大学 机械振动 课后习题和答案(1~4章 总汇)

1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。

1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?
1.3 设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —1.3所示，试证明：
1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=
2)它们串联时的总刚度eq k 满足：2
1111k k k eq +=
解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分
别为：
1122P k x
P k x
=⎧⎨=⎩
由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+
故等效刚度为：12eq P
k k k x ==+
2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 1122
P
x k P
x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，弹簧的总变形为：121
2
11
()
x x x P k k =+=+
故等效刚度为：122112
111
eq k k P k x k k k k ===++
1.4 求图所示扭转系统的总刚度。

两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。

解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 1122
t t T
k T k θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
系统的总转角为：
12121
1()t t T k k θθθ=+=+，
12
11
1()eq t t k T k k θ==+
故等效刚度为：12
1
11eq t t k k k =+
1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c
1)在两只减振器并联时，
2)在两只减振器串联时。

解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x ，受力分别为：
1122
P c x P c x =⎧⎨=⎩ 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+
故等效刚度为：12eq P c c c x ==+ 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为：
1122P x c P
x c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，系统的总速度为：121211()x x x P c c =+=+ 故等效刚度为：12
11eq P c x c c ==+
1.6 一简谐运动，振幅为0.5cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。

解：简谐运动的
22
(/)
0.15
n
rad s
T
ππ
ω==，振幅为3
510m
-
⨯；
即：
3
3
322
2
510cos()()
0.15
22
510sin()(/)
0.150.15
22
510()cos()(/)
0.150.15
x t m
x t t m s
x t t m s
π
ππ
ππ
-
-
-
⎧
=⨯
⎪
⎪
⎪
=-⨯⨯
⎨
⎪
⎪
=-⨯⨯
⎪
⎩
所以：
3
max
322 max
2
510(/)
0.15
2
510()(/)
0.15
x m s
x m s
π
π
-
-
⎧
=⨯⨯
⎪⎪
⎨
⎪=⨯⨯
⎪⎩
1.7 一加速度计指示出结构振动频率为82Hz ，并具有最大加速度50g ，求振动的振幅。

解：由 2max n x A ω=⨯可知：
2max max 22222
509.8/9.8(2)(225)1/50n x x m s A m f s ωπππ⨯=
===⨯
1.8 证明：两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动，即：)cos()cos(cos θωϕωω-=-+t C t B t A ，并讨论0=ϕ,2/π，π三种特例。

证明：
cos cos()
cos cos cos sin sin (cos )cos sin sin )
)
cos()
A t
B t A t B t B t A B t B t
t t C t ωωϕωωϕωϕ
ϕωϕωωθωθωθ+-=++=++=-=-=-
其中：sin ()cos B arctg A B C ϕθϕ⎧=⎪+⎨⎪=⎩
1)当0ϕ=时：0;C A B θ==+；
2)当2πϕ=
时：(/);arctg B A C θ==
3)当ϕπ=时：0;C A B θ==-；
1.9 把复数4+5i 表示为指数形式。

解：i 4+5i=Ae θ，其中：A =，5()4
arctg θ=
1.10 证明：一个复向量用i相乘，等于把它旋转2/
π。

证明：
i i
i i22 Ae Ae e Ae
i
ππ
θθθ+
⨯=⨯=
1.11 证明：梯度算子∇是线性微分算子，即
),,(),,()],,(),,([z y x g b z y x f a z y x bg z y x af ∇+∇=+∇
这里，a ,b 是与x 、y 、z 无关的常数。

1.12 求函数t q B t p A t g ωωcos cos )(+=的均方值。

考虑p 与q 之间的如下三种关系：
① np q =，这里n 为正整数；
② p q /为有理数；
③ p q /为无理数。

1.13 汽车悬架减振器机械式常规性能试验台，其结构形式之一如图T —1.13所示。

其激振器为曲柄滑块机构，在导轨下面垂向连接被试减振器。

试分析减振器试验力学的基本规律(位移、速度、加速度、阻尼力)。

图 T —1.13
1.14 汽车悬架减振器机械式常规性能试验台的另一种结构形式如图T —1.14所示。

其激振器采用曲柄滑块连杆机构，曲柄被驱动后，通过连杆垂向带动与滑块连接的被试减振器。

试分析在这种试验台上的减振器试验力学的基本规律，并与前题比较。

图 T—1.14
2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。

设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则： mg k δ=
，即：n ω== 取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为：
δ
⎧+=⎪
=⎨⎪=⎩
00020mx kx x x （参考教材P14）
解得：δω=()2cos n x t t
2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。

