方式进行解释，注重讲解中的关键点，学生听讲的同时需要勾画大体的思维框架，理顺向量之间的概念关系。
3. 计算演练在向量基本概念的掌握之后，需要让学生进行计算演练，通过大量的计算让学生巩固基本计算方法和结论。
4. 拓展实践在基本概念和计算方法掌握之后，进行实际案例分析，让学生通过实践能够更好地理解并应用向量相关概念。
四、教学反思通过以上的教学步骤，一方面，可以通过多种方式来让学生更好地理解向量及其运算法则，同时也可以充分考虑学生的认知特点，达到应知应会的教学效果。
另一方面，在实际教学过程中，还需要注重以下几个方面的问题：1. 学生听课态度的引导由于初中学生的天性和认知水平不同，需要引导学生在听课过程中认真聆听讲解，并适当调动学生的积极性，防止学生在课堂上旁骛他事。
2. 计算方式和语言表述的引导在计算演练和拓展实践的过程中，需要引导学生使用规范、准确的语言来表述自己的想法，同时也需要引导学生掌握正确的计算方法，避免计算过程中出现一些常见的错误。
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26.3 实践与探索（1）
教学目标
【知识与能力】
会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义。
【过程与方法】
经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会转化和数形结合的思想。
【情感态度价值观】
通过用二次函数的知识解决实际问题，体会数学与现实生活的紧密联系，提高学习数学的兴趣，增强应用数学的意识；在转化、建模的过程中，体验解决问题的方法，培养学生合作交流的意识和探索精神。
教学重难点
【教学重点】
探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法。
【教学难点】
如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型。
课前准备
多媒体
教学过程
图26－3－12
(2)步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉，喷泉的形状和抛物线像吗？有关喷泉的问题可以用抛物线知识来
图26－3－13
本节课，请同学们共同探究尝试解决以下几个问题．问题1：如图26－3－14是抛物线形
活动三：开放训练体现应用
解：(1)设t与x之间的函数表达式为：t＝kx＋b，因
为其图象经过(38，4)和(36，8)两点，
(2)设每天的毛利润为w元，每件服装销售的毛利润为
(x－20)元，每天售出(80－2x)件，
则w＝(x－20)(80－2x)＝－2x2＋120x－1600
＝－2(x－30)2＋200，当x＝30时，获得的毛利润最大，
最大毛利润为200元．
例3 如图26－3－20，一位篮球运动员在离篮圈水平
距离4 m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水
平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮
筐内．已知篮圈中心离地面的高度为3.05 m.
(1)建立图中所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函
数表达式；
(2)若该运动员身高 1.8 m，这次跳投时，球在他头顶
上方0.25 m处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？
图26－3－20
解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物
线的函数表达式为y＝ax2＋3.5.
∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入
上式，得 3.05＝a×1.52＋3.5，∴a＝－
1
5
，∴y＝－
1
5
x2＋
3.5.
(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，因为(1)中
求得y＝－
1
5
x2＋3.5，则球出手时，球的高度为h＋1.8＋
激发学生的学习欲望和
兴趣，又让学生切实地
感受到数学就在身边的
亲切感．让学生学会将
获得的知识经验进行类
比迁移，让学生体验数
学的建模思想，增强应。