山西省运城市康杰中学2018届高考数学模拟试题(一)文

康杰中学2017—2018高考数学（文)模拟题（一)
【满分150分，考试时间为120分钟】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}
22,1,0,2,3,|1,A B y y x x A =--==-∈,则A B 中元素的个数是
A.2
B.3
C 。

4
D.5
2．i 是虚数单位，复数()z a i a R =+∈满足i z z 312
-=+，则z = A.2或5 B 。

2或5 C 。

5 D.5 3．设向量a 与b 的夹角为θ，且)1,2(-=a ，)3,2(2=+b a ，则θcos ＝ A 。

35-
B.35
C.55
D.25
5
- 4．已知1tan 2θ=
，则tan 24πθ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
A 。

7 B.7- C 。

1
7
D.17
-
5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵"，已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为 A 。

4
B. 642+
C. 442+
D. 2
6．已知数列{}{},n n a b 满足1n n n b a a +=+，则“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列"的
A 。

充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D 。

即不充分也不必要条件
7．执行如图所示的程序框图，则输出的a = A 。

1 B.1- C 。

4- D.5
2
-
8．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率
为 A ．
4
1 B ．
3
1
C ．
2
1 D ．
2
3 9．设实数,x y 满足约束条件250403100x y x y x y --≤⎧⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎩
，则22z x y =+的最小值为
B 。

10
C 。

8
D 。

5
10．现有一半球形原料,若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为
B
C
11．已知O 为坐标原点,F 是双曲线()22
22:10,0x y a b a b Γ-=>>的左焦点，B A ,分别为Γ的左、右顶点，
P 为Γ上一点，且x PF ⊥轴， 过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴
交于点N ，若2OE ON =,则Γ的离心率为 A 。

3
B 。

2
C 。

32 D 。

4
3
12．已知函数 ()()
2ln x x f x e e x -=++，则使得()()23f x f x >+ 成立的x 的取值范围是 A.()1,3- B 。

()(),33,-∞-+∞ C.()3,3-
D.()
(),13,-∞-+∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数2)(+=x
xe x f ,则曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程（用一般式表示）为 .
14．已知{}n a 是等比数列，5371
,422
a a a =
+=，则7a = . 15．设21,F F 为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点,经过1F 的直线交椭圆C 于B A ,两点，若
AB F 2∆是面积为34的等边三角形,则椭圆C 的方程为 .
16．已知12,x x 是函数()2sin 2cos2f x x x m =+-在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内的两个零点，则()12sin x x += . 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 已知B b A c A b B A a cos 2cos sin cos cos 2
=--.
(I ）求B ;
（II ）若a b 7=，ABC ∆的面积为32，求a 。

18．（12分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD
为菱形,且
AD A AB A 11∠=∠．
（I ）证明：四边形D D BB 11为矩形;
(II ）若︒=∠==60,21BAD A A AB ,⊥C A 1平面D D BB 11，求
四棱柱1111D C B A ABCD -的体积．
19．（12分）某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学,他们的数学成绩x 与物理成绩y 如下表：
数学成绩x 145 130 120 105 100 物理成绩y
110
90
102
78
70
数据表明y 与x 之间有较强的线性关系． (I ）求y 关于x 的线性回归方程;
（II ）该班一名同学的数学成绩为110分，利用(I ）中的回归方程，估计该同学的物理成绩； （III)本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀. 若
该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%,且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人,在答卷页上填写下面2×2列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？
物理优秀
物理不优秀
合计 数学优秀 数学不优秀 合计
60
参考数据：回归直线的系数1
2
1
()()
ˆ.
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
a y bx x x ==--==--∑∑，
22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，2( 6.635)0.01P K ≥=，2
(10.828)0.001P K ≥=
20。

（12分）已知抛物线()2:20C x py p =>，圆22:1O x y +=.
(I ）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上,且A 为C 和圆O 的一个交点，求AF ;
（II ）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点N M ,，求MN 的最小值及相应p 的值。