设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。

解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=
所以：9.8
7(/)0.2
n g rad s ω=
=
= 取系统的平衡位置为原点，得到： 系统的运动微分方程为：20n x x ω+=
其中，初始条件：(0)0.2
(0)0x x =-⎧⎨=⎩ （参考教材P14）
所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=- 弹簧力为：()()cos ()k n mg
F kx t x t t N ω==
=-
因此：振幅为0.2m 、周期为2()7
s π
、弹簧力最大值为1N 。

2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为
h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。

解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有：
2121
()2T E m m x =+
21
2U kx =
由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++=
即：12/()n k m m ω=+
系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩
2020
122m g x k m x gh m m （能量守恒得：221201
()2
m gh m m x =
+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+
其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩
200
021
12
2n m g
A x k x m g
ghk A k m m
即：ωω=-+212
2()(cos sin )n n m g ghk
x t t t k m m
2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。

解：取圆柱体的转角θ为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0θ=，则当m 有θ转角时，系统有：
2222111
()()222T E I m r I mr θθθ=+=+
21
()2U k r θ=
由()0T d E U +=可知：22()0I mr kr θθ++=
即：22/()n kr I mr ω=+ （rad/s ）
2.5 均质杆长L、重G，用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。

2.6 求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且21312,k k k k ==。

解：取m 的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有：
21
2T E mx =
222
11115226
U kx k x k x =
+= （其中：1212k k k k k =+）
由()0T d E U +=可知：15
03mx k x +=
即：153n k m ω=rad/s ），1
325m
T k π=（s ）
2.7 如图所示，半径为r 的均质圆柱可在半径为R 的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O 为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。

解：设物体重量W ，摆角坐标θ如图所示，逆时针为正，当系统有θ摆角时，则： θθ=--≈-2
()(1cos )()
2
U W R r W R r
设ϕ为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度：
()c R r r υθϕ=-=，即：()
R r r
ϕθ-=
记圆柱体绕瞬时接触点A 的转动惯量为A I ，则：
=+
=+222
12A C W W W I I r r r g g g
ϕθθ-=
==-222221133()()()2224T A W R r W E I r R r g r g
（或者理解为：ϕθ=
+-22211()22T c W
E I R r g ，转动和平动的动能） 由()0T d E U +=可知：θθ-+-=23()()02W
R r W R r g
即：ω=
-23()
n g
R r rad/s ）
2.8 横截面面积为A ，质量为m 的圆柱形浮子静止在比重为γ的液体中。

设从平衡位置压
低距离x (见图)，然后无初速度地释放，若不计阻
尼，求浮子其后的运动。

解：建立如图所示坐标系，系统平衡时0x =，由牛顿第二定律得：
()0mx Ax g γ+=，即：n Ag
m
γω=有初始条件为：{
==00
0x x
x
所以浮子的响应为：()sin()2
Ag
x t x m γπ
=
2.9 求如图所示系统微幅扭振的周期。

图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O 1，O 2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置(半径O 1A 与O 2B 在同一水平线上)，弹簧不受力。

摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为m 1，m 2。

解：两轮的质量分别为12,m m ，因此轮的半径比为： 1
1
2
2
r m r m = 由于两轮无相对滑动，因此其转角比为：
121
212
r r θθθθ== 取系统静平衡时10θ=，则有：
222222111222121111111
()()()22224T E m r m r m m r θθθ=+=+
2221112221211111
()()()()222
U k r k r k k r θθθ=+=+
由()0T d E U +=可知：222121112111
()()02m m r k k r θθ+++=
即：1212
2()
n k k m m ω+=
+rad/s ），+=+121222()m m T k k （s ）
2.10 如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转
动惯量为I ，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P 的物体，绳与轮缘之间无滑动。

