【金牌精品】高考数学(理)一轮复习：10-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课后课时作业
[A组·基础达标练]
1．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法种数为()
A．6 B．13
C．12 D．10
答案 C
解析由分步计数原理可知，走法总数为4×3＝12，故选C.
2．[2016·西安模拟]将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人．要求甲必须在高一年级，乙和丙均不在高三年级，则不同的安排种数为()
A．18 B．15
C．12 D．9
答案 D
解析若甲、乙在高一年级，则丙一定在高二年级，此时不同的安排种数为3种；若甲、丙在高一年级，则乙一定在高二年级，此时不同的安排种数为3种；若甲在高一年级，乙、丙在高二年级，此时不同的安排种数为3种，所以共有9种不同的安排种数．3．如图所示，在A、B间有四个焊接点1、2、3、4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A、B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有()
A．9种B．11种
C．13种D．15种
答案 C
解析按照焊接点脱落的个数进行分类．
若脱落1个，则有(1)，(4)共2种；
若脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)共6种；
若脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)共4种；
若脱落4个，有(1,2,3,4)共1种．
综上共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况．
4．[2016·贵阳模拟]已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各选一个数作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内多少个不同点()
A．18个B．10个
C．16个D．14个
答案 B
解析第三、四象限内点的纵坐标为负值，分2种情况讨论．
①取M中的点作横坐标，取N中的点作纵坐标，
有3×2＝6(种)情况；
②取N中的点作横坐标，取M中的点作纵坐标，
有4×1＝4(种)情况．
综上共有6＋4＝10(种)情况．
5．[2016·泰安模拟]从－2，－1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为()
A．6 B．20
C．100 D．120
答案 A
解析分三步：第一步：c＝0只有1种选法；第二步：确定a，a 只能从－2，－1中选一个，有2种不同的选法；第三步：确定b，b
只能从1,2,3中选一个，有3种不同的选法．根据分步乘法计数原理得1×2×3＝6(种)不同的选法．
6．[2015·宁德模拟]一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735,414等)，那么，这样的三位数共有()
A．240个B．249个
C．285个D．330个
答案 C
解析因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字，
所以当十位数字是0时有9×9种结果，
当十位数字是1时有8×8种结果，
当十位数字是2时有7×7种结果，
当十位数字是3时有6×6种结果，
当十位数字是4时有5×5种结果，
当十位数字是5时有4×4种结果，
当十位数字是6时有3×3种结果，
当十位数字是7时有2×2种结果，
当十位数字是8时有1种结果，
共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝285种结果．
7．设a、b∈{1,2,3}，则方程ax＋by＝0所能表示的不同的直线的条数是________．
答案7
解析要得到直线ax＋by＝0，需要确定a和b的值，当a，b不
同时，可确定3×2＝6条不同的直线，当a，b相同时，可确定1条直线，故方程ax＋by＝0所能表示的不同直线的条数为7条．8．[2016·南宁模拟]将3个不同的小球放入编号分别为1,2,3,4的盒子内，则4号盒子中至少有一个球的放法有________种．答案37
解析根据题意，将3个不同的小球放入编号分别为1,2,3,4的盒子内，有4×4×4＝64(种)放法，而4号盒子中没有球，即3个小球放在1,2,3的盒子里，有3×3×3＝27(种)放法，
所以4号盒子中至少有一个球的放法有64－27＝37(种)．
9．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天，且每天至多安排一人，并要求甲排在另外两位的前面，不同的安排方法共有________种．
答案20
解析按甲的安排进行分类讨论
①甲排周一，则乙、丙排后4天中2天，有4×3＝12(种)；
②甲排周二，则乙、丙排后3天中2天，有3×2＝6(种)；
③甲排周三，则乙、丙排后2天，有2×1＝2(种)．
故共有12＋6＋2＝20(种)．
10．[2016·石家庄模拟]为举办校园文化节，某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为________．(用数字作答) 答案24
解析若参加乐器培训的是女生，则各有1名男生及1名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有3×2×2＝12(种)方案；若参加乐器培训
的是男生，则各有1名男生、1名女生及2名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有2×3×2＝12(种)方案，所以共有24种推荐方案．
[B组·能力提升练]
1．[2016·湖州模拟]如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有()
A．24种B．72种
C．84种D．120种
答案 C
解析如图设四个直角三角形顺次为
A，B，C，D，按A→B→C→D顺序涂色，
下面分两种情况：
(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48(种)．
(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36(种)．共有84种．
2．将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为()
A．4 B．6
C．9 D．12
答案 B
解析如图所示，根据题意，1,2,9三个数字的位置是确定的，余下的数中，5只能在a，c位置，8只能在b，d位置，依(a，b，c，d)顺序，具体有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7,5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合计6种．
3．[2016·天水调研]电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信．甲信箱中有10封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众．若先确定一名幸运
之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果．答案5600
解析由题意知本题是一个分两类计数问题：
①幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有10×9×20＝1800(种)．
②幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×10＝3800(种)．
因此共有不同结果1800＋3800＝5600(种)．
4．一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．
(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡自己使用，共有多少种不同的取法？
(2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，问一共有多少种不同的取法？
解(1)任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事，故应用分类加法计数原理，有10＋12＝22种取法．
(2)从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步乘法计数原理，有10×12＝120种取法．
5．设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？
解(1)利用分类加法计数原理：5＋2＋7＝14(种)不同的选法．
(2)国画有5种不同选法，油画有2种不同的选法，水彩画有7种不同的选法，利用分步乘法计数原理得到5×2×7＝70(种)不同的选法．
(3)选法分三类，分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画，由分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有5×2＋2×7＋5×7＝59(种)不同的选法．。