21.（12分）已知函数x x x f ln )(=
，)12
(ln )(--
=ax
x x x g 。

（I ）求函数)(x f 的最大值；
（II)当10,a e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，函数)],0(()(e x x g y ∈=有最小值，记()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的
值域。

（二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22。

［选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1:4C x y +=，曲线21cos :(sin x C y θ
θθ=+⎧⎨=⎩
为参数）
， 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (I ）求曲线12,C C 的极坐标方程；
（II ）若射线)0(≥=ραθ与曲线12,C C 的公共点分别为,A B ，求OB
OA
的最大值．
23。

［选修4—5:不等式选讲]（10分） 已知函数()()10f x a x x a a =-+->。

（I ）当2a =时，求不等式4)(≤x f 的解集；
（II)如果对于任意实数x ,1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围．
康杰中学2018年数学(文）模拟试题（一）答案
1. B 【解析】当2x =±时，3y =；当1x =-时，0y =;当0x =时，1y =-；当3x =时，8y =，所以
{1,0,3,8}B =-,所以{1,0,3}A B =-,故选B 。

2. C 【解析】因为222()1(21)13z z a i a i a a a i i +=+++=-+++=-,所以
211213
a a a ⎧-+=⎨
+=-⎩，解得2a =-，所以22
|||2|(2)15z i =-+=-+=，故选C 。

3. A 【解析】因为(2)2(4,2)a b a b +-==，所以(2,1)b =，所以
43
cos 5||||55
a b a b θ⋅-+=
==-⨯，故选A 。

4．D 【解析】因为22122tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯
==
=--，所以tan tan 24tan(2)41tan tan 24θθθπ
-π-=π+＝41134713
-=-+
，故选D 。

5。

B 【解析】由三视图知，该几何体是底面为斜边边长为2的等腰直角三角形、高为2的直三棱柱，所以该几何体的表面积为1
22222222622
⨯++⨯
=+故选B 。

6. A 【解析】若数列}{n a 是等差数列，设其公差为1d ，则
1212112)()(d a a a a a a b b n n n n n n n n =-=+-+=-+++++，所以数列}{n b 是等差数列.
若数列}{n b 是等差数列，设其公差为2d ，则221211)()(d a a a a a a b b n n n n n n n n =-=+-+=-+++++,不能推出数列}{n a 是等差数列。

所以数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列"的充分不必要条件,故选A. 7．C 【解析】第一次循环，得1,1,2b a i =-=-=；第二次循环，得5
5,,322
b a i =-=-=；第三次循环，得4,4,4b a i =-=-=，…，以此类推,知该程序框图的周期3，又知当40i =退出循环，此时共循环了39次,所以输出的4a =-，故选C.
8. C 【解析】
9. B 【解析】作出可行域,如图所示,因为22z x y =+表示区域内的点到原点距离的平方，由图知，
1013|10003|2
2
2min
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+⨯=z .故选B 。

10. A 【解析】当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时,所得工件体积与原材料体积之比选项取得最大值，此时设正方体的棱长为a ,则球的半径为2226
(
)2R a a =
+=，所3
3
6146()a π=
⨯，故选A 。

11. A 【解析】易证得MFA ∆∽EOA ∆，则
||||
||||
MF EO FA OA =
，即 ||||||()
||||EO FA EO c a MF OA a
⋅⋅-=
=
；同理MFB ∆∽NOB ∆， ||||||()
||||NO FB NO c a MF OB a
⋅⋅+=
=
，所以||()EO c a a ⋅-||()NO c a a ⋅+=，又2OE ON =，所以2()c a a c -=+，整理,得
3c
a
=，故选A. 12. D 【解析】因为)()ln()()ln()(22x f x e e x e e
x f x x x x
=++=-++=---，所以)(x f 是偶函数，又)
(x f 在)0,(-∞单调递减，在),0(∞+单调递增,所以)2()2(+>x f x f 等价于|3||2|+>x x ，解得1-<x ,或
3>x .故选D 。