在图示位置，由水平弹簧维持平衡。

半径R 与a 均已知，求微振动的周期。

解：取轮的转角θ为坐标，顺时针为正，系统平衡时
0θ=，则当轮子有θ转角时，系统有： θθθ=
+=+2222111()()222T P P E I R I R g g
θ=21
()2
U k a
由()0T d E U +=可知：θθ+
+=22
2()0P I R ka g
即：ω=
+2
2n ka P I R
g
（rad/s ），故 πω+
==2
2
22n P I R g
T ka
（s ）
2.11 弹簧悬挂一质量为m 的物体，自由振动的周期为T ，如果在m 上附加一个质量m 1，则弹簧的静伸长增加l ，求当地的重力加速度。

解：
224T m k T ππ=∴=
1211
4m g k l
k l m l g m T m π=∴==
2.12 用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。

摆锤重P ，(b )与(c )中每个弹簧的弹性系数为k /2。

(1)杆重不计；(2)若杆质量均匀，计入杆重。

解：取系统的摆角θ为坐标，静平衡时0θ= （a ）若不计杆重，系统作微振动，则有： θ=
221()2T P E L g
θθ=-≈
21
(1cos )2
U PgL PgL 由()0T d E U +=可知：θθ+=2
0P L PL g
即：ω=n g
L
rad/s ）
如果考虑杆重，系统作微振动，则有：
θθθ=
+=+2222221111()()()22323
L T L P P m
E L m L L g g
θθθ=-+-≈+2
(1cos )(1cos )()222
L L L P m U PgL m g gL g
由()0T d E U +=可知：θθ+++=2(
)()032
L L P m P m L gL g g
即：ω+=
+(
)2
()3L
n L P m g g P m L g rad/s ）
（b ）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：
θθθ=
+=+2222221111()()()22323
L T L P P m
E L m L L g g
θθ≈++⨯221()()()222222
L P m k L U gL g
即：ω=
n （rad/s ）
（c ）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：
θθθ=
+=+2222221111()()()22323
L T L P P m
E L m L L g g
θθ≈-++⨯221()()()222222
L P m k L U gL g
即：ω=
n （rad/s ）
2.13 求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与x的关系式。

答案：系统的运动微分方程
22
2
a b
mx kx
a
+
+=
2.14 一台电机重470N，转速为1430r／min，固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点，如图所示。

每根槽钢长1.2m，重65.28N，弯曲刚度EI＝1.66 105N·m2。

(a)不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；
(b)设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；
(c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。

2.15 一质量m固定于长L，弯曲刚度为EI，密度为的弹性梁的一端，如图所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。

wL3/(3EI)
2.16 求等截面U 形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为L 。

解：假设U 形管内液柱长l ，截面积为A ，密度为ρ，取系统静平衡时势能为0，左边液面下降x 时，有：
ρ=21
2T E Alx
ρ=⨯⨯⨯U A x g x
由()0T d E U +=可知：ρρ+=20Alx g Ax
即：ω=
2n g l （rad/s ），=2l T g
s ）
2．17 水箱l 与2的水平截面面积分别为A 1、A 2，底部用截面为A 0的细管连接。

求
液面上下振动的固有频率。

解：设液体密度为ρ，取系统静平衡时势能为0，当左边液面下降1x 时，右边液面上升2x ，液体在水箱l 与2和细管中的速度分别为123,,x x x ，则有： 22211133222111
[()][][()]222T E A h x x A L x A h x x ρρρ=-+++
22211132132
[(
)()]2
A A
Ah A L A h x A A ρ
≈
++ （由于：1;h x h -≈2;h x h +≈112233;Ax A x A x ==1122Ax A x =） 1212
x x U Ax g
ρ+=
由()0T d E U +=可知：11111232
[(1)()](1)0A A A
h L x g x A A A +
+++=
即：1
2
1123
(1)(1)()
n A g A A A
h L A A ω+
=
++（rad/s ）
2.18 如图所示，一个重W 、面积为A 的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液体中振动。

设T 1、T 2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。

试证明：
22222
12T T T gAT W
-=
πμ
并指出μ的意义(式中液体阻尼力F d =•2Av )。

2.19 试证明：对数衰减率也可用下式表示n
x x n 0
ln 1=
δ，(式中x n 是经过n 个循环后的振幅)。

并给出在阻尼比ζ为0.0l 、0.1、0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。

解：设系统阻尼自由振动的响应为()x t ；
0t 时刻的位移为0x ；0n t t nT =+时刻的位移为n x ；则：
0000()0cos()cos[()]n n d n d t nT d t nT n d d x Xe t e x Xe t nT ζωζωζωωϕωϕ--+-==+- 所以有：001ln
ln n d n x x nT n n x x ζωδ===，即：n
x x
n 0ln 1=δ 当振幅衰减到50%时，00.5n x x =
，即：1
ln 2ln n δ==
1)当 0.01ζ=时，11n =；要11个循环； 2)当 0.1ζ=时， 1.1n =；要2个循环； 3)当 0.3ζ=时，0.34n =；要1个循环；
2.20 某双轴汽车的前悬架质量为m1=1151kg，前悬架刚度为k1=1.02⨯105N／m，若假定前、后悬架的振动是独立的，试计算前悬架垂直振动的偏频。

如果要求ζ=，那么应给前悬架设计多大阻尼系数(c)的悬架减振器? 前悬架的阻尼比0.25
2.21 重量为P 的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长δ，在上下运动时所遇到的阻力与速度v 成正比。

要保证物体不发生振动，求阻尼系数c 的最低值。

若物体在静平衡位置以初速度v 0开始运动，求此后的运动规律。

解：设系统上下运动为x 坐标系，系统的静平衡位置为原点，得到系统的运动微分方程为：
δ
++=0P P
x cx x g 系统的阻尼比
：ζ=
=系统不振动条件为：1ζ≥
，即：2c P ≥
物体在平衡位置以初速度0υ开始运动，即初始条件为：υ=⎧⎨=⎩00
00
x x
此时系统的响应为：（可参考教材P22） 1)当1ζ>时：
ωωζω--=+1
2
()(n n n t
x t e
Ae Ae
其中：ω⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
1,2n A 2) 当1ζ=时： ωω--=+12
()n n t t
x t Ae A te ，其中：υ=⎧⎨=⎩12
00A A 即：ωυ-=0()n t x t te
3) 当1ζ<时： ζωωω-=+12()(cos sin )n t d d x t e C t C t
其中：υωωω⎧=⎪=⎨⎪=⎩1200
/d
n C C ，即：ζωυωω-=0()sin n t d d
x t e t
2.22 一个重5500N 的炮管具有刚度为
3.03⨯105N ／m 的驻退弹簧。

如果发射时炮管后座1.2m ，试求：
①炮管初始后座速度；
②减振器临界阻尼系数(它是在反冲结束时参加工作的)； ③炮管返回到离初始位置0.05m 时所需要的时间。

2.23 设系统阻尼比0.1ζ=，试按比例画出在n ωω＝0.5、1.0、2.0三种情况下
微分方程的向量关系图。

2.24 试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的关系，并计算当0.2ζ=、n ω=5rad/s 时系统的品质因子和带宽。

2.25 已知单自由度系统振动时其阻力为cv (其中c 是常数，v 是运动速度)，激励为0sin F F t ω=，当n ωω=即共振时，测得振动的振幅为X ，求激励的幅值F 0。

若测得共振时加速度的幅值为A ，求此时的F 0。

2.26 某单自由度系统在液体中振动，它所受到的激励为50cos
F tω
=(N)，系统在周期T＝0.20s时共振，振幅为0.005cm，求阻尼系数。

解：由0.20
T s
=时共振可知，系统固有频率为：
π
ωπ==
2
10 n T
当ωω
→
n 时，已知响应振幅：0
F
X
cω
=，（参教材P30）
所以：
5
10
(/) F
c N s m
Xωπ
==
2.27 一个具有结构阻尼的单自由度系统，在一周振动内耗散的能量为它的最大势能的1.2%，试计算其结构阻尼系数 。