13. 02=+-y x 【解析】由题意知1)0(,)(='+='f xe e x f x x ，2)0(=f ，所以曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为:)0(12-⋅=-x y ，即02=+-y x
14. 1【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则依题意，有4126111242a q a q a q ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得12182a q ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩
，所以
63711
218
a a q ==⨯=.
15. 22
196
x y +=【解析】由题意，知2211||||||||||AF BF AB AF BF ===+ ①,又由椭圆的定义知，
21||||
AF AF +＝
21||||2BF BF a
+= ②，联立①②，解得
224||||||3AF BF AB a ===
,112||||3AF BF a ==，所以2F AB S ∆
＝21
||||sin 602
AB AF ︒=，所以3a =
，12||||2
F F AB ==
c =所以222
6b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22196x y +=。

16.
5
【解析】因为(
)2sin 2cos2)f x x x m x m ϕ=+-=+-，其中
(cos ϕϕ=
=
，由函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，
)0x m ϕ+-=在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内有两个根，即函数y m =
与)y x ϕ=+的图象在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内有两个交点，且12,x x 关于直线42x ϕπ=
-对称,所以12x x +＝2ϕπ-
，所以12sin()sin()cos 2x x ϕϕπ+=-==
17. 解：(I ）由已知及正弦定理，得
A C A
B B A A B B cos sin sin sin cos cos sin cos sin 22--= A
C A B B A A cos sin )sin sin cos (cos sin --= A C B A A cos sin )cos(sin -+=
B C A A C C A sin )sin(cos sin cos sin -=+-=--=， 4分
因为0sin ≠B ,所以2
1
cos -
=B ， 5分
又因为π<<B 0，所以3
2π
=
B . 6分 (II ）由余弦定理，可得B ac c a b cos 2222-+=，将2
1
cos ,7-
==
B a b 代入上式，得0622=-+a ac c ，解得a c 2=, 10分
ABC ∆的面积为322
3sin 212===
a B ac S ，解得2=a . 12分
18．(I ）证明：连接AC ，设O BD AC = ;连接O A D A B A 111,,．
∵AD A AB A 11∠=∠，AD AB =，D A B A 11=∴． 2分 又O 为BD 的中点，BD O A BD AO ⊥⊥∴1,．
⊥∴BD 平面11ACC A ，1AA BD ⊥∴．
∵1BB ∥1AA ，1BB BD ⊥∴．
又四边形D D BB 11是平行四边形,则四边形D D BB 11为矩形． 6分
(II)解：由︒=∠==60,21BAD A A AB ,可得2==AB AD ，32=∴AC ． 由BD 平面11ACC A ,可得平面⊥ABCD 平面11ACC A ,且交线为AC ． 过点1A 作AC E A ⊥1，垂足为E ,则⊥E A 1平面ABCD ． 8分 因为⊥C A 1平面D D BB 11,11BB C A ⊥∴，即11AA C A ⊥． 在Rt △C AA 1中，可得221=C A ，3
6
21=E A ． 10分 所以四棱柱1111D C B A ABCD -的体积为243
622322212=⨯⨯⨯⨯⨯
=V ． 12分 19．解：(I ）由题意可知120x =，90y =， 2分 故22222
(145120)(11090)(130120)(9090)(120120)(10290)(105120)(7890)(100120)(7090)
(145120)(130120)(120120)(105120)(100120)
b --+--+--+--+--=
-+-+-+-+- 5000018040010804
0.8625100022540013505
++++=
===++++，
68.012090ˆ-=⨯-=a
，
4分
故回归方程为0.86y x =-． 5分
(II)将110x =代入上述方程，得0.8110682y =⨯-=． 7分 (III ）由题意可知,该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30，36． 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人， 故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人．
于是可以得到22⨯列联表为:
于是2
2
60(2418126)10 6.63530303624
K ⨯⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯， 因此在犯错误概率不超过0。