2.28 要使每一循环消耗的能量与频率比无关，需要多大的阻尼系数。

2.29 若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即
⎩⎨⎧>-=≤=00
2
2x x
a F x x a F d d 求其等效阻尼系数和共振时的振幅。

解：实际上，这是一种低粘度流体阻尼。

设系统的运动为：()cos()x t X t ωϕ=-
33
2c /20/20/333
/3330
323
23(|()|)()
[|()|()][|()|sin()]sin ()sin ()[2(0)(0)]
w w w aX A w
x dx
x d A H w w wt a H w w wt H w wA wt dx
w A t dt
aw X t dt X w ππππωααϕαϕϕωϕωϕαϕϕ=
=
-=---=-
-=--=--⎰
⎰⎰⎰⎰
2334ωωax d = 2338ωωax d = 2233
8X C ax πωω=
π
ω
382
3
x a e C = 2.29
cos()x X t ωϕ=-
sin()x X t ωωϕ•
=-- /2/2
2
//22220
2/2222/32
83
sin ()(cos())sin ()(cos())c W x dx x dx
X t X t dt
X t X t dt
X πωπω
πω
πω
πω
πω
αααωωϕωωϕαωωϕωωϕαω•
•=+-=---+----=⎰⎰
⎰⎰
2P C W W C X πω==
83aX C ω
π
=
00
238F
F
c aX X πωω==
a
F w axw F n
n
X 232183022
ππ=
=
2.29
⎩⎨⎧=•
••
•≤≥-00
2
2
x x
x x
d F αα
2
338334
/0
34
/03
4
/0
2
)(cos 444ω
αϕωωααωZ dt
t Z dx
x dx
x x d F T T T d e =-====⎰
⎰⎰
⎰••
2Z C C P πωωω==
ωαωπZ e 38=
ω0
C F Z = 2083ωαπZ F Z =
2.30 KGlⅡ电动机重P，装在弹性基础上，静下沉量为。

当转速为n r／min 时，由于转子失衡，沿竖向有正弦激励，电机产生振幅为A的强迫振动。

试求激励的幅值，不计阻尼。

2.31 电动机重P，装在弹性梁上，使梁有静挠度。

转子重Q，偏心距为e。

试求当转速为时，电动机上下强迫振动的振幅A，不计梁重。

2.32 一飞机升降舵的调整片铰接于升降舵的O 轴上(图T —2.32)，并由一联动装置控制。

该装置相当于一刚度为k T 的扭转弹簧。

调整片转动惯量为I ，
因而系统固有频率ω=/n T K I ，但因k T 不能精确计算，必须用试验测定ωn 。

为此固定升降舵，利用弹簧k 2对调整片做简谐激励，并用弹簧k 1来抑制。

改变激励频率ω直至达到其共振频率ωT 。

试以ωT 和试
验装置的参数来表示调整片的固有频率ωn 。

解：设调整片的转角为θ，系统的微分方程为：
2122[()]sin T I k k k L k Ly t θθω+++=
系统的共振频率为：2
2120
()T k k k L I
ω++=
因此：2
20
12()T k I k k L ω=-+ 调整片的固有频率为：22
2
120()T n
k k k L I I
ωω+==-
图 T —2.32
2.33 如图所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。

试求W 的振幅与行进速度的
关系，并确定最不利的行进速度。

解：由题目
2.33
V L
T = L
V T
w ππ
22=
=
t Y y L V
π2cos =
)(y x K X w --=•
•
t KY X w L V π2cos =•
• t KY Kx X w L
V π2cos =+•• 2222)(2
)()(s L
V L V
KY s KX s X wS +=+ππ
))()((22
222)(K ws s KY
L
V L V
s X ++=
ππ w
K n =
2
ω
2
2222
22sin sin n n
n
Y aY
n a a X a t ωωωω+-=+ []w
V T KL Y KL Y
a Y a Y
KL
w
V n
n
X 222
222
242
22
2
1)/(10
)/(1πωωπ---+-=
===
w k V L /2π=
2.33
L
Tv T
==
π
ω2 L
v πω2=
Ky KX X m =+•
•
y X X n n 2
2ωω=+•
• 2
2
2
ωωω-=n
n Y X 2
2
2422222L v n n n
n Y Y X πωωωωω--=
=
m RL
V 22
42π=
2.34 单摆悬点沿水平方向做简谐运动(图T —2.34)，=asin t 。

试求在微幅的强迫振动中偏角的变化规律。

已知摆长为L ，摆锤质量为m 。

2.35 一个重90N 的飞机无线电要与发动机的频率1600～2200r/min 范围的振动隔离，为了隔离85%，隔振器的静变形需要多少? 2.36 试从式(2.95)证明：
1. 无论阻尼比ζ取何值，在频率比2/=n ωω时，恒有X ＝A 。

2. 在2/<n ωω，X/A 随ζ增大而减小，而在2/>n ωω，X/A 随ζ增
大而增大。

2.37 某位移传感器固有频率为4.75Hz ，阻尼比=0.65。

试估计所能测量的最低频率，设要求误差≤1％，≤2％。

2.38 一位移传感器的固有频为率2Hz ，无阻尼，用以测量频率为8Hz 的简谐振动，测得振幅为0.132cm 。

问实际振幅是多少?误差为多少?
2.39 一振动记录仪的固有频率为f n ＝
3.0Hz ，阻尼比=0.50。

用其测量某物体的振动，物体的运动方程已知为
x =2.05sin4t +1.0sin8t (cm)
证明：振动记录仪的振动z 将为
z ＝1.03sin(4t -500)+1.15sin(8t -1200)(cm)
2.40 求单自由度无阻尼系统对图所示激励的响应，设初始条件为零。

解：
a
)]
(sin[)(sin )()
(1
1
τωτωτξωωξωω-=
-=---t e
t h t e t h d t m d t m n d
n d
t t h d m d
ωωsin )(1
=
)](sin[)2(1
τωω-=-t t h d m d
)
()(sin )
(cos )(cos )(01
10
1
ττωωτωω--==-=⎰
⎰t d t F t t d t X t
n m n R F t
n n
)]
(cos 1[)]([cos )()()()()(1120
12
1
1
t t t t d t h t F d t h t F t X n R F n R F t t t ----=
--+-=⎰⎰ωωττττ
)]
(cos )([cos ]cos )([cos )
(*0)()()()()(121220
121
2
1
1
t t t t t t t t h d t h t F d t h t F t X n n R
F n n R F t
t t
t t ------=-+--+-=⎰⎰⎰ωωωωτττττ
b
t F t F 10
)(=τ )()(10ττ-=-t t F t F
]
[cos )([)()()(1
1
01
0sin 010
t t t t
R
F n t t F t
n n n
t
d t t h t F t X ωωωωττ-
=--=-=⎰
⎰
])]([cos )(*0)()()(sin )(sin 10
111
1
1
t
t t t n R F t t t n n n t t d t h d t h F t X ωωωωτττττ----=-+-=⎰⎰ C
t F t F 1
0)(=τ )()(10ττ-=-t t F t F ]sin )(cos 1[)()()(11110t t d t h t F t X n t t t n R F t
n ωωττω+--=-=⎰
]cos [)(*0)()()(sin )(sin 0
111
1
1
t
t t t n R F t
t t n n n t d t h d t h F t X ωωωωτττττ----=-+-=⎰⎰
2.41 求图T—2.41所示系统的传递函数，这里激励是x3(t)。

2.42 一弹簧质量系统从一倾斜角为300的光滑斜面下滑，如图所示。

求弹簧与墙壁开
始接触到脱离接触的时间。

解：弹簧接触墙壁时，m 的速度为： 02sin 30gs gs υ=︒= 以接触时m 的位置为原点，斜下方为正，则m 的微分方程为：
sin 30mx kx mg +=︒
考虑到系统的初始条件：00
x x gs =⎧⎨=⎩，采用卷积分计算系统的响应为：
sin 30()sin (1cos )n n n
x mg x t t t k
ωωω︒
=
+
- 其中：n k m
ω= 当m 与墙壁脱离时应有1()0x t =
故由：111()sin (1cos )02n n n
gs
mg
x t t t k
ωω=
+
-= 可得到：142
()k sk t arctg m mg
=- 也就是弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。