01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关．12分
20。

解：（I ）由题意，得)0,1(F ，从而y x C 4:2
=。

解方程组⎩⎨⎧=+=1
42
22y x y x ，得25-=A y ，所以15||-=AF . 5分 (II ）设),(00y x M ，则切线l 的方程为000
)(y x x p
x y +-=
， 整理得000=--py py x x 6分 由1||=ON 得
1|
|2
200=+p x py ，所以2
022002||p py p x py +=+=，
整理，得1
22
00-=
y y p 且012
0>-y ， 8分 所以1211||||2
00202022-+=-+=-=y py y x OM MN
8)1(1
42411441142020202020202
0=-⋅-+≥-+-+=-+-=y y y y y y y ， 当且仅当30=y 时等号成立。

所以||MN 的最小值为22，此时31
33
2=-⨯=
p . 12分 21。

解：(I))(x f 的定义域为),0(∞+,2
ln 1)('x x
x f -=。

当),0(e x ∈时，0)('>x f ,)(x f 单调递增；
当),(∞+∈e x 时，0)('<x f ,)(x f 单调递减. 所以当e x =时，)(x f 取得最大值e
e f 1
)(=。

4分 （II ）⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-=a x x x ax x x g ln ln )('，由（I ）及],0(e x ∈得: ①若e a 1=
，
0ln ≤-a x
x
,0)('≤x g ，)(x g 单调递减， 当e x =时，)(x g 的最小值2
)()(e
e g a h -==. 6分
②若⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈e a 1,
0，a f ≤=0)1(，a e e f >=1)(，
所以存在),1[e t ∈,0)('=t g 且at t =ln ，
当),0(t x ∈时，0)('<x g ，)(x g 单调递减；当],(e t x ∈时,0)('>x g ，)(x g 单调递增,所以)(x g 的最小
值)12
ln ()12ln (ln )12(ln )()(-=--=--
==t
t t t t at t t t g a h 。

9分 令t t t t -=2ln )(ϕ，),1[e t ∈。

2
1
ln )('-=t t ϕ, 当∈x ),1(e 时,0)('<t ϕ，所以)(t ϕ在),1[e 单调递减,此时⎥⎦
⎤
⎝⎛--
∈1,2)(e t ϕ，即 ⎥⎦
⎤
⎝⎛--∈1,2)(e a h . 11分
由①②可知，)(a h 的值域是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--
1,2e 。

12分 22．解：（I)曲线1C 的极坐标方程为4)sin (cos =+θθρ，
曲线2C 的普通方程为1)1(2
2
=+-y x ，所以曲线2C 的极坐标方程为θρcos 2=。

4分 （II ）设),(1αρA ，),(2αρB ，因为,A B 是射线αθ=与曲线12,C C 的公共点，所以不妨设2
4
π
απ
≤
<-，
则α
αρsin cos 4
1+=,αρcos 22=， 6分
所以
)sin (cos cos 24
1
||||12αααρρ+⨯==OA OB ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-=++=
1)42cos(241)12sin 2(cos 41πααα， 8分
山西省运城市康杰中学2018届高考数学模拟试题（一）文
11 所以当8πα=时，||||OA OB 取得最大值41
2+. 10分
23．解：（I ）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<+-=-+-=2
,43;21,;
1,43|2||1|2)(x x x x x x x x x f 。

所以，)(x f 在]1,(-∞上递减，在),1[∞+上递增， 又4)38()0(==f f ，故4)(≤x f 的解集为}38
0|{≤≤x x . 4分
（II ）①若1>a ，|1|)1(|||1||1|)1()(--≥-+-+--=x a a x x x a x f 1|1||1||1|)1(|)()1(|-=-≥-+--=---+a a a x a a x x ，
当且仅当1=x 时，取等号，故只需11≥-a ，得2≥a . 6分 ②若1=a ，|1|2)(-=x x f ，10)1(<=f ，不合题意. 7分
③若10<<a ,|)()1(|||)1(|||1|)(a x x a a x a a x a x a x f ---≥--+-+-= ||)1(a x a --+)1(|1|||)1(|1|a a a a a x a a a -=-≥--+-=，
当且仅当a x =时，取等号，故只需1)1(≥-a a ，这与10<<a 矛盾. 9分 综上所述,a 的取值范围是),2[∞+。

10分。