2.43 一个高F0、宽t0的矩形脉冲力加到单自由度无阻尼系统上，把这个矩形脉冲力看做两个阶跃脉冲力之和，如图所示。

用叠加原理求t>t0后的响应。

2.44 如图T—2.44所示，系统支承受凸轮作用，运动波形为图中所示的锯齿波，求系统的稳态响应。

2.45 证明式(2.136)，即卷积积分满足交换律
t
F
*
t
=
h*
)(t
)(
)(
)(
h
t
F
3.1 如图所示扭转系统。

设12122;t t I I k k ==
1．写出系统的刚度矩阵和质量矩阵；
2．写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。

解：1)以静平衡位置为原点，设12,I I 的转角12,θθ为广义坐标，画出12,I I 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：
111121222221()0()0t t t I k k I k θθθθθθθ⎧++-=⎪⎨
+-=⎪⎩，即：1112122222122()0
t t t t t I k k k I k k θθθθθθ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩
所以：[][]12
21
2220,0t t t t t k k k I M K k k I +-⎡⎤
⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
系统运动微分方程可写为：[][]11220M K θθθθ⎧⎫⎧⎫⎪⎪
+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭
………… (a)
或者采用能量法：系统的动能和势能分别为
θθ=+22112211
22T E I I
θθθθθθθ=+-=++-222211212121221121111
()()2222t t t t t t U k k k k k k
求偏导也可以得到[][],M K
由于12122;t t I I k k ==，所以[][]212021,0111t M I K k -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
2)设系统固有振动的解为： 1122cos u t u θωθ⎧⎫⎧⎫
=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，代入（a ）可得：
[][]122()0u K M u ω⎧⎫
-=⎨⎬⎩⎭
………… (b)
得到频率方程：22
12
1
2
1
12
22()0t t t t k I k k k I ωωω--=
=--
即：224
222
121()240t t I k I k ωωω=-+=
解得：2
1
1,22
2
(22t k I ω=
=
所以：1ω=
<2ω= ………… (c)
将（c ）代入（b ）可得：
1121
212111
2
2(22)2220(22t t t t t t
k k I k I u u k k k I I ⎡⎤±--⎢⎥⎧
⎫⎢⎥=⎨⎬⎢⎥±⎩⎭⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
解得：
1121u u =1222u u = 令21u =，得到系统的振型为：
-0.707
1
0.707
1
3.2 求图所示系统的固有频率和振型。

设123213;33m m k k k ===。

并画出振型图。

解：1)以静平衡位置为原点，设12,m m 的位移12,x x 为广义坐标，画出12,m m 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：
111121222221
32()0
()0m x k x k x x m x k x x k x ++-=⎧⎨
+-+=⎩
所以：[][]122122320,0k k k m M K k k k m +-⎡⎤
⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦
系统运动微分方程可写为：[][]11220x x M K x x ⎧⎫⎧⎫
+=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ ………… (a)
或者采用能量法：系统的动能和势能分别为
=+22112211
22T E m x m x
=+-+2221121232111
()222U k x k x x k x
求偏导也可以得到[][],M K
由于123213;33m m k k k ===，所以[][]223021,0114M m K k -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
2)设系统固有振动的解为： 1122cos x u t x u ω⎧⎫⎧⎫
=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，代入（a ）可得：
[][]12
2()0u K M u ω⎧⎫
-=⎨⎬⎩⎭
………… (b)
得到频率方程：22
22
2
2
2
22
23()04k m k k k m ωωω--=
=-- 即：224
222
222()31470m k m k ωωω=-+=
解得：2222222222
21,2
22
14(14)437(727)k m k m m k k ω±-⨯⨯±==
所以：1ω=
2ω= ………… (c)
将（c ）代入（b ）可得：
2
222212222
2(727)23304k k m k m u
u k k m ⎡⎤±--⎢⎥
⎧⎫⎢⎥=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
解得：
1121u u =；1222u u =
令21u =，得到系统的振型为 ：
-3.430
1
0.09
